高中数学必修2第1章13131柱体锥体台体的表面积与体积

锥的侧面积是底面积的( )
A．4 倍
B．3 倍
C. 2倍
D．2 倍
【解析】 设轴截面正三角形的边长为 2a，
∴S 底＝πa2，
S 侧＝πa×2a＝2πa2，
∴S 侧＝2S 底． 【答案】 D
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2．将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体
的侧面积是( )
A．4π
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4．一个几何体的三视图如图 1-3-6 所示(单位：m)，则该几何体的体积为 ________m3.
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图 1-3-6
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【解析】 此几何体是由一个长为 3，宽为 2，高为 1 的长方体与底面直径 为 2，高为 3 的圆锥组合而成的，故
V＝V 长方体＋V 圆锥＝3×2×1＋13π×12×3＝(6＋π)m3.
∴S＝S 圆柱底＋S 圆柱侧＋S 圆锥侧 ＝π×42＋2π×4×2＋π×4×5 ＝16π＋16π＋20π＝52π.
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1．求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台体，再 通过这些基本柱、锥、台体的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表 面积．
2．组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分面 积．
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空间几何体的体积 如图 1-3-1 所示，在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下
一个棱锥 C-A′DD′，求棱锥 C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
图 1-3-1 【精彩点拨】 先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体
积之比．
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【自主解答】 法一 设 AB＝a，AD＝b，DD′＝c， 则长方体 ABCD-A′B′C′D′的体积 V＝abc， 又 S△A′DD′＝12bc， 且三棱锥 C-A′DD′的高为 CD＝a. ∴V 三棱锥 C-A′DD′＝13S△A′D′D·CD＝16abc. 则剩余部分的几何体体积 V 剩＝abc－16abc＝56abc. 故 V 棱锥 C-A′DD′∶V 剩＝16abc∶56abc＝1∶5.
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[再练一题]
2．如图 1-3-2 所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，过顶点 B，D，A1
截下一个三棱锥．
【导学号：09960024】
(1)求剩余部分的体积； (2)求三棱锥 A-A1BD 的高.
图 1-3-2
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【解】 (1)V 三棱锥 A1-ABD＝13S△ABD·A1A ＝13×12·AB·AD·A1A＝16a3. 故剩余部分的体积 V＝V 正方体－V 三棱锥 A1-ABD ＝a3－16a3＝56a3.
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图 1-3-4
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【精彩点拨】
由三视图确定几 何体的形状
→
选择表面积及体 积公式求解
【自主解答】 (1)这个几何体的直观图如图所示．
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(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体． 由 PA1＝PD1＝ 2，A1D1＝AD＝2， 可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积 S＝5×22＋2×12× 2× 2＋2× 2×2＝22＋4 2(cm2)， 所求几何体的体积 V＝23＋12×( 2)2×2＝10(cm3)．
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法二 已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱
ADD′A′-BCC′B′，设它的底面 ADD′A′面积为 S，高为 h，则它的体积为
V＝Sh.
而棱锥 C-A′DD′的底面面积为12S，高为 h，
因此棱锥 C-A′DD′的体积 VC-A′DD′＝13×12Sh＝16Sh.
剩余部分的体积是 Sh－16Sh＝56Sh.
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[再练一题] 1．圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环 的圆心角是 180°，那么圆台的表面积是多少？
【导学号：09960023】
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【解】 如图所示，设圆台的上底面周长为 c，因为扇环 的圆心角是 180°，
故 c＝π·SA＝2π×10，所以 SA＝20. 同理可得 SB＝40，所以 AB＝SB－SA＝20. 所以 S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 ＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22 ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm)2. 故圆台的表面积为 1 100π cm2.
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由棱台的体积公式，可得棱台的体积(此处 S＝S 上，S′＝S 下)为 V＝h3(S＋S′＋ SS′) ＝433× 43×202＋ 43×302＋ 43×20×30 ＝1 900(cm3)．
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学业分层测评〔五〕 点击图标进入…
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谢谢观赏！
2020/11/5
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．
()
(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．
()
(3)圆台的高就是相应母线的长．
()
(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等． ( )
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【解析】 (1)正确．多面体的表面积等于侧面积与底面积之和． (2)错误．棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形． (3)错误．圆台的高是指两个底面之间的距离． (4)错误．由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不是全等 形．但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的．
S 为锥体的底面积，h 为锥体的高 S′，S 分别为台体的上、下下底底面面 面积，h 为台体的高
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圆锥的母线长为 5，底面半径为 3，则其体积为( )
A．15π
B．30
C．12π
D．36π
【解析】 圆锥的高 h＝ 52－32＝4，故 V＝13π×32×4＝12π.
【答案】 C
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43
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2．圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体
侧面展开图
圆柱
圆锥
表面积公式
S 圆柱＝2πr(r＋l)， r 为底面半径， l 为侧侧面面母母线线长长 S 圆锥＝πr(r＋l)， r 为底面半径， l 为侧侧面面母母线线长长
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圆台
S 圆台＝π(r′2＋r2 ＋r′l＋rl)， r′为上底面半径， r 为下下底底面面半半径径， l 为侧面母线长
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(2)由(1)知 V 三棱锥 A-A1BD＝V 三棱锥 A1-ABD＝16a3，
设三棱锥 A-A1BD 的高为 h， 则 V 三棱锥 A-A1BD＝13·S△A1BD·h
＝13×12×
3 2(
2a)2h＝ 63a2h，
故
63a2h＝16a3，解得
h＝
3 3 a.
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所以棱锥 C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为
16Sh∶56Sh＝1∶5.
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1．常见的求几何体体积的方法 (1)公式法：直接代入公式求解． (2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高 都易求的形式即可． (3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2．求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截 面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
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[小组合作型] 空间几何体的外表积和侧面积
一个直角梯形的两底边长分别为 2 和 5，高为 4.将其绕较 长底所在直线旋转一周，求所得旋转体的表面积．
【精彩点拨】 旋转所得到的几何体为圆柱与圆锥的组合体．
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【自主解答】 旋转所得几何体如图．
由图可知，几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的 面积之和，
高中数学必修2第1章13131柱体锥体台体的 表面积与体积
1．通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体 积的求法．(重点)
2．会求组合体的表面积与体积．(难点、易错点)
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[基础·初探] 教材整理 1 柱体、锥体、台体的表面积 阅读教材 P23～P25“例 2”以上内容，完成下列问题． 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各 个面的 面积 和．
[探究共研型] 与三视图有关的外表积和体积
探究 1 一个几何体的三视图如图 1-3-3 所示，请说出该几何体的结构特征．
【提示】 由所给三视图可知该几何体为一 个三棱柱，且底面为直角三角形．
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图 1-3-3
探究 2 试根据图中数据求该几何体的表面积．
【提示】 三棱柱底面三角形的直角边长分别为 3 和 4，斜边长为 5，三棱 柱的高为 5，如图所示，所以表面积为 212×3×4＋(3＋4＋5)×5＝72.
A.13＋2π
13π B. 6
7π C. 3
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图 1-3-5 5π
D. 2
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【解析】 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几 何体，其体积为 π×12×2＋12×13π×12×1＝163π.
【答案】 B
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[构建·体系]
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1．(2016·潍坊高一检测)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆
B．3π
C．2π
D．π
【解析】 底面圆半径为 1，高为 1，侧面积 S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选
C.
【答案】 C
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3．已知圆锥 SO 的高为 4，体积为 4π，则底面半径 r＝________. 【导学号：09960025】
【解析】 由已知得 4π＝13πr2×4，解得 r＝ 3. 【答案】 3
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
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教材整理 2 柱体、锥体与台体的体积公式
阅读教材 P25“例 2”以下～P26“思考”以上内容，完成下列问题．
几何体
体积
说明
柱体
V 柱体＝Sh
S 为柱体的底面积，h 为柱体的高
锥体 台体
V 锥体＝13Sh V 台体＝13(S′＋ S′S＋S)h
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探究 3 已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？
【提示】 首先根据三视图确定几何体的结构特征，再根据相应的表面积 公式计算．
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(2016·吕梁学院附中高二检测)如图 1-3-4，已知某几何体的三视图 如图(单位：cm)．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．
【答案】 6＋π
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5．已知一个三棱台的两底面是边长分别为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧 面是全等的等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积．
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【解】 如图所示，三棱台 ABC-A′B′C′中，O、O′为两底 面的中心，D、D′分别是 BC、B′C′的中点，则 DD′是 梯形 BCC′B′的高，所以 S 侧＝12(20＋30)×DD′×3＝ 75DD′. 又 A′B′＝20，AB＝30，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下＝ 43(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3，所以 DD′＝133 3. 在直角梯形 O′ODD′中，
OD＝5 3，O′D′D′2
＝
13 3
32－5
3－103
32
＝4 3(cm)，
即棱台的高为 h＝4 3 cm.
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1．解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中 的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．
2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时， 根据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．
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[再练一题] 3．(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图 1-3-5 所示，则该几何体的体积为 ()