家电公司研发部资料材料力学习题答案(八)

第八章 组合变形及连接部分的计算
8-1 矩形截面简支梁其受力如图所示，试求梁截面上的最大正应力，并指出中性轴的位置。

（截面尺寸单位：mm ）
答：σ
max =12MPa
解：将F 分解成两个力对杆作用效果之和，
133 4.52y M kN m =⨯⨯
= , 1
3462
z M kN m =⨯⨯=, 131504.52620015012y y M z MPa I σ⨯===⨯,2320062615020012
z z
M y MPa I σ⨯===⨯; 则1212MPa σ
σσ=+=；
由3
3
20015012tan tan 0.4515020012
y z
I I θϕ⨯==
=⨯，24.23
θ=.
：
8-2 图示圆截面简支梁，直径d =200mm, F 1=F 2=5kN, 试求梁横截面上的最大正应力。

答：σ
max =4.74MPa
解：由于截面为圆形在可以用和弯矩求解max σ，即求max F ，且max F 最大在截面2-2处，
由图可知max
3.727F kN =, 则3max
23.727100.1
4.740.264
P
M MPa I ρσπ⨯⨯===⨯
A
150
题 8 - 1 图
F
F 2
题 8 - 2 图
8-3 图示悬臂梁，由试验测得εA =2.1×10-4
，εB ＝3.2×10-4
, 已知材料的E ＝200GPa ，
试求P 和β值。

答：F =1.03kN,β='2131ο
解：由已知74.210A
A E Pa σε==⨯，76.410
B B E Pa σε==⨯,
又有y A z z
F ly My I I σ==
得y F =875N ，同理z F =535N 则F =1.03kN,
'arctan(
)3021z
y
F F β== 8-4图示圆截面轴在弯矩M 和扭矩T 联合作用下，由试验测得A 点沿轴向的线应变为0ε＝5×10－
4
，B 点与轴线成45°方向的线应变为ε
45°
＝4.3×10－4。

已知材料的E ＝210GPa ，υ＝0.25，[σ]=160MPa 。

(1) 试指出危险点位置，求出该点处的主应力值。

(2) 按第三强度理论校核轴的强度。

答：σ1＝141.8MPa,σ3= -36.8MPa,σr3=178.6MPa 解：(1)A 点危险,由图知对A 点1A
σσ=,20A σ=；
对B 点1B
στ=,2B στ=-；
由公式101A E ε
σ=
12451[()]B B E
εσνσ=- 代入数据得105MPa σ= 72.24MPa τ=
再由
122x y
σσσσ+=
得：1141.8MPa σ= 336.8MPa σ=- （2）313178.6r MPa σσσ=-=
8-5 一水轮机大轴承受轴向拉力及扭转力偶的联合作用，为了用试验方法测定拉力F 及力偶矩M e ,在轴上沿轴向及与轴向成45°的方向贴电阻应变片，测得轴向线应变值0ε＝25×10－6
，45°方向线应变ε
45°
题 8 - 3 图题 8 - 4 图
=140×10－6
已知轴的直径D ＝300mm ，材料的E ＝2.1×105
MPa ，υ＝0.28，试求F 及M e 。

答：F =371kN, M e =113.9kNm
解： 圆轴外表面上任意一点处的应力状态如图（b ）所示 其中：
2
4F F
A D σπ=
=
（1） 316e t M T W D τπ==（2） 由广义胡克定律
00901()E E
σ
εσυσ=-= (3) 45451351()E εσυσ=
-1()22E σστυτ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦(1)(1)2E
E σσυυ=-++ (4) 将（1）代入（3）得
22116
0.3 2.11025103714
4
D E F πεπ-⨯⨯⨯⨯⨯=
=
=kN
将（2） （3）代入（4）得
3045(1)113.916(1)2e E D M επευυ⎡⎤=--=⎢⎥+⎣⎦
kN
8-6 若正方形截面短柱的中间处开一切槽，其面积为原面积的一半，问最大压应力增大几倍？
解：依题意可知
1-1截面上内力如图（b ）所示 轴力 'F F = 弯矩 2
Fa
M =
此时 '
max
1Z F My A I σ=+32212212
a a F F a a a a ⋅⋅
=+⋅⋅2
2F a = 不切时 '
m a x 22
(2)4F F
a a σ=
=
题 8 - 5 图
F
F
e
11-1截面
题 8-6 图
(b)
(a)
则
'max max
'max
7σσσ-= 即最大正应力增大7倍。

8-7 矩形截面的铝合金杆件受偏心压力如图所示。

如杆侧面上A 点处的纵向线应变为ε，材料的弹性模量为E ，试求偏心压力F 。

答：7
2εEbh F
=
解：由图知22
12y h i = ， 22
12
z b i =，
2222
()()()
722224(1)(1)21212
F F y z h h b b b
Z z y y F F F A hb bh i i h b σ---=++=++=- 再由1
E εσ=与上式联立得7
2εEbh F =
8-8图示矩形截面钢杆，由试验测得上、下边缘处的纵向线应变为εa =1×10-3
,εb =0.4×10-3
,已知E =210GPa ，试求拉力F 和偏心距e 。

答：F =18.38kN ，e =1.785mm
解：将F 移至中心处并附加一个M 使之作用效果不变M=Fe 则1F A σ=， 2My I σ=, 3My I σ-=, 得121()a E εσσ=
+ ， 131
()b E
εσσ=-， 得出F=18.38kN ，e =1.785mm
x
题 8 - 7 图
8-9矩形截面杆如图所示，其横截面宽度沿杆长不变，而杆的中段和左右段的高度分别为2a 和3a ，杆的两端受按三角形分布规律的拉力作用。

(1) 试指出1－1和2－2截面应力分布有何不同？
(2) 这两截面上的最大拉应力发生在何处，列出此应力的表达式。

答：σ
1max =p ,
σ2max =0.75p
（1） 将三角形分布化简至距离底边
2
(3)3
a 处的一个集中力，则对截面1—1此集中力在截面的下23
处，而对截面2—2此集中力在截面中心处
（2）
1max
3
333()
22223(3)12P ab P ab a a
F My P A I ab b a σ⨯⨯=+=+= 最大拉应力在下边缘处 2max 320.752P ab
P ab
σ==
截面受力相同
8-10 框架结构中的AB 杆由两根90×90×10的等边角钢组成如图所示。

杆材料的容许应力[σ]=120MPa,若AB 杆上除作用有横向力F 外，杆内还有拉力F N =100kN ，试校核此杆的强度。

答：σ
Lmax =112.1MPa,
8-11 厂房立柱受到吊车竖直轮压P =220kN,屋架传给柱顶的水平力Q =8kN, 以及风荷载q =1kN/m 的作用，柱子底部的截面尺寸为1m ×0.3m ，试计算柱底部危险点处的应力，并画出该点处的应力单元体。

答：σt =0.41MPa,σc =1.87MPa
解：有题可知在底面边缘处为危险点，则有
F
F
5mm
题 8 - 8 图
90*90*10
题 8 - 10 图
2a
2
b
题 8 - 9 图
9.5
9.50.5
2202200.40.589.50.520.410.30.30.310.3121212t MPa σ⨯
⨯⨯⨯⨯⨯=
-+-=⨯
9.5
9.50.5
2202200.40.589.50.52 1.870.30.30.310.3121212
c MPa σ⨯
⨯⨯⨯⨯⨯=
++-=⨯
8-12 图示杆件的横截面为80×200mm 的矩形截面，并在对称平面内承受荷载，试求横截面m —m 上A 点的正应力和切应力。

答：σ＝240MPa,τ=22.5MPa 解：由已知3
4002405
N
F kN =⨯=
3344
4000.4400(0.250.4)2405555
M kN m =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=
0.052400.230.08
12
N c F M MPa A σ⨯=
+=⨯ *4
4000.05
5
0.080.07522.512
s Z F S MPa I b
τ⨯⨯⨯===
8-13 图示均质圆截面杆AB 承受自重，B 端为铰支承，A 端靠于光滑的铅垂墙上，已知α、L 、d 。

试确定杆内最大压应力的截面到A 端的距离S 。

答：tg 28
L d
S α=
+ 解：由受力分析，截面在x 处受正压力214cos sin 2sin 4
N mg mg x
F L A d
ααασπ+
==
0.4m
8kN
题 8 - 11 图题 8 - 12 图
由靠墙端产生的弯曲应力224cos cos (())2224
z mg mg x d My L I d
αασπ⨯-== 则12σ
σσ=+ 令'()0x σ= 得28
L d
S tg α=
+
8-14 矩形截面杆受力如图所示，已知F 1=60kN, F 2=4kN ，试求固定端截面处A 、B 、C 、D 四点的正应力。

答：σA =―8.5MPa,σB =1.5MPa,σC =13.5MPa,σD =3.5MPa 解：A 点：由1F 产生的正应力
1σ=
331133
4060601060100.040.06
2.690.20.122001200.20.121212
F F MPa A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=-=-⨯⨯⨯（压） 由2F 产生的正应力
2σ=
23
1.20.1
60.120.212
F MPa ⨯⨯=⨯（压）
则σA =―8.5MPa （压）, B 点：由1F 产生的正应力
1σ=
113
0.040.06
7.50.20.1212
F F MPa A ⨯⨯+=⨯（拉） 由2F 产生的正应力
2σ=
23
1.20.1
60.120.212
F MPa ⨯⨯=⨯（压）
则σB =1.5MPa （拉）, C 点：由1F 产生的正应力
F 题 8 - 13 图题 8 - 14 图
1σ=
113
0.040.067.50.20.1212
F F MPa A ⨯⨯+=⨯（拉） 由2F 产生的正应力
2σ=
23
1.20.1
60.120.212
F MPa ⨯⨯=⨯（拉）
则σC =13.5MPa,
D 点：由1F 产生的正应力
1σ=
313
60100.040.06
2.690.20.1212
F MPa A ⨯⨯⨯-=-⨯（压） 由2F 产生的正应力
2σ=
23
1.20.1
60.120.212
F MPa ⨯⨯=⨯（拉）
则σD =3.5MPa （拉）
8-15 图示矩形截面杆，受偏心压力F 1＝40kN ，偏心拉力F 2＝20kN ，试求底部截面上A 点和B 点的正应力。

（截面尺寸单位：mm ）
答：σA =19MPa ，σB =1MPa 解：A 点：由1F 产生的正应力
F 2
z
题 8 - 15 图
1σ=11133
0.050.050.10.1140.20.10.10.21212
F F F MPa A ⨯⨯⨯⨯-
--=-⨯⨯ 由2F 产生的正应力
2σ=
22233
0.050.050.10.1
50.20.10.10.21212
F F F MPa A ⨯⨯⨯⨯--=-⨯⨯ 则1219A
MPa σσσ=+=-（压）
B 点：由1F 产生的正应力
1σ=11133
0.050.050.10.120.20.10.10.21212
F F F MPa A ⨯⨯⨯⨯-
-+=-⨯⨯ 由2F 产生的正应力
2σ=
22233
0.050.050.10.1
10.20.10.10.21212
F F F MPa A ⨯⨯⨯⨯-+=⨯⨯ 则121B MPa σσσ=+=-（压）
8-16 试画出图示截面的截面核心的大致形状。

解：
8-17 图示为杆件的槽形截面，abcd 为其截面核心，若有一与截面垂直的集中力F 作用于A 点，试指出此时中性轴（零应力线）的位置。

60°60°
3
a (e)
题 8 - 16 图
(a)
a
(b)
(d)
(f)
(c)(e)
(c)⑤
y
8-18 图示混凝土重力坝，其剖面为三角形，坝高h ＝30m ，混凝土的容重γ＝23.5kN/m 3。

若只考虑上游水压力和坝体自重的作用，要求在坝底截面上不出现拉应力，试求所需要的坝底宽度B 和在坝底截面上产生的最大压应力。

答：B ＝19.36m ，σ
ymax =0.71MPa
解：有水产生在A 点的应力13
113032212
B gh h My B I
ρσ⨯⨯⨯⨯==， 有重力坝自身产生应力3323
303023.51023.510262212
B B B B
G My B A I B
σ⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=+=+,
令1
2σσ=， 得出B=19.36m ，
在B 处最大正压力13620.7112
B B G G MPa B A
σ
σ⨯
⨯
=+
-=
8-19 图示正方形截面折杆，外力通过截面A 和B 的形心，若已知F ＝10kN ，截面边长60mm ，试求杆内最大的正应力。

答：σ
max =135MPa
a A
b
c
d
题 8 - 17 图
题 8 - 18 图题 8 - 19 图
解：由分析知道最大正应力在1—1和2—2相交处
1—1和2—2上的轴向拉应力1
6 1.710F
MPa A σ=
=
28 2.2210F MPa A
σ==
1—1和2—2上由弯矩产生的最大拉应力'14
80.060.6102133.30.0612F MPa σ⨯⨯⨯== '24
60.060.81021000.0612
F MPa σ⨯⨯⨯==
'max 12135MPa σσσ=+=
8-20 正方形截面拉杆受拉力F ＝90kN 作用，a ＝5cm ，如在杆的根部挖去四分之一如图所示，试求杆内最大拉应力之值。

答：σ
max =300MPa
解：最大应力在尖点处，由于受轴力截面上的应力为12
30F A a σ=
= 截面中性轴距边缘为
56
a ， 惯性距为
4
1112
a
则有偏心弯矩在尖点处产生的应力为
1122244
17119090666611111212
a a a a
M y M y a a I I
σ⨯⨯⨯⨯=+=+ 则1220.1MPa σ
σσ=+=
8-21 受拉钢板原宽度b ＝80mm ，厚度t ＝10mm ，上边缘有一切槽，深a ＝10mm ，F ＝80kN ，钢板的许用应力[σ]=140 MPa ，试校核其强度。

答：σ
max
＝163.3MPa
解：对A —A 截面
max σ=
330.0070.07
800.0058022114.2948.98163.30.010.070.010.070.010.07
1212
F e F MPa A ⨯⨯
⨯⨯
+=+=+=⨯⨯⨯
8-22 试求图示各杆指定截面A 及B 上的内力分量。

解：（a ）A 截面上2A M F l =，A T Fl =; （b ）B 截面上2B
M F l =，2B Fl
T =
;
（c ）A 截面上2A
Fl M =
，2A Fl
T =;
B 截面上4
B Fl
M =
，2
B Fl
T =;
题 8 - 20 图
F
F
题 8 - 21 图
(a)
(b)
8-23 有一曲拐如图所示，AB 段为圆截面，直径为d ，在AB 杆端部及C 点均受力F ，材料的许用应力为[σ]，试用第三强度理论求作用在AB 杆上的F 力许可值，并指出其危险点的位置。

答：[F ]＝
[]
2290
d πσ
解：由受力分析A 处为危险点
42284260264d dF F F d d d σπππ⨯
=+
=， 42
464232
d
dF F d d τππ⨯
==
122752F
d
σ
σπ=
=， 3
2
15
F
d σπ=-，
则由第三强度理论[σ]=1σ-3σ=
2
290F d π
得出2[]
290
d F πσ=
8-24 图示构件AC 段和BD 段互相垂直，位于同一水平面内，两段材料相同，许用应力为[σ]，横截面为相同圆形，直径为d ，D 端作用竖向荷载F ，C 端作用垂直于AC 的水平荷载2F /3，指出危险截面位置，写出按第三强度理论建立的强度条件表达式。

答：σr3＝
3
96Fa
d
π 解：由已知得危险截面在A 截面的K 点，且截面为圆形，可用合成弯矩求解，
M ==
,
4
264
d
My
d I
σπ⨯
=
==
(c)题 8 - 22 图
/2
F
C
F 题 8 - 23 图
3
16Fa
d τπ=
,
由
132σσσ=±=所以3
133
96r Fa
d σσσπ=-=
.
8-25 两块钢板利用相同材料的两块盖板和十个铆钉连接，如图所示。

已知钢材的[τ]＝120MPa ，[σ
c
]=300MPa ，[σ]=160MPa ，试校核此接头的强度。

答：τ＝99.5MPa ，σc =178.5MPa ，σmax
=162.3MPa 解：由已知铆钉的横截面受力20F
kN =,则220
99.54
MPa d τ
π=
=， 对铆钉中间部分的受压面40
178.50.0140.016
c
MPa σ=
=⨯，
对钢板在与两个铆钉在一条直线上的截面
max 200
162.30.0140.1220.0140.016
MPa σ=
=⨯-⨯⨯.
8-26已知图示铆接钢板的厚度t ＝10mm ，铆钉的直径d ＝17mm ，铆钉的[τ]＝140 MPa ，[σc ]=320 MPa ，试校核此接头的强度。

答：τ＝105.8MPa ，σc =141.2MPa 解：对于铆钉的抗剪强度2
24
105.84
MPa d τ
π=
=，
题 8 - 24 图
F
F
F
F=200kN
题 8 - 25 图
对于铆钉的抗压强度24
141.20.0170.01
c MPa σ=
=⨯.
8-27 图示铆接件中，已知铆钉直径d ＝19mm ，铆钉的[τ]＝140 MPa ，[σc ]=320 MPa ，钢板的[σ]=100 MPa ，[σc ]=200 MPa ，试求此连接件容许承受的最大荷载。

解：题中铆钉只有一个剪切面，由截面法可得每个剪切面上的剪力为4
S F F F n == 故[]2
S S F F A d ττπ=
==， 解得：[][]2
2
6
3.140.01914010158.7kN F d πτ==⨯⨯⨯=， 铆钉与结点板间相互的挤压力为4
bs F F F n ==， 故[]4bs bs c bs F F
A td
σσ=
==， 解得：[][]6
440.01270.01932010308.9kN F td σ==⨯⨯⨯⨯=，
校核钢板的拉伸强度，取两根钢板一起作为分离体。

其受力图和轴力图如图所示，需要验证m-m,n-n 截面的强度。

F
F
F
题 8 - 26 图
24kN
题 8 - 27 图
+
F
3
4F
4
F F s
m-m 截面：[]0.0127(0.1270.019)
m F F A σσ=
==⨯-， 解得：[]6
0.0127(0.1270.019)10010137.2kN F =⨯-⨯⨯=， n-n 截面：[]340.0127(0.12720.019)
n F F A σσ===⨯⨯-⨯， 解得：[]64
0.0127(0.12720.019)10010150.7kN 3
F =
⨯⨯-⨯⨯⨯=， 所以此连接件容许承受的最大荷载为137.2kN 。

8-28 两块塑料板条用胶粘结如图所示，已知粘结面材料的许用切应力[τ]＝0.4MPa ，F =30kN ，试按粘接面的剪切强度求拼接板必需的长度L 。

答：L ＝250mm
解：由于用两块拼接板粘贴，所以每个站贴面受力为
152
F
kN =，当达到许用应力时有 []20.15F
L
τ=, 得出L ＝250mm.
8-29 图中所示为一个通过销钉来传递拉力的接头，被连接杆的直径为D 。

如果销钉的容许切应力为杆的最大拉应力的一半，试问销钉的直径d 应为多大？
答：d ＝D
解：由已知可得式4
241
224
F
F d d
ππ⨯=， 得出d ＝D
F
F
F
F
题 8 - 28 图
题 8 - 29 图
8-30 图示尺寸相同的两根矩形截面梁叠置在一起，其一端固定，另一端用螺栓将梁连成一个整体，此梁受集中荷载F 作用。

如螺栓的容许切应力为[τ]，试求螺栓在剪力作用下不致剪断时所需的直径d 。

解：由题意得，作用力F 左端的梁上各处剪力大小均为F ，故由切应力互等定律得中性层上的切应力为：
2
*
3
4384812
z z b h F FS F I b bh b h b τ⨯⋅===⨯， 题中铆钉只有一个剪切面，由截面法可得剪切面上的剪力为：3344s F FL
F A bL bh h
τ===
， 由于螺栓的容许切应力为[]τ，故2233[]44
s
s
F FL FL
A d d h h τππ≥
==⨯
，
解得：d ≥。

8-31 图示钢板受到由销钉传递的拉力。

试写出钢板的（长度单位：mm ）： (a) 受剪面面积A s ，剪力F s ； (b) 挤压面计算面积A bs ，挤压力F bs ； (c) 危险受拉截面面积A ，轴力F N 。

答：(a)75mm 2，2F ；(b)50mm 2，2F ；(c) 80mm 2，2F 解：（a ）受剪面面积
215575s A mm =⨯=，剪力2s F F =,
（b ）挤压面计算面积
210550bs A mm =⨯=，挤压力2bs F F =，
（c ）危险受拉截面面积226510580A mm =⨯-⨯=，轴力2bs F F =。

题 8 - 30 图
题 8 - 31 图。