【好题】高三数学上期中模拟试卷带答案
江苏省镇江市2024~2025学年高三上学期期中模拟测数学试卷(含答案)
2024~2025学年第一学期高三期中模拟测试卷（1）姓名：___________ 班级：___________一、单选题1．若，则（）A．B．C．D．2．已知全集，集合，，则如图所示的图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．3．若等比数列{an}的前n项和为S n，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（）A．80B．120C．150D．1804．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．5．记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3<T<π，且的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（）A．1B．C．D．36．在△ABC中，，为上一点，且，若，则的值为（）A．B．C．D．7．已知，，且，则的最小值为（）．A．4B．6C．8D．128．设，则（）A．B．C．D．二、多选题9．将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（）A．的周期为B．的一条对称轴为C．是奇函数D．在区间上单调递增10．已知函数，则（）A．有两个极值点B．有三个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线11．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）A．动点B．三棱锥体积的最小值为C．与不可能垂直D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为三、填空题12．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.13．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．14．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.四、解答题15．已知函数的定义域为，对任意且，都满足.(1)求;(2)判断的奇偶性;(3)若当时，，且，求不等式的解集.1i1zz=+-z=1i--1i-+1i-1i+RU={}2560A x x x=--≤3lg3xB x yx-⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭Venn(]3,1--(]1,3-(]1,3[]3,6[]21,2,0x x a∀∈-≤4a≤4a≥5a≤5a≥()y f x=3252π,23BAC AD DB∠==P CD12AP mAC AB=+||3,||4AC AB==AP CD⋅76-761312-1312x>0y>26xy x y++=2x y+0.110.1e,ln0.99a b c===-，a b c<<c b a<<c a b<<a c b<<()sin26f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭6π()g x()g xπ()g x3xπ=()g x()g x,36ππ⎡⎤-⎢⎣⎦3()1f x x x=-+()f x()f x(0,1)()y f x=2y x=()y f x=1111ABCD A B C D-E1DD F11C CDD1//B F1A BEF11B D EF-131B F1A B11B D DF-25π2αβtan tan4αβ+=tan tan1αβ+sin()αβ+=e xy x=+()0,1ln(1)y x a=++a=()f x(,0)(0,)-∞+∞,x y∈R||||x y≠()22()()f x y f x y f x y++-=-(1),(1)f f-()f x1x>()0f x>(2)1f=(2)(1)2f x f x+--<16.如图，三棱锥中，，，，E 为BC 的中点．(1)证明：；(2)点F 满足，求二面角的正弦值．17．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．18．已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和.19．记△ABC 的内角的对边分别为，已知．(1)求； (2)若，求△ABC 面积．参考答案：题号12345678910答案C D C D A D A CAD AC 题号11 答案ABD12．A BCD -DA DB DC ==BD CD ⊥60ADB ADC ∠=∠= BC DA ⊥EF DA =D AB F --()()e xf x a a x =+-()f x 0a >()32ln 2f x a >+{}n a 11a =11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数2n n b a =1b 2b {}n b {}n a ,,A B C ,,a b c 2222cos b c a A+-=bc cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==--因为，，则，，又因为，则，，则，则，解得法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则,则13．【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.故答案为：.14．【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：15．【详解】（1）因为对任意且，都满足，令，得，，令，得，.（2）对任意非零实数，，令，可得.在上式中，令，得，即对任意非零实数，都有，是偶函数.（3）对任意且，有，由（2）知，在区间上单调递增.，，是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，原不等式转化为，解得或或，原不等式的解集为.16．【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，因为，，所以与均为等边三角形，，从而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨设，，．，，又，平面平面．以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，设平面与平面的一个法向量分别为，二面角平面角为,而，因为，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，从而所以二面角17．【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m mαβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,Zk m∈()()()22ππ,22π2πm k m kαβ+∈++++,Zk m∈()tan0αβ+=-<()()3π22π,22π2π2m k m kαβ⎛⎫+∈++++⎪⎝⎭,Zk m∈()sin0αβ+<()()sincosαβαβ+=-+()()22sin cos1αβαβ+++=()sinαβ+=αβcos0,cos0αβ><cosα==cosβ==sin()sin cos cos sin cos cos(tan tan)αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cosαβ====282142=36()1446323⨯⨯⨯=()122343⨯⨯⨯=32428-=(13164283⨯⨯+=28ln2e xy x=+e1xy'=+0|e12xy='=+=e xy x=+()0,121y x=+()ln1y x a=++11yx'=+()ln1y x a=++()()00,ln1x x a++121yx'==+012x=-11,ln22a⎛⎫-+⎪⎝⎭112ln21ln222y x a x a⎛⎫=+++=++-⎪⎝⎭ln20a-=ln2a=ln2,x y∈R||||x y≠()22()()f x y f x y f x y++-=-1,0x y==(1)(1)(1)f f f+=(1)0f∴=1,0x y=-=(1)(1)(1)0f f f-+-==(1)0f∴-=a b,22a b a bx y+-==()()()f a f b f ab+=1b=-()(1)()f a f f a+-=-a()()f a f a=-()f x∴12,(0,)x x∈+∞12x x<22111,0x xfx x⎛⎫>∴>⎪⎝⎭()()()22211111x xf x f x f f x f xx x⎛⎫⎛⎫=⨯=+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x∴(0,)+∞(2)1,211(2)(2)(4)f f f f=∴=+=+=(2)(1)2f x f x+--<(2)(1)2(1)(4)(44),f x f x f x f f x∴+<-+=-+=-()f x(,0)(0,)-∞+∞(0,)+∞∴0|2||44|x x<+<-2x<-225x-<<2x>∴2(,2)2,(2,)5∞∞⎛⎫--⋃-⋃+⎪⎝⎭,AE DE DB DC=DE BC⊥DA DB DC==60ADB ADC∠=∠= ACDABD△AC AB∴=AE BC⊥AE DE E=,AE DE⊂ADE⊥BC ADE AD⊂ADE BC DA⊥2DA DB DC===BD CD⊥BC DE AE∴==2224AE DE AD∴+==AE DE∴⊥,AE BC DE BC E⊥=,DE BC⊂BCD AE∴⊥BCD E,,ED EB EA,,x y z(0,0,0)D A B EDAB ABF()()11112222,,,,,n x y z n x y z==D AB F--θ(AB=(EF DA==(F()AF=1111⎧=⎪∴=11x=1(1,1,1)n=222==⎪⎩21y=2(0,1,1)n=cos=sinθ==D AB F--()()e xf x a a x=+-R()e1xf x a=-'a≤e0x>e0xa≤()e10xf x a=-<'()f x R当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则令，则，则所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则，则在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.18．【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，所以．所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．0a >()e 10xf x a =-='ln x a =-ln x a <-()0f x '<()f x (),ln a -∞-ln x a >-()0f x '>()f x ()ln ,a -+∞0a ≤()f x R 0a >()f x (),ln a -∞-()f x ()ln ,a -+∞()()()ln min 2ln ln ln e1af a a x a f a a a --+=++=+=3()2ln 2f x a >+2312ln 2ln a a a ++>+21ln 02a a -->()()21ln 02g a a a a =-->()21212a g a a a a -=-='()0g a '<0a <<()0g a '>a >()g a ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()2min102g a g ==--=>()0g a >0a >3()2ln 2f x a >+()e 1xh x x =--()e 1x h x '=-e x y =R ()e 1x h x '=-R ()00e 10h =-='0x <()0h x '<0x >()0h x '>()h x (),0-∞()0,∞+()()00h x h ≥=e 1x x ≥+0x =()2ln 22()e e eln 1xxx af x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-ln 0x a +=ln x a =-3()2ln 2f x a >+23ln 12ln 2x a a x a +++->+21ln 02a a -->()()21ln 02g a a a a =-->()21212a g a a a a -=-='()0g a '<0a <<()0g a '>a >()g a ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()2min 102g a g ==--=>()0g a >0a >3()2ln 2f x a >+2n 21222212,1n n n n a a a a +++=+=+2223n n a a +=+13n n b b +=+121+12b a a ==={}n b 122,5,31n b b b n ===-1231,2,4a a a ===122432,15b a b a a ====+=11n n a a +-=n 12n n a a +-=n n n *23()n n a a n N +-=∈()11331n b b n n =+-⨯=-{}n a *113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N 11213(1)11222b a a -==++=+=322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++ 12(1)131n n n =+-+=-⨯122,5b b =={}n b 31n b n =-20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++ 1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++ 110()102103002b b +⨯=⨯-={}n a 12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+2122123n n n a a a +-=+=+{}n a 2221213n n n a a a ++=+=+{}n a从而数列的前20项和为：．19．【详解】（1）因为，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以故的面积为．{}n a 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++ 1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=2222cos a b c bc A =+-2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===1bc =cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A Ba Bb Ac A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B BA B A B A B ---=-==+++()()sin sin sin A B A B B --+=2cos sin sin A B B -=0sin 1B <≤1cos 2A =-0πA <<sin A =ABC V 11sin 122ABC S bc A ==⨯△。
2020-2021高三数学上期中模拟试卷(附答案)(10)
2020-2021高三数学上期中模拟试卷(附答案)(10)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9003．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD．3-4．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b5．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．36)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3 D ．27．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-8．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5） 9．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．3610．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．511．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6612．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,7a b c +==，则ab 为 ．14．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 15．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=L ____________． 16．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 17．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．18．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.19．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____． 20．在中，若，则__________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．22．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △的面积为3，求b ，c ．23．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？24．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .25．已知向量113,sin cos 22x x a ⎛⎫+ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边217,sin 7BC B ==，求ABC ∆的面积. 26．已知函数()sin 2cos (0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B.3．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.4．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C5．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：369(3)(6)22a a a a -++-+≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.7．D解析：D 【解析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．8．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
【典型题】高三数学上期中模拟试卷(附答案)
【典型题】高三数学上期中模拟试卷(附答案)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 2．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-5．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．166．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<7．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．68．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=()2224S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒9．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ）A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-10．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8111．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．3512．已知正项数列{}n a*(1)()2n n n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．14．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．15．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿16．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .17．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 18．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________19．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 20．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =,求的面积．24．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 25．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．26．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求12231111+++⋯+n n a a a a a a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．3．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案. 【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列， 所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.4．C解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较5．A解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6．B解析：B 【解析】 试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.7．B解析：B 【解析】 【分析】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.8．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)22234S b a c =+-，得13sin 2cos 24ab C ab C =, 整理得tan 3C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．9．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．11．C解析：C 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====L考点：等差数列的前n 项和12．B解析：B 【解析】 【分析】()()1122n n n n +-=-的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.【详解】(1)(1),(2)22n n n nn n+-=-=≥1=，所以2,(1),nn n a n=≥=，选B.【点睛】给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2n n na S S n-=-≥转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式11,1{,2nn nS naS S n-==-≥时，一定要注意分1,2n n=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.二、填空题13．（﹣∞【解析】【分析】由正实数xy满足可求得x+y≥5由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围【详解】因为正实数xy满足而4x解析：（﹣∞，265]【解析】【分析】由正实数x，y满足4454x y xy++=，可求得x+y≥5，由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+1x y+恒成立，利用对勾函数的性质即可求得实数a的取值范围．【详解】因为正实数x，y满足4454x y xy++=，而4xy≤（x+y）2，代入原式得（x+y）2﹣4（x+y）﹣5≥0，解得x+y≥5或x+y≤﹣1（舍去），由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0可得a（x+y）≤（x+y）2+1，即a≤x+y+1x y+，令t=x+y∈[5，+∞），则问题转化为a≤t+1t，因为函数y=t+1t在[5，+∞）递增，所以y min=5+15=265，所以a≤265，故答案为（﹣∞，265] 【点睛】本题考查基本不等式，考查对勾函数的单调性质，求得x +y≥5是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．14．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m 的取值范围考点：线性规划 解析：(,1]-∞【解析】试题分析：由题意，由2{30y xx y =+-=，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,{230,,x y x y x m +-≤--≤≥，如图所示，可得1m ≤，则实数m 的取值范围(,1]-∞．考点：线性规划．15．10【解析】【分析】【详解】故则故n=10解析：10 【解析】 【分析】 【详解】1351,14,a a a =+=故126d 14,2a d +=∴=，则()1n 21002n n n S -=+⨯=故n=1016．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式解析：21n -【解析】 【分析】 【详解】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =， 因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.17．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换解析：92【解析】 【分析】 先化简11122(2)2(2)()22a b a b a b a b +=⋅+⋅=⋅+⋅+，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 由题得11121222(2)2(2)()(5)222a b a b a b a b a b b a+=⋅+⋅=⋅+⋅+=++19(522≥+=. 当且仅当221223222a b a ba b⎧+=⎪==⎨⎪=⎩即时取等. 故答案为：92【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换.18．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13-【解析】 【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.19．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了解析：12【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32aa 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--，整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=， 0q ≠Q ，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.20．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式解析：；2【解析】试题分析：由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅，即2174222AB AB =+-⋅⋅，得2230AB AB --=，31()AB ∴=-或舍，011sin 60322222S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=考点：余弦定理，三角形面积公式.三、解答题21．（1）n a n =，2nn b =；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出3434a a =⎧⎨=⎩，可计算出1a 和d的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1122213n n nB++--=，可得出131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出32n T <. 【详解】（1）1359a a a ++=Q ，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.由题意得()22412311208b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得2152q q +=，整理得22520q q -+=.1q >Q ，解得2q =，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；（2）442n n nn n c b =-=-Q ，()()()1122424242n n n B =-+-++-Q L ()()()()()112121414212444442222214123n n n nnn ++---=+++-+++=-=----L L ()()11112221432233n n n n ++++---⋅+==，()()()()()()111112323222221222121213n n nn n n n n n n n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n nn n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭， 22311313113113131122122121221212212n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与分组求和法，考查计算能力，属于中等题. 22．(1)12n n b -=, (2)36s =-【解析】 【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d 与q 的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可； （2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果. 【详解】(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由22 2.a b +=得d+q=3，由335a b +=得2d+q 2=6, 解得d=1,q=2.所以{}n b 的通项公式为12n n b -=；（2）由131,21b T ==得q 2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4，当q=4时，d=-1，则S 3=-6。
福建省三明第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(解析)
三明一中2024-2025学年上学期半期考高三数学试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数3i 1i z =++在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则化简z ，再写出其对应的点即得.【详解】3i 1iz =++()()()()31i 331i i 1i i 1i 1i 222-=+=+-=-+-，故其在复平面对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限.故选：D.2. 设,a b 均为单位向量，则“a b a b -=+ ”是“a b ⊥”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量的运算法则和公式22a a = 进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由a b a b -=+ ，则22a b a b -=+ ，即222222a b a b a b a b +-⋅=++⋅，可得0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立；反之：由a b ⊥ ，则0a b ⋅=，可得2222()a b a b a b -=-=+ 且2222()a b a b a b +=+=+ ，所以a b a b -=+，即必要性成立，综上可得，a b a b -=+ 是a b ⊥的充分必要条件.故选：C.3. 已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（ ）A. 2 B. ―2C. 1- D.12【答案】C 【解析】【分析】根据递推式求出2a ,3a ,4a 的值,可以发现数列为周期数列,从而推出10a 的值.【详解】因为111n n a a +=-,11a =-,所以212a =,32a =,41a =-,所以数列{}n a 的周期为3,所以101a =-．故选:C ．4. 已知实数1a >，0b >，满足3a b +=，则211a b+-的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】实数1a >，0b >，由3a b +=，得(1)2a b -+=，因此211211211[(1)]()(3)(3121212b a a b a b a b a b -+=-++=++≥+---，当且仅当211-=-b a a b，即14a -==-所以211a b +-.故选：B5. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中1320cm O O =，122cm O O =，16cm AB =，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：π3≈，铜的密度为8.963g /cm ）（ ）A. 1kgB. 2kgC. 3kgD. 0.5kg【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥的体积公式，结合质量公式求解即可.【详解】由题意可得惊鸟铃的体积约为长()22311π820π818128cm 33⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以该惊鸟铃的质量约为()1288.961146.88g 1⨯=≈（kg ）．故选：A ．6. 已知函数()()sin 10f x x ωω=+>在区间()0,π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（ ）A. 711,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 711,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C. [)3,5D. (]3,5【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的性质结合整体思想计算即可.【详解】因为0πx <<，所以0πx <ω<ω，令()sin 10f x x ω=+=，则方程sin 1x ω=-有2个根，所以711πππ22ω<≤，解得71122ω<≤，则ω的取值范围是711,22⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选：B7. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b +-==sin 21cos 2CC+，则角A 的大小为（ ）A.π12B.5π12C.7π12D.3π4【答案】B 【解析】【分析】借助余弦定理计算可得π6B =，4BC π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入计算即可得角A 的大小.【详解】因为222a c b +-=，由余弦定理得2cos ac B =，所以cos B =(0,π)B ∈，所以π6B =，2sin 22sin cos sin 1cos 22cos cos C C C CCC C ===+，所以cos cos sin sin C A C C A C +=-，)sin cos A C C C +=-，又πA C B +=-4B C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以π4B C =-或π4B C π+-=（舍），所以56412C πππ=+=，所以5561212A B C πππ=π--=π--=.故选：B.8. 已知函数()()()e ln 0xf x a ax a a a =--+>，若存在x 使得关于x 的不等式()0f x <成立，则实数a 的取值范围（ ）A. ()20,eB.()e0,e C.()2e ,+∞ D.()ee ,+∞【答案】C 【解析】【分析】将不等式变形为()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，构造函数()ln g x x x =+，分析可知该函数为增函数，可得出()ln ln 1a x x >--，求出函数()()ln 1h x x x =--的最小值，可得出关于实数a 的不等式，即可得出实数a 的取值范围.【详解】因为0a >，由0ax a ->可得1x >，即函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()e ln ln 10xf x a a a x a =---+<可得()e ln ln 11x a x a-<--，即()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，构造函数()ln g x x x =+，其中0x >，则()110g x x'=+>，故函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以，()()ln e 1x agg x -<-，可得ln e1x ax -<-，则()ln ln 1x a x -<-，即()ln ln 1a x x >--，其中1x >，令()()ln 1h x x x =--，其中1x >，则()12111x h x x x -'=-=--，当12x <<时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，当2x >时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，所以，()()min ln 22a h x h >==，解得2e a >.故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，结合不等式的结果构造函数()ln g x x x =+，转化为函数()g x 的单调性以及参变量分离法求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（ ）A. 若//a b ，//b c，则//a cB. 若ABC V 是锐角三角形，则sin cos A B>C. 若点G 为ABC V 的重心，则0GA GB GC ++=D. 命题：x ∀∈R ，21x >-的否定是：x ∃∈R ，21x ≤-．【答案】BCD 【解析】【分析】若0b =可判断A ；根据正弦函数单调性和诱导公式可判断B ；由重心的向量表示可判断C ；由全称命题的否定可判断D.【详解】对于A ，若0b = ，则,a c不一定平行，故A 不正确；对于B ，若ABC V 是锐角三角形，则可得π2A B +>且π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2A B π>-，且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，可得πsin sin 2A B ⎛⎫>-⎪⎝⎭，所以sin cos A B >，所以B 正确；对于C ，分别取BC ，AC ，AB 中点D ，,E F ，则2GB GC GD +=，G 为ABC V 的重心，2GD AG ∴=，20GA GB GC GA GD ∴++=+=，故C 正确；对于D ，根据全称命题的否定可得：x ∀∈R ，21x >-的否定是：x ∃∈R ，21x ≤-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为2113622n S n n =-+，则下列说法正确的是（ ）A. 7n a n =- B.23344556111145a a a a a a a a +++=C. 使0n S >的最小正整数n 为13 D.nS n的最小值为3-【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，根据n S 与n a 关系，求出通项n a 判断；对B ，利用裂项求和得解可判断；对C ，令0n S >求得答案；对D ，求出nS n，利用对勾函数单调性求最值.【详解】对于A ，由2113622n S n n =-+，当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，()()221113113611672222n n n a S S n n n n n -⎛⎫=-=-+----+=- ⎪⎝⎭，0,17,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩，故A 错误；对于B ，因为()()111118787n na a n n n n -==-----，2n ≥，所以23344556111111111111411453423255a a a a a a a a +++=-+-+-+-=-=，故B 正确；对于C ，由0n S >，即21136022n n -+>，解得12n >，故C 正确；对于D ，101S =，2n ≥时，1613112132222n S n n n n n ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为函数12y x x =+在(0,上单调递减，在()∞+上单调递增，∴当3n =或4时，n Sn取得最小值为3-，故D 正确．故选：BCD.11. 已知函数()ln 1x xf x x -=+，则下列结论中正确的是（ ）A. 函数()f x 有两个零点B. ()13f x <恒成立C. 若方程()2k f x x x =+有两个不等实根，则k 的范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 直线14y x =-与函数()f x 图象有两个交点【答案】BCD 【解析】【分析】分01x <<和1x >两种情况探讨()f x 的符号，判断A 的真假；转化为研究函数()11ln 33g x x x x =++的最小值问题，判断B 的真假；把方程()2k f x x x=+有两个不等实根，为2ln k x x =-有两个根的问题，构造函数()2ln m x x x =-，分析函数()m x 的图象和性质，可得k 的取值范围，判断C 的真假；直线14y x =-与函数()f x 图象有两个交点转化为11ln 044x x --=有两解，分析函数()11ln 44n x x x =--的零点个数，可判断D 的真假.【详解】对A ：当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x <；1x =时，()0f x =，所以函数()f x 只有1个零点.A 错误；对B ：欲证()13f x <，须证ln 113x x x -<+⇔11ln 033x x x ++>在()0,∞+上恒成立.设()11ln 33h x x x x =++，则()4ln 3h x x '=+，由()0h x '>⇒43e x ->；由()0h x '<⇒430e x -<<.所以()h x 在430,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在43e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()h x 的最小值为443343111e e 33e h --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为433e <，所以43e 0h -⎛⎫> ⎪⎝⎭.故B 正确；对C ：()2k f x x x=+⇒()1ln 1x x k x x x =++-⇒2ln k x x =-.设()2ln m x x x =-，0x >则()()2ln 2ln 1m x x x x x x '=--=-+，0x >.由()0m x '>⇒120e x -<<；由()0m x '<⇒12e x ->.所以()m x 120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.所以()m x 的最大值为：121e 2em -⎛⎫= ⎪⎝⎭，又当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x >.如图所示：所以2ln k x x =-有两个解时，10,2e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故C 正确；对D ：问题转化为方程：ln 114x x x x -=-+有两解，即11ln 044x x --=有两解.设()11ln 44n x x x =--，0x >，所以()11444xn x x x-'=-=.由()0n x '>⇒04x <<；由()0n x '<⇒4x >.所以()n x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减.所以()n x 的最大值为()54ln 44n =-.因为82256=，53243=，所以85523e >>⇒454e >⇒544e >⇒5ln 44>在所以()54ln404n =->.且当0x >且0x →时，()0n x <；x →+∞时，()0n x <.所以函数()11ln 44n x x x =--的图象如下：所以11ln 044x x --=有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第二部分（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. =______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用二倍角公式结合诱导公式化简，即可求得答案.sin50sin 40cos40sin 40cos10cos10===sin 80cos1012cos102cos102=== .故答案为：1213. 已知集合2{|290}A x x x a =-+-=，2{|4100}B x ax x a =-+=≠，，若集合A ，B 中至少有一个非空集合，实数a 的取值范围_______.【答案】{8a a ≥或4a ≤且}0a ≠【解析】【分析】先考虑A ，B 为空集得出a 的范围，再利用补集思想求得结果.【详解】对于集合A ，由()Δ4490a =--<，解得8a <;对于集合B ，由1640a ∆=-<，解得4a >.因为A,B 两个集合中至少有一个集合不为空集,所以a 的取值范围是{8a a ≥或4a ≤，且}0a ≠故答案为：{8a a ≥或4a ≤且}0a ≠14. 在四面体V ABC -中，VA VB ==3VC =，4CA CB ==，VC 的中点为P ，AB 的中点为Q ，则PQ 的取值范围为______.【答案】43⎛ ⎝【解析】【分析】设出线段AB 的长度，然后利用勾股定理表示出QV 和QC ，进而利用2221)4||QP QP QV QC ==(+ 表示出线段PQ 的长度，然后转化为函数求最值即可，但是要注意确定解析式中自变量的取值范围.【详解】如图所示，连接VQ 和CQ，根据VA VB ==4CA CB ==可知，VQ AB ⊥和CQ AB ⊥.不妨设2AB x =，则根据勾股定理可知VQ =，CQ =，其中根据三角形中三边的长度关系可知，0280233x x <<⎧⎪<<⎪>-<，解得2287036x <<.因为12QP QV QC =(+) ，所以22222222113123944442||||||||||||||||||QV QC QP QV QC QV QC QV QC x QV QC +-=(+)=(++⋅⋅)=(-)⋅.因2287036x <<，所以2163994||QP <<，即43QP <<.为。
【好题】高三数学上期中一模试卷含答案(4)
【好题】高三数学上期中一模试卷含答案(4)一、选择题1．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．32．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25C ．41D ．523．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．37B ．34C ．32或37D ．34或37 4．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．1252435．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S7．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）．A ．1B ．6C ．7D ．6或78．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-19．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a <10．已知正项数列{}n a*(1)()2n n n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若sin 2sin 0b A B +=，b =，则ca的值为（ ） A ．1BCD12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.14．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.15．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．16．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________． 17．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 18．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______.19．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________. 20．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .三、解答题21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝3c 2，求sin C 的值． 22．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？23．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若6c =ABC ∆32，求+a b 的值； 24．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=．（1）求证：A B =； （2）若6A π=，ABC V 3，求ABC V 的周长．25．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．26．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.2．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 3．C解析：C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】解：3,33,30b c B ===o Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得23927233a a =+-⨯⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：222333336()26CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23CD =+-⨯⨯⨯， ∴解得AB 边上的中线32CD =或37． 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．4．A解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二 ＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.5．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,2222232cos (603)902603904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯g 10800=,所以603BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.6．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.7．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.8．D解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.故选：D . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．10．B解析：B 【解析】 【分析】()()1122n n n n+-=-的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.【详解】(1)(1),(2)22n n n nn n+-=-=≥1=，所以2,(1),nn n a n=≥=，选B.【点睛】给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2n n na S S n-=-≥转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式11,1{,2nn nS naS S n-==-≥时，一定要注意分1,2n n=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.11．D解析：D【解析】分析：由正弦定理可将sin2sin0b A B=化简得cosA=，由余弦定理可得222227a b c bccosA c=+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin2sin0b A B+=，可得sin2sin0sinB A B+=，即2sin sin0sinB AcosA B=由于：0sinBsinA≠，所以cosA2=-：，因为0＜A＜π，所以5πA6=．又b=，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c=+-=++=.即227a c=，所以7ca=.故选：D．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．12．D解析：D【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =, 故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈二、填空题13．14【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档解析：14 【解析】 【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<， 所以130S >，140S <，150S <， 当<0n S 时n 的最小值为14， 故答案为14． 【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14．【解析】试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是：函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点：一元二次方程的根与系数的关系【解析：3(3,)2-【解析】试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0{(1)0f f ≤-≤，即2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得222390{210p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.考点：一元二次方程的根与系数的关系.【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.15．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用 解析：(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b 为正数，所以22a b ab +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．16．【解析】【分析】【详解】当时代入题中不等式显然不成立当时令 都过定点考查函数令则与轴的交点为时均有也过点解得或（舍去）故 解析：32a =【解析】 【分析】 【详解】 当时，代入题中不等式显然不成立 当时，令，，都过定点考查函数，令，则 与轴的交点为时，均有也过点解得或（舍去），故17．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形 解析：1【解析】 【分析】 【详解】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形18．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用解析：()()3234212n n n +-++ 【解析】 【分析】 观察得到21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项相消法计算前n 项和得到答案. 【详解】 观察知()2111112222n a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭.故数列的前n 项和11111113111...232422212n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()3234212n n n +=-++. 故答案为：()()3234212n n n +-++. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项相消求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.19．93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数解析：93 【解析】 【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前n 项和公式求出前5项和. 【详解】正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，即24222218,90a q a a q a -=-=则有()()()22222118,1190a q a q q -=-+= 代入有221=5,4q q +=又因为0q >，则212,6,3q a a =∴==()553129312S ⨯-∴==-故答案为93 【点睛】本题考查了求等比数列前n 项和等比数列通项公式的运用，需要熟记公式，并能灵活运用公式及等比数列的性质等进行解题，本题较为基础.20．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应 解析：()(),14,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：因为不等式234y x m m +<-有解，所以2min ()34yx m m +<-，因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()()224444y y x y x x x y y x +=++=++≥=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44yx +=，所以234m m ->，即(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.三、解答题21．（1）56π；（2）14【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=56π.(2)先根据△ABC 的面积S 2得到b ＝c ，再利用余弦定理得到a c ，再利用正弦定理求出sin C 的值． 【详解】(1)因为asin B ＝－bsin)3A π+（，所以由正弦定理得sin A ＝－sin )3A π+（，即sin A ＝－12sin A ，化简得tan A 因为A∈(0，π)，所以A ＝56π.(2)因为A ＝56π，所以sin A ＝12，由S 2＝12bcsin A ＝14bc ，得b c ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7c 2，则a c ，由正弦定理得sin C ＝sin c A a =. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 22．（1）=1040AB m （2）3537（3）1250625[,]4314（单位：m/min ） 【解析】 【分析】（1）在ABC ∆中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以5sin 13A =，4sin 5C =， 从而[]sin sin ()B A C π=-+sin()A C =+5312463sin cos sin cos 13513565A C C A =+=⨯+⨯=．由正弦定理sin sin AB AC C B=，得12604sin 104063sin 565AC AB C B =⨯=⨯=（m ）． （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-⨯⨯+⨯2200(377050)t t =-+， 由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤， 故当35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=， 得12605sin 50063sin 1365AC BC A B =⨯=⨯=（m ）． 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550⨯++=（m ），还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为/min vm ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：/min m ）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用. 【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用. 23．（1）13-（2）3【分析】（1）根据()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理将边转化为角得()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，再利用两角和与差的三角函数化简得到()sin 3cos 10+=A C 求解.（2）由（1）知sin C =ABC ∆，得94ab =，再由余弦定理()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--求解.【详解】（1）因为()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理得：()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ， 所以3sin cos sin cos sin cos 0++=A C B C C B ， 所以()3sin cos sin 0++=A C B C ， 所以()sin 3cos 10+=A C ， 因为sin 0A ≠ ， 所以1cos 3=-C .（2）由（1）知sin 3C =，因为ABC ∆的面积为4，所以1sin 24∆ABC S ab C ==，解得94ab = ，因为c =ABC ∆中，由余弦定理得：()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--， 所以()29a b +=， 所以3a b +=. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的三角函数应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题24．（1）见解析（2）4+ 【解析】 【分析】（1）用余弦定理将条件cos cos a C c A a +=化为22222222a b c b c a a c a ab bc+-+-⋅+⋅=，然后化简即可（2）由6A π=得23C π=，由ABC V a b =可推出2a b ==，然后用余弦定理求出c 即可. 【详解】（1）因为cos cos a C c A a +=由余弦定理得22222222a b c b c a a c a ab bc+-+-⋅+⋅=，整理得222b ab =， 所以a b =， 所以A B =． （2）因为6A π=，由（1）知2()3C A B π=π-+=，又ABC V所以1sin 2ab C = 又a b =，所以2122⨯= 所以2a b ==．由余弦定理，得22212cos 14222122c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以c =，所以ABC V 的周长为4+． 【点睛】本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式，较为典型.25．（Ⅰ）6π；（Ⅱ）2+. 【解析】分析：（12sin cos B B A =． （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解．cos 2sin cos cos A C B A C A =()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos 2A = 又A 为三角形内角，所以6A π=．（Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：22342232b c bc bc bc =+-≥-， 所以()423bc ≤+，所以1sin 232S bc A ==+. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．26．（1）31,2nn n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ． 试题解析： （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得． 所以． 由，得，又，解得．所以． （2）因为，所以．。
2020-2021年高三数学第一学期期中试卷模拟题及答案
已知函数 ．
（Ⅰ）当a=1时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得 是曲线 的切线?若不存在,说明理由;若存在,求出实数a的值.
答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
D
A
B
A
C
C
C
D
二、填空题
11
12
13
14
15
钝角三角形
100
三、解答题
16．
解：（Ⅰ）由正弦定理可得 .
所以PA⊥CD．
又因为AD⊥CD，
平面 ，
平面 ，
所以CD⊥平面PAD．............................8分
（Ⅱ）过A作AD的垂线交BC于点M．
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．
如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2， 1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
所以函数f(x)的单调递增区间是 ，k∈Z.............................10分
(Ⅲ)当x∈ 时，2x－ ∈ ，
sin ∈ ，f(x)∈ .
故f(x)的值域为 .............................16分
18．
解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，且 平面 ，
2.若实数 ，则下列不等式中一定成立的是（）
A. B. C. D.
3.下列函数中是奇函数的为（ ）
A． B． C． D．
4.已知不等式 的解集为 ，则 的值为（）
A. B. C.14D.10
山东省2024-2025学年高三上学期期中检测数学模拟试卷(含答案)
（2）由（1）得， cn n 2n ，
设数列cn 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn 1 21 2 22 3 23 n 2n ，
2Sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n1 ，相减得，
2 1 2n
Sn 21 22 23 2n n 2n1 1 2 n 2n1 .
x
x
f (x) 的减区间是 (
1 , ); 增区间是 (0,
1 ).
2a
2a
f (x) 极大值为 f (x)极大值 =f (
1 ) 1 (1 ln 2a); 2a 2
无 f (x)极小值.无极小值
（2）依题意：设 A f (x) x 1, B g(x) x 0 A B
2x 1, 0 x 1 g(x) {x, 1 x 2 . B (, 2]
4 x, x 2
① 若 1 1，在 x (1, ), f (x) (, 1 1 ln 2a) A B
2a
22
1 1 ln 2a 2 a 1 e5
22
2
故 a [ 1 e5, 1 ) ； 22
② 若 0 1 1, 在 x (1, ), f (x) (, f (1)) A (, 2], 2a
∴ Sn n 1 2n1 2 ，
∴数列cn 的前 n 项和为 n 1 2n1 2 . 18.（1）依题意， f x sin 2x cos 2x 2 sin(2x ) ，
4
所以 f x 的最小正周期为 π ；
由 π 2kπ 2x π π 2kπ, k Z ，得 3π kπ x π kπ, k Z ，
2024-2025 年高三上学期期中检测模拟试卷
一、单选题
1．已知集合 A x 5 2x 1 5 ， B x y 9 3x ，则 A B （ ）
2020-2021高三数学上期中模拟试卷带答案(15)
2020-2021高三数学上期中模拟试卷带答案(15)一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102003．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形4．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．85．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720206．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．1252437．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120km B． C． D．8．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-9．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．403610．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S11．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n-- D ．()32143n -- 12．已知正项数列{}n a*(1)()2n n n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，b c +=ABC V 的面积为______．14．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=L ____________． 15．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．16．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____．17．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 18．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______．19．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △b ，c ．22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S23．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =； （2）若6A π=，ABC V，求ABC V 的周长．24．设等差数列{}n a 满足35a =，109a =- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值 25．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值．26．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．B解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.3．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅=所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．5．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．6．A解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二 ＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.7．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,2222232cos (603)90260390BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯g 10800=,所以603BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D .【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础9．D解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<，所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列.又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.11．D解析：D 【解析】 【分析】 先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．B 解析：B 【解析】【分析】()()1122n n n n+-=-的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.【详解】(1)(1),(2)22n n n nn n+-=-=≥1=，所以2,(1),nn n a n=≥=，选B.【点睛】给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2n n na S S n-=-≥转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式11,1{,2nn nS naS S n-==-≥时，一定要注意分1,2n n=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.二、填空题13．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA的值由余弦定理可求64=（b+c）2﹣bc求bc即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC中btanB+btanA=﹣2cta nB∴由正弦【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA的值，由余弦定理可求64=（b+c）2﹣bc，求bc，即可得三角形的面积．【详解】∵在△ABC中btanB+btanA=﹣2ctanB，∴由正弦定理可得sinB（tanA+tanB）=﹣2sinCtanB，∴sinB（tanA+tanB）=﹣2sinC•sinBcosB，∴cosB（tanA+tanB）=﹣2sinC，∴cosB（sinAcosA+sinBcosB）=﹣2sinC，∴cosB•sinAcosB cosAsinB cosAcosB +=﹣2sinC ， ∴cosB•()sin A B cosAcosB +=sinC cosA=﹣2sinC ， 解得cosA=﹣12，A=23π； ∵a=8，b c +=64=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ，∴bc=9∴△ABC 的面积为S =12bcsinA=1922⨯⨯4，． 【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于中档题．14．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an ）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an ＝2n+2再利用累加求和方法可得an ＝n （n+1）利解析：2018【解析】【分析】数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝6，且（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）＝2，利用等差数列的通项公式可得：a n +1﹣a n ＝2n +2．再利用累加求和方法可得a n ＝n （n +1）．利用裂项求和方法即可得出．【详解】∵()()2112n n n n a a a a +++---=，∴数列{a n +1﹣a n }为等差数列，首项为4，公差为2．∴a n +1﹣a n ＝4+2（n ﹣1）＝2n +2．∴a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2n +2（n ﹣1）+…+2×2+2()122n n +=⨯=n （n +1）． ∴12201911111111111223201920202020a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ． ∴][][122019201920192019201912019201820202020a a a ⎡⎤+++=-=+⎢⎥⎣⎦L ＝2018． 故答案为：2018．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角 解析：14- 【解析】在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故222132,3,cos .24a b c a b b c ab +-=∴===- 故答案为：14-. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 16．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b 将转为（a ﹣b ）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b ＞0的解集为{x|x解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b 将227a b a c+++转为（a ﹣b ）+9a b-，利用基本不等式求得它的范围． 【详解】 因为一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a ＞0，二次函数的对称轴为x=1a-=c ，△=4﹣4ab=0， ∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a -，b=1a ，即c=-b,则227a b a c +++=()29a b a b-+-=（a ﹣b ）+9a b -， 当a ﹣b ＞0时，由基本不等式求得（a ﹣b ）+9a b-≥6， 当a ﹣b ＜0时，由基本不等式求得﹣（a ﹣b ）﹣9a b -≥6，即（a ﹣b ）+9a b -≤﹣6, 故227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）， 故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.17．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题解析：1231n -⋅-【解析】【分析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ【详解】因为{}n a 满足132n n a a +=+，所以()13n n a a λλ++=+，即132n n a a λ+=+，得到1λ=，所以()1131n n a a ++=+，而112a +=，故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，故1231n n a -=⋅-.故答案为：1231n -⋅-.【点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题. 18．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题 解析：1941【解析】【分析】 由等差数列的性质和求和公式可得原式1111S T =，代值计算可得． 【详解】∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴939393657846666222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341⨯-=⨯-，∴661941a b =， 故答案为1941. 【点睛】 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．19．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析解析：2m ≤或2m ≥ 【解析】【分析】先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果.【详解】 2()4()(1)4()x f m f x f x f m m-≤-+Q 22222()14(1)(1)14(1)x m x x m m∴---≤--+- 即2221(41)230m x x m +---≥ 即222123341,()2m x m x x +-≥+≥ 因为当32x ≥时22323839324x x +≤+= 所以2221834134m m m +-≥∴≥∴m ≤或m ≥故答案为：32m ≤-或32m ≥ 【点睛】 本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x z y =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x z y =-的截距最大，此时z 最小 由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=- 故答案为10-三、解答题21．(1)60A =︒；(2)2b c ==.【解析】试题分析：（1）由题意利用正弦定理边化角可得()3sinAcosC sinAsinC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得()1302sin A -︒=，则60A =︒． （2）由题意结合三角形面积公式可得132S bc sinA =⋅=4bc =，结合余弦定理计算可得4b c +=，则2b c ==．试题解析：（1）∵在ABC V 中，0acosC b c --=，利用正弦定理可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，1cosA -=，即()1302sin A -︒=， ∴3030A -︒=︒，∴60A =︒．（2）若2a =，ABC V则12S bc sinA =⋅== ∴4bc =， 又由余弦定理可得()2222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=，∴4b c +=，故2b c ==．22．(1)12n nb -=, (2)36s =-【解析】【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d 与q 的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可； （2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果.【详解】(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由22 2.a b +=得d+q=3，由335a b +=得2d+q 2=6, 解得d=1,q=2.所以{}n b 的通项公式为12n n b -=； （2）由131,21b T ==得q 2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4，当q=4时，d=-1，则S 3=-6。
北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷含答案
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可逐一判断.
【详解】对于 A，函数 y 2x 为指数函数，不具备奇偶性，故 A 错误；
对于 B，函数 y ln | x | 的定义域为{x | x 0}，
由于 f (x) ln | x | ln | x | f (x) 为偶函数，故 B 错误；
所以 A B x 1 x 2 .
故选：A.
2. 若函数 f (x) x 4 (x 0) 在 x a 处取得最小值，则 a （ ） x
A. 1
B. 2
C. 2
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】因为 x 0 ，所以用基本不等式求得最小值，并找到最小值点为 x 2 ，得出结果 a 2 . 【详解】∵ x 0 ，∴ 4 0 ，
对于 C，函数 y tan x ，由正切函数的性质可知 y tan x 为奇函数，
且在
π 2
kπ,
π 2
kπ
,
k
Z
单调递增，故
C
错误；
对于 D，函数 y x 2 的定义域为{x | x 0}， x
由
f
(x)
x
2 x
x
2 x
(x
2) x
f
(x)
，故函数
y
x
2 x
为奇函数，
因为
f (x) 1
然后得出 u 的值.
【详解】如图，棱 OA ， OB ， OC 两两垂直， 可以 O 为坐标原点， AO 为 x 轴， OB 为 y 轴， OC 为 z 轴，建立空间直角坐标系.
b2 c2 1
设 P a,b, c ，由题意可得： a2 c2 4 ，∴ a2 b2 c2 9 ，
【好题】高三数学上期中模拟试卷附答案(1)
【好题】高三数学上期中模拟试卷附答案(1)一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S5．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1 B ．6C ．7D ．6或7 6．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．367．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +8．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．239．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+dC ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d10．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5211．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-12．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,7a b c +==，则ab 为 ．14．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．15．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为__________． 16．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 17．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 18．在中，若，则__________．19．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________.20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题21．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()2cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若22a b ==，，求()sin 2B C -的值.22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．23．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，24n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.24．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =r与()cos ,sin n =A B r平行．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．25．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n n S n a n N *+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明14n T <.26．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.3．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
【必考题】高三数学上期中一模试卷含答案(1)
【必考题】高三数学上期中一模试卷含答案(1)一、选择题1．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--2．在ABC V 中，4ABC π∠=，2AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A ．10 B ．10 C ．310D ．5 3．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．14．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25C ．41D ．525．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值316．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-7．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14± D ．148．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720209．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．71010．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．12524311．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．512．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．52二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,7a b c +==，则ab 为 ．14．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．15．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．16．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．17．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 18．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．19．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求12111nS S S ++⋯+． 22．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .23．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．24．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =．()1求C ；()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V25．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．26．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若25a =，2b =．求ABC V 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.2．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC =∠sin BAC ∠= 考点：解三角形.3．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号，31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+， 32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.4．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 5．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+， ∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.6．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.7．A解析：A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1）=1+2+3+…+n=12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．9．B解析：B 【解析】试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==o o ,从而可得：30BAC ∠=o 由正弦定理，得：56sin 45sin 30AB =o o， 103AB ∴=,那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3sin 6010315AD AB ∴==⨯=o ， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．10．A解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二 ＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.11．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则141441412()[(1)]()52591111x y x yx y x y x y y x y x+++=+++=++=++++g …， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．12．B解析：B 【解析】【分析】设f（x）1221x x=+-，根据形式将其化为f（x）()1152221x xx x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x13=时()11221x xx x-+-的最小值为2，得到f（x）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m≤（1221x x+-）min，由此可得实数m的最大值．【详解】解：设f（x）11222211x x x x=+=+--（0＜x＜1）而1221x x+=-[x+（1﹣x）]（1221x x+-）()1152221x xx x-=++-∵x∈（0，1），得x＞0且1﹣x＞0∴()11221x xx x-+≥-=2，当且仅当()112211x xx x-==-，即x13=时()11221x xx x-+-的最小值为2∴f（x）1221x x=+-的最小值为f（13）92=而不等式m1221x x≤+-当x∈（0，1）时恒成立，即m≤（1221x x+-）min因此，可得实数m的最大值为9 2故选：B．【点睛】本题给出关于x的不等式恒成立，求参数m的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．二、填空题13．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理解析：6 【解析】 试题分析：274sincos 222A B C +-=Q ，274sin cos 222C C π-∴-=，274cos cos 222C C ∴-=，()72cos 1cos 22C C ∴+-=，24cos 4cos 10C C ∴-+=，即()22cos 11C -=，解得1cos 2C =． 所以在ABC ∆中60C =o ．2222cos c a b ab C =+-Q ，()2222cos60c a b ab ab ∴=+--o，()223ca b ab ∴=+-，()22257633a b c ab +--∴===．考点：1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．14．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6解析：-6 【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122zy x =-经过点A(0，3)时，直线的纵截距2z-最大，z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 15．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理解析：18 【解析】471017a a a ++=，观察下标发现4，7，10成等差数列，所以74710317a a a a =++=，7173a ∴=同理94561213141177a a a a a a a =++++++=L ，97a ∴=423d ∴=，23d =91376k a a -=-=2693÷=9918k ∴=+=16．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的 解析：5【解析】 试题分析：5cos2C =，21cos 2cos 129C C =-=，45sin 9C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为952sin c R C ==，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有95110x x ⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭，解得52x =，故最大面积为1552222S =⋅⋅=.考点：解三角形．【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.17．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得 解析：30【解析】 【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．18．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际解析：14【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=o ， 由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=o ，所以BC =,由正弦定理可得sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=，因为120BAC ∠=o ，可知ACB ∠为锐角，所以cos 7ACB ∠=所以cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=o o o ． 【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．19．或【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域解释目标函数为直线在轴上的截距由目标函数取得最大值的最优解不唯一得直线应与直线或平行从而解出的值【详解】解：画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示将解析：2或1-. 【解析】 【分析】先画出不等式组所代表的平面区域，解释目标函数为直线=+y ax z 在y 轴上的截距，由目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一，得直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，从而解出a 的值.【详解】解：画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域如图中阴影所示将=+z ax y -转化为=+y ax z ，所以目标函数z 代表直线=+y ax z 在y 轴上的截距 若目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一则直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，如图中虚线所示 又直线20x y +-=和220x y -+=的斜率分别为1-和2 所以2a =或1a =- 故答案为：2或1-.【点睛】本题考查了简单线性规划，线性规划最优解不唯一，说明目标函数所代表的直线与不等式组某条边界线平行，注意区分最大值最优解和最小值最优解.20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10 【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x zy =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x zy =-的截距最大，此时z 最小由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-故答案为10-三、解答题21．（1）n a n =，12n n b -=；（2）21nn + 【解析】 【分析】（1）由题意,要求数列{}n a 与{}n b 的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d ，q ,然后根据等差数列的前项和公式,代入226b S =,238b S +=,求出d ，q 即可写出数列{}n a 与{}n b 的通项公式．（2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=+,即()121n s n n =+,而要求12111n S S S ++⋯+,故结合1n s 的特征可变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,代入化简即可． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，d ＞0，{}n b 的等比为q则1(1)n a n d =+- ,1n n b q -=,依题意有()26338q d q d ⎧+=⎨++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩或439d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去）故1,2n n n a n b -==,（2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=+ ∴11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∴1211111111212231n S S S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭． 【点睛】本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出n S 的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d ＞0．第二问考查了求数列的前n 项和，关键是要分析数列通项的特征,将()121n s n n =+等价变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,然后代入计算，这也是求数列前n 项和的一种常用方法--裂项相消法！ 22．⑴见证明；⑵()11222n n n ++-+【解析】 【分析】（1）由递推公式计算可得12n nb b +=，且1112b a =-=，据此可得数列{}n b 是等比数列. （2）由（1）可得2n n b =，则2nn a n =+，分组求和可得()11222n n n n S ++=-+.【详解】 （1）()()()11121122n n n n n n n n a n a n n a n b b a n a n a n++-+-+-+-====---， 又111312b a =-=-={}n b ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）得2n n b =，2nn a n ∴=+，()()()()()12122122...222...2123...n n n S n n ∴=++++++=++++++++()()()121211221222nn n n n n +-++=+=-+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．23．（1）（2）57【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A ＝. （2）由S ＝bcsin A ＝bc×＝bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝. 从而由正弦定理得sin B sin C ＝sin A×sin A ＝sin 2A ＝×＝.考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.24．(1) 12π．(2)33- 【解析】 【分析】()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】() 1Q 由已知可得ccosB bsinC =，又由正弦定理b csinB sinC=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈Q ，4B π∴=，2221cosA cos A cos A ==-Q ，即2210cos A cosA --=，又()0,A π∈，12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π=，12C A B ππ∴=--=．()223A π=Q ，4B π=，2a =， ∴由正弦定理a bsinA sinB=，可得22a sinBb sinA ⨯⋅===，()1sin 222sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=+-⨯=⎪⎝⎭Q113222343ABC S absinC -∴==⨯⨯⨯=V ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 25．（1）=BC 2【解析】 【分析】（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质可得AE AC BE BC ==．可求BE =，215AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．即：212cos 4m m ADB +-∠=，①212cos 1m m ADB ++∠=．②由①+②，得：232m =，所以m =BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：,sin sin sin sin AE EC BE ECACE EAC BCE CBE==∠∠∠∠，由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，所以AE AC BE BC ==所以BE =，所以215AE =（）．又222222121cos 22214AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以sin BAC ∠=，所以11211225ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯=V （）． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 26．（1）4A π=（2）4【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=． 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠， 所以sin cos 0A A -=04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,A π∈，所以4A π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则22044c c =+-⋅⎝⎭． 即2160c -=．解得c =-c =所以1242S =⨯⨯=．·点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.。
山东省菏泽市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}202,0M x x N x x x =∈<<=-≤Z ∣∣，则M N = （）A.{}0,1 B.{}1 C.{}1,1- D.∅2.已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()1f x -的定义域为（）A.[]1,2B.[]4,6 C.[]5,9 D.[]3,73.已知2025π1sin sin 22αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2sin cos ααα=+（）A.12-B.12C.0D.14.“函数()32f x x ax =-在[]2,3-上单调递增”是“3a ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分又不必要条件5.过曲线9log =y x 上一点A 作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线3log y x =于点,B C ，若直线BC 过原点，则其斜率为（）A.1B.3log 22C.ln33D.2log 366.函数()11ln sin 21x f x x x+=--的零点个数为（）A.1B.0C.3D.27.自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：τηγ=，其中τ为剪切应力，η为黏度，γ为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变τγ-曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（）A.①和④B.③和④C.③和②D.①和②8.已知函数()()1e xf x x =-，点(),m n 在曲线()y f x =上，则()()f m f n -（）A.有最大值为1e-，最小值为1 B.有最大值为0，最小值为1e-C.有最大值为0，无最小值D.无最大值，有最小值为1e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知0c b a <<<，则（）A.ac bc <B.333b c a +< C.a c ab c b+>+D.<10.已知函数()21,2,5,2x x f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则（）A.1a ≤- B.[]1,4c ∈ C.()20,5ad ∈ D.222a b +=11.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x 弧度π02x ⎛⎫<<⎪⎝⎭，记表面积增加量为()S f x =，则（）A.π663f ⎛⎫=⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线π3x =对称C.S 呈周期变化D.6S ≤-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题：“所有能被4整除的正整数能被2整除”的否定是______．13.已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象与曲线()y f x =关于原点对称，则()0f =______．14.已知22,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，2log 2axx x ax ≥⋅，则正数a 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin ,63C C b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，ABC V的面积为．（1）求C ；（2）求ABC V 的周长．16.已知函数()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若ππ,68x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，求()()23-=+f x y f x 的最大值．17.记锐角ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos c CA b B-=．（1）求B ；（2）延长AC 到D ，使2,15AC CD CBD =∠= ，求tan A ．18.已知函数()()2e xf x x a =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）设12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记()()()()1122,,,A x f x B x f x ．证明：直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ．19.已知函数()()sin tan sin 2f x x x x =+-，其中01x <<，（1）证明：21cos 12x x >-；（2）探究()f x 是否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】存在能被4整除的正整数不能被2整除【13题答案】【答案】3-【14题答案】【答案】222log e e 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π3C =（2）10+【16题答案】【答案】（1）π5ππ11π,224224k k ⎡⎤++⎢⎣⎦，()k ∈Z （2）0【17题答案】【答案】（1）45B =（2）2+【18题答案】【答案】（1）单调增区间为()(),2,,a a ∞∞--+，单调减区间为(2,)a a -（2）证明见解析【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）没有，理由见解析。
北京市2025届高三上学期期中考试数学试题含答案
2024北京高三（上）期中数学（答案在最后）本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.设集合{}22M x x =<，{}13N x x =-≤≤，则M N ⋃=（）A.{1x x -≤< B.{}12x x -≤<C.{}3x x <≤ D.{}23x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式求集合M ，进而根据并集运算求解.【详解】因为22x <，解得x <<，即{|M x x =<<，且{}13N x x =-≤≤，所以{}3M N xx =<≤∣ ．故选：C ．2.曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为（）A.9 B.5C.8- D.10【答案】A 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得解.【详解】由已知3113y x =+，则2y x '=，当3x =-时，()239y '=-=，即切线斜率9k =，故选：A.3.在复平面内，复数z 1，z 2对应的点分别是()()2,1,1,3--，则21z z 的模是（）A .5B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算及模长公式即可求解.【详解】由题意知，12i z =-，213i z =-，所以()()()()2113i 2i 13i 55i 1i 2i 2i 2i 5z z -+--====---+所以21z z ==，故选：D.4.已知直线6x π=是函数()sin (08)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴，则ω的值为（）A.3B.4C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数图象的对称性可得,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，由此可得答案.【详解】依题意得()sin()1666f πππω=⋅+=±，所以,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，即62,Z k k ω=+∈，又08ω<<，所以2ω=.故选：C.5.若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（）A.a b c<< B.b c a<< C.c b a << D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.【详解】322log 40.45===c ，因为0.4x y =在R 上为减函数，所以10.50.40.40.40.4=<=<c a ，因为0.4y x =在()0,x ∈+∞上为增函数，所以0.40.40.50.4>=b ，所以a b <，所以c a b <<，故选：D.6.在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点．则EB =（）A.3144AB AC -B.3344AB AC -C.3144AB AC +D.3344AB AC +【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，所以()1113122244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-，故选：A ．7.在长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面11AB D 平行的概率为A.314B.514C.328D.528【答案】C 【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】八个顶点任两点连线共有28C 28=条，其中直线与平面11AB D 平行的有BD ，1BC ， 共有3条，所以该直线与平面11AB D 平行的概率为328P =.故选：C .8.已知,a b 都大于零且不等于1，则“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】log 1ab >等价于1b a >>或01b a <<<，(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，然后可判断出答案.【详解】由log 1a b >可得log log a a b a >，所以可得1a b a >⎧⎨>⎩或01a b a <<⎧⎨<⎩，即1b a >>或01b a <<<(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩所以“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的充分不必要条件故选;：A9.已知函数()22,,x x x mf x x x m⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.1m ≥B.3m ≥C.13m ≤≤D.1m ≤或3m ≥【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可.【详解】因为()22211y x x x =-=--在[)1,+∞上单调递增，y x =在R 上单调递增，又()22,,x x x mf x x x m ⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，所以212m m m m ≥⎧⎨≤-⎩，解得3m ≥，即实数m 的取值范围是3m ≥.故选：B10.核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量n X 与扩增次数n 满足()0lg lg 1lg n X n p X =++，其中p 为扩增效率，n X 为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为（）（参考数据：0.210 1.585≈，0.2100.631-≈）A.36.9% B.41.5%C.58.5%D.63.4%【答案】C 【解析】【分析】由题意，0100n X X =代入解方程即可.【详解】由题意可知，()00lg10010lg 1lg X p X =++，即002lg 10lg(1)lg X p X +=++，所以0.2110 1.585p +=≈，解得0.585p =.故选：C二、填空题（本大题共5小题，共25分）11.函数y =______.【答案】()0,2【解析】【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得240x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<，故定义域为()0,2.故答案为：()0,212.已知等差数列{}n a 的前n 项和为13,1,18n S a S ==，则6S =______.【答案】81【解析】【分析】运用等差数列的性质公式计算即可.【详解】根据题意，知道131,18a S ==，则231417a a a a +==+，则416a =，若公差为d ，所以41315a a d -==，则5d =.故1234561,6,11,16,,21,26.a a a a a a ======则6161116212681S =+++++=.故答案为：8113.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC V 的面积是______________.【答案】332【解析】【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积.【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++- ，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC V的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14.已知函数()()22log 2,014,03x x x a x f x x ⎧++≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域是R ，则实数a 的最大值是______．【答案】8【解析】【分析】根据条件可得()f x 在[)0+∞，上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出a 的范围．【详解】当0x <时，1()43)(,3xf x ⎛⎫=- ∈-∞⎪⎝⎭．因为()f x 的值域为R ，则当0x ≥时，min ()3f x ≤．当0x ≥时，222(1)1y x x a x a =++=++-，故()f x 在[)0+∞，上单调递增，min ()=(0)3f x f ∴≤，即2log 3a ≤，解得08a <≤，即a 的最大值为8．故答案为：8．15.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4．E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面面积等于；②截面是一个五边形；③直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点．其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】②③【解析】【分析】根据给定条件，作出平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，再逐一判断各个命题作答.【详解】在四棱锥P ABCD -中，PA =AB =4，取CD 中点，连接FG ，GH ，BD ，AC ，如图，因底面ABCD 为正方形，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，则////EH BD FG ，////EF PC GH ，EFGH 是平行四边形，令FG AC J ⋂=，有14CJ AC =，在PA 上取点I ，使14PI PA =，连接,,EI HI JI ，则////JI PC EF ，点J ∈平面EFH ，有JI ⊂平面EFH ，点I ∈平面EFH ，,EI HI ⊂平面EFH ，因此五边形EFGHI 是平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，②正确；因EF ⊂平面EFH ，PC ⊄平面EFH ，而//EF PC ，则//PC 平面EFH ，直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点，③正确；PA ⊥底面ABCD ，FG ⊂平面ABCD ，有PA FG ⊥，而BD AC ⊥，//BD FG ，则AC FG ⊥，又PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，因此FG ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，于是得FG PC ⊥，有FG EF ⊥，而122FG BD ==，22112322EF PC PA AC ==+，矩形EFGH 面积等于6EF FG ⋅=，3334JI PC ==，而JI EH ⊥，则IE H 边EH 上的高等于3JI EF -=1362IEH S EH == ，所以截面五边形EFGHI 面积为56.故答案为：②③【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、解答题（共6题，共85分）16.已知函数()()22sin cos 2cos f x x x x =+-，（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值【答案】（1）最小正周期π，单调递减区间3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2，最小值-1．【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式与配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递减区间；（2）先根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，确定正弦函数自变量取值范围，再根据正弦函数性质求最值.【小问1详解】()()()222πsin cos 2cos 12sin cos 2cos 1sin 21cos 224f x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-=+-=+-+=- ⎪⎝⎭,∴最小正周期2ππ2T ==，由ππ3π22π,2π422x k k ⎡⎤-∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 得单调递减区间为3π7ππ,π88x k k ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；【小问2详解】由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x -=时，()f x ；当ππ244x -=-时，()f x 的最小值为-1.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①22cos a b c B -=，②1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ ，m n ⊥.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC V 周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）选①由正弦定理结合和角公式得出角C ；选②由和角公式结合辅助角公式得出角C ；由数量积公式结合余弦定理得出角C ；（2）由余弦定理结合基本不等式得出ABC V 周长的取值范围.【小问1详解】选①由正弦定理及22cos a b c B -=，2sin sin 2sin cos A B C B -=，又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，2sin cos sin B C B∴=sin 0B ≠ ，1cos 2C ∴=，又(0,)C π∈，3C π∴=.选②由1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，311sin cos cos 222C C C +=+，即311sin cos 222C C -=，1sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭.(0,)C π∈ ，5,666C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，66C ππ∴-=，3C π∴=.选③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ .m n ⊥.()()()0a c a c b a b ∴-⋅++-⋅=.化简得222a b c ab +-=，2221cos 22a b c C ab +-==.又(0,)C π∈ ，3C π∴=.【小问2详解】由余弦定理得2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，又2a b+³Q 2()4a b ab +∴≤当且仅当a b =时等号成立.2233()3()4ab a b a b ∴=+-≤+，0a b ∴<+≤，当且仅当a b ==.a b c ∴++≤=又a b c +>，2a b c c ∴++>=ABC ∴周长的取值范围为.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面EDB ；（2）求平面EDB 与平面PAD 夹角的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在一点F ，使直线EF 与平面EDB 所成角的正弦值为3，若存在，求出求线段BF 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）66（3）存在；BF 的长为32或94【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；（3）假设棱PB 存在一点F 使得BF BP λ= ，且EF EB BF =+uu u r uur uu u r，即可求出EF ，利用向量的夹角公式列出关于λ的方程求解即可.【小问1详解】连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，点E 是PC 的中点，点O 是AC 的中点，所以PA ∥OE ,OE ⊂平面EDB ,PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB ；【小问2详解】如图，以向量DA ，DC ，DP为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，即()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，则()()1,2,0,0,1,1DB DE ==，设平面EDB 的法向量(),,m x y z = ，则20DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =-得2,1x z ==，所以平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面EDB 和平面PAD 的夹角为θ，则6cos cos ,66m n m n m n θ⋅====，所以平面EDB 和平面PAD 的夹角的余弦值为66；【小问3详解】由（2）知()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，()0,0,2P ，()1,1,1EB =- ，()1,2,2BP =-- ，(),2,2(01)BF BP λλλλλ==--<<，()()()1,1,1,2,21,12,12EF EB BF λλλλλλ=+=-+--=---+，由（2）知平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，设直线EF 与平面EDB 的夹角为α，则6sin cos ,,013EF m αλ===<<整理得281030λλ-+=，解得12λ=或3,4λ=故当12λ=时，32BF =；当34λ=时，94BF =则BF 的长为32或94．19.某市A ，B 两所中学的学生组队参加信息联赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生.B 中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）设X 表示A 中学参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，a ()*a ∈N，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出a 的取值范围（不要求过程）.【答案】（1）99100（2）分布列见解析，期望为32（3）{|738},5N a a a *<∈<【解析】【分析】（1）A 中学至少有1名学生入选代表队的对立事件是A 中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B 中学的学生，计算概率后，求对立事件的概率即可；（2）6名男队员中有A ，B 中学各3人，所以选3人来自A 中学的人数X 可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望；（3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a 的取值范围.【小问1详解】由题意知，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全部从B 中学中抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为33343366C C 1C C 100=.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1991100100-=.【小问2详解】根据题意得，X 的可能取值为0，1，2，3.则()()031233333366,0C C C C 1901C 20C 2P X P X ⋅⋅======，()213336C C 92C 20P X ⋅===，()330363C C 13.C 20P X ⋅===所以X 的分布列为：X 0123P120920920120因此，X 的数学期望()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为2224)043233-++=(，3名女生的比赛成绩为77，a ()*a ∈N，81，平均值为1583a +，所以222158158158327781333a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()()()()()222222329732158857347985a a a a a a ⨯>-+-+-=-+-+-，代入检验，可知a 最小为74，最大84，故7385a <<，N a *∈即a 的取值范围{|738},5N a a a *<∈<.20.已知函数()211ln22f x a x x =--+（a ∈R 且0a ≠）.（Ⅰ）当a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（Ⅲ）若()y f x =有两个极值点1x 、2x ，证明：()()129ln f x f x a +<-.【答案】（Ⅰ）10x y +--=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（Ⅱ）求得()2x af x x-+-'=，由20x a -+-=，分0∆>和0∆≤两种情况讨论，分析()f x '的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（Ⅲ）由题意可知，方程()0f x '=有两正根1x 、2x ，利用韦达定理得出12x x +=，12x x a =且()0,3a ∈，将所证不等式转化为ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，利用导数证明出当()0,3x ∈时，()0g x >即可.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为 t h（Ⅰ）因为a =时，()21122f x x x =--+，所以()f x x x'=--，那么()11f '=-，()1f =，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()1y x -=--，即10x y +-=；（Ⅱ）因为()2a x af x x x x-+-'=--=，由20x a -+-=可得：①当1240a ∆=->，()0,3a ∈，时，有1x =+，2x =120x x >>，()20,x x ∈和()1,x x ∈+∞时()0f x '<，即函数()y f x =在(和)+∞上为减函数；()21,x x x ∈时，()0f x '>，即函数()y f x =在上为增函数；②当3a ≥时，0∆≤，()0f x '≤恒成立，所以函数()y f x =在 t h 为减函数.综上可知：当0<<3a 时，函数()y f x =在(和)+∞上为减函数，在上为增函数；当3a ≥时，函数()y f x =在 t h 上为减函数；（Ⅲ）因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()20x af x x-+-'==有两个正根1x 、2x ，则有1240a ∆=->，且12x x +=，120x x a =>，即()0,3a ∈，所以()())()()22121212121ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++若要()()129ln f x f x a +<-，即要ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，则()1ln g x x x'=-，易知()y g x '=在()0,3上为增函数，且()110g '=-<，()12ln 202g '=->，所以存在()01,2x ∈使()00g x '=即001ln x x =，且当()01,x x ∈时()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,2x x ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =在()1,2上有最小值为()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，又因为()01,2x ∈则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00g x >在()01,2x ∈上恒成立，即()()129ln f x f x a +<-成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.设n 为正整数，集合(){}{}12|,,,,0,1,1,2,,.n n i A a a a a i n αα==∈= 对于()12,,,n n a a a A α=∈ ，设集合(){}01,,1,2,,i t i P a t t n a a i n t +=∈≤≤-==⋯-N .（1）若()()0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0αβ==，写出集合()(),P P αβ；（2）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(),s t P α∈满足s t <，令()12,,,n s n s a a a A α--∈'= ，求证：()t s P α-∈'；（3）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(){}1212,,,,3m m P s s s s s s m α=<<<≥ （），求证：()1221,2,,2k k k s s s k m ++≥+=- .【答案】（1）(){}(){}0,3,5,0,5,8,10P P αβ==；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意，即可直接写出(),()P P αβ；（2）由i s i a a +=可得j t j t s a a ++-=，结合j t j a a +=可得,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，即可证明；（3）若()t P α'∈且2t n s <-则2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，进而2()s t P α+∈，由（2）可知1()k k k s s P α+-∈，分类讨论12()k k k s s n s +-<-、12()k k k s s n s +-≥-时12k k s s +-与2k s +的大小关系，即可证明.【小问1详解】(){0,3,5},(){0,5,8,10}P P αβ==；【小问2详解】因为()s P α∈，所以,1,2,,i s i a a i n s +==- ，当1j n t ≤≤-时，1j t s n t t s n s <+-≤-+-=-，所以j t s s j t s a a +-++-=，即j t j t s a a ++-=，1,2,,j n t =- ，又因为()t P α∈，所以,1,2,,j t j a a j n t +==- ，所以,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，所以()t s P α'-∈；【小问3详解】对任意()s P α∈，令12(,,,)n s n s a a a A α--'=∈ ，若()t P α'∈且2t n s <-，则,1,2,,i t i a a i n s t +==-- ，所以2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，因为()s P α∈，所以1,1,2,,j j a a j n s +==- ，所以22,1,2,,2i i t i t s a a a i n s t +++===-- ，所以2()s t P α+∈.对1,()(1,2,,2)k k s s P k m α+∈=- ，因为1k k s s +<，由（2）可知，令12(,,,)k k n s a a a α-= ，则1()k k k s s P α+-∈.若12()k k k s s n s +-<-，因为()k s P α∈，所以12()()k k k s s s P α++-∈，即12()k k s s P α+-∈，又因为11112()k k k k k k s s s s s s ++++-=+->，所以122k k k s s s ++-≥.若12()k k k s s n s +-≥-，则122()k k k m k s s s n s s +++-≥>≥，所以122k k k s s s ++->.综上，122k k k s s s ++-≥即122(1,2,,2)k k k s s s k m ++≥+=- .【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识..。
2024-2025学年天津市河东区高三数学上学期期中考试卷及答案解析
y2 - y1
2 -1
= 1.
，这里 C (1,1) ， P(2, 2) ，则 kCP =
x2 - x1
2 -1
因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为 k1 和 k2 ，则 k1k2 = -1 .
已知 kCP = 1 ，所以切线的斜率 k = -1 .
又因为切线过点 P(2, 2) ，根据点斜式方程 y - y0 = k ( x - x0 ) （这里 x0 = 2, y0 = 2, k = -1 ），
【解析】
【分析】按照投影向量的计算公式求解即可.
r
r
【详解】解：因为向量 a = 2, 0 , b = 3,1 ，
r
r r
r
r r
r
b
a ×b b
a ×b r 6
9 3
r
r r
r
× (3,1) = ( , ) .
则向量 a 在向量 b 上的投影向量为: | a | × cos < a , b > × r = r × r = r 2 × b =
o
bö
bö
æ
÷ ， B ç -1, ÷ ，
aø
aø
è
△ ABF 为正三角形，由对称性可知，直线 AF 的倾斜角为 30 ，则
k AF
b
3 ，解得 b = 2 3 ，
= a =
a
3
2
3
2 3
x.
3
所以双曲线 C 的两条渐近线方程为 y = ±
故选：C
8. 已知函数 f ( x) = 2sin x cos x - 2 3 cos 2 x + 3 给出下列结论：
2024-2025学年山东省济南市山东师大附中高三(上)期中数学模拟试卷(含答案)
2024-2025学年山东师大附中高三（上）期中数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|log 3x <2}，B ={y|y = x }，则(∁R A)∩B =( )A. (0,9)B. [9,+∞)C. {0}∪[9,+∞)D. [0,9)2.若“sinθ=−22”是“tanθ=1”的充分条件，则θ是( )A. 第四象限角 B. 第三象限角C. 第二象限角D. 第一象限角3.已知正数x ，y 满足 9x 2−1+ 9y 2−1=9xy ，则4x 2+y 2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 为△ABC 内的一点，AP =xAB +yAC ，则下列说法错误的是( )A. 若P 为△ABC 的重心，则2x +y =1B. 若P 为△ABC 的外心，则PB ⋅BC =18C. 若P 为△ABC 的垂心，则x +y =716D. 若P 为△ABC 的内心，则x +y =585.数列{a n }满足a 1=1，a n +1+a n =2n +1，若数列{a n +1+1a n ⋅a n +1⋅2a n }的前n 项的和为T n ，则T n >20232024的n 的最小值为( )A. 6B. 7C. 8D. 96.已知f(x)=−x 2+2|x|，若关于x 的方程[f(x)]2+mf(x)+n =0(m,n ∈R)恰好有三个互不相等的实根，则实数m 的取值范围为( )A. m <−1B. m ≤0C. m <−1或m >0D. m =0或m <−17.设a =ln 54,b =sin 14,c =0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. b >c >aD. c >b >a8.f(x)是定义在[a,b]上的函数，f′(x)为f(x)的导函数，若方程f(x)=f′(x)在[a,b]上至少有3个不同的解，则称f(x)为[a,b]上的“波浪函数”.已知定义在[−4,3]上的函数f(x)=x 3+2x 2+mx +8为“波浪函数”，则实数m 的取值范围是( )A. −565⩽m <−7B. −565⩽m <−4C. −4⩽m <565D. −7⩽m <−4二、多选题：本题共3小题，共18分。
【好题】高三数学上期中模拟试题带答案
【好题】高三数学上期中模拟试题带答案一、选择题1．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形2．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．34．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．165．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmBkmC．D．6．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n n n a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n7．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．58．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．239．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，a=4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒11．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-二、填空题13．设0,0,25x y x y >>+=______.14．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）15．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．16．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．17．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 18．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.19．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 20．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 三、解答题21．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 1cos a CA=-.（1）求角A 的大小；（2）若10b c +=，ABC ∆的面积ABC S ∆=a 的值.22．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L （*n N ∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S24．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，L ，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列，求12n n S b b b =+++L .25．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =；（2）若6A π=，ABC V ，求ABC V 的周长．26．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.2．C解析：C【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．5．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700． 所以AC ＝107km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．6．B解析：B 【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n nn a +=； 考点：累加法求数列通项公式7．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
【好题】高三数学上期中一模试卷带答案
【好题】高三数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-2．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--3．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( )A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S4．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．35．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．12- 6．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y +的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．1 7．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23D ．16 8．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ）A ．10B ．120C ．130D ．1409．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．323D ．832310．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y ++的最小值为（ ） A ．2 B ．92 C ．143 D ．511．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，3a =4b =，则B =（ ）A ．30B =︒或150B =︒B ．150B =︒C ．30B =︒D ．60B =︒ 12．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n -- B ．()1612n -- C ．()32123n -- D ．()32143n -- 二、填空题13．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________． 15．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．16．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，1||2||a a b +取得最小值. 17．在△ABC 中，2BC =，7AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．19．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____三、解答题21．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.22．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .23．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：对任意的n ∈N *，都有a n +1+S n +1＝1，又a 112=． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）令b n ＝log 2a n ，求12231111n n b b b b b b L ++++（n ∈N *） 24．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 25．设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值26．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=．（1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC V 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果.【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=, Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-,故选C .【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 2．B解析：B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值.【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率，即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-，01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意.综上：31a -≤….故选：B .【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3．D解析：D【解析】【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果.【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>，31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S故选D【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.4．B解析：B【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可．【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1，作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ． 当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-，则k 的最大值为：32故选：B ．【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5．D解析：D【解析】【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-， 故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．6．A解析：A【解析】【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13. 【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号，31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+， 32x y ∴+的最大值为13. 故选：A.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.7．A解析：A【解析】【分析】 利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b C C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果. 【详解】 由正弦定理得：22224cos a b c b C +-= 则22224cos 2cos cos 22a b c b C b C C ab ab a+-=== ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C C b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅ 即：2sin 4sin cos 3sin 222C C C C == ()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.8．B解析：B【解析】【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值.【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x x =.所以1n a n n =++，所以11nn n a =+-，故1121n S n n n n =+-+--++-L 11n =+-，由1110n S n =+-=解得120n =，故选B.【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.9．B解析：B【解析】【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45HB =︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，10353v ==/秒）． 故选B ．【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．10．B解析：B【解析】【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出 141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．11．C解析：C【解析】【分析】 将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒.【详解】解：60A =︒Q，a =4b =由正弦定理得：sin 1sin 2b A B a === a b >Q60B ∴<︒30B ∴=︒故选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.12．D解析：D 【解析】 【分析】 先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】 由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题 13．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6解析：-6 【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122zy x =-经过点A(0，3)时，直线的纵截距2z-最大，z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 14．【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解详解：∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n 项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可解析：613. 【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解． 详解：∵等差数列{}n a 中136S =， ∴()11371313132622a a a S +⨯===， ∴7613a =． 设等差数列{}n a 的公差为d ，则()9109109976322213a a a a a a d a -=-+=-==． 点睛：等差数列的项的下标和的性质，即若()*,,,,m n p q m n p q Z+=+∈，则m n p q a a a a +=+，这个性质经常和前n 项和公式()12n n n a a S +=结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单．15．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用 解析：(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．16．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析：2-【解析】 【分析】利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b++，再对a 分0a >，0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=， 所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++， 又因为0b >，||0a >，所以||14||b a a b +=…， 因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15144+=； 当0a <时，1||2||a a b +的最小值是13144-+=. 故1||2||a a b +的最小值为34，此时,42,0,ab a b a b a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩即2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条件.17．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式解析：；332【解析】试题分析：由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅，即2174222AB AB =+-⋅⋅，得2230AB AB --=，31()AB ∴=-或舍，011333sin 603222S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=. 考点：余弦定理，三角形面积公式.18．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB 的值即得B 角【详解】由2bcosB ＝acosC ＋ccosA 及正弦定理得2sinBcosB ＝sinAcosC ＋sin解析：3π【解析】 【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cos B 的值，即得B 角. 【详解】由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝.∴B ＝.∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝. 又0<B <π，∴B ＝. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.19．（）【解析】如图所示延长BACD 交于E 平移AD 当A 与D 重合与E 点时AB 最长在△BCE 中∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2由正弦定理可得即解得=平移AD 当D 与C 重合时AB 最短此时与AB 交于F 在△B解析：626+2） 【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想20．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主 解析：94【解析】 【分析】画出可行域，由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解方程即可得结果.【详解】由已知作可行域如图所示，2z x y =+化为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解得00339,,424x y b ===,故答案为94. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题21．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小； (Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值. 【详解】(Ⅰ)()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++Q ，()()2222a b c b c b c ∴=+++,即222a b c bc =++.2221cos 22b c a A bc +-=-∴=，120A ∴=︒.(Ⅱ)sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-()31cos sin sin 6022B B B =+=︒+， 060B ︒<<︒Q ，∴当6090B ︒+=︒即30B =︒时，sin sin B C +取得最大值1.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．22．(1)1,2n n n a n b -==；(2)T n ＝(n －1)·2n ＋1. 【解析】 试题分析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得,d q 的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得12n n n n c a b n -==⋅，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和. 试题解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 依题意得解得d ＝1，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1. (2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n·2n －1，则 T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n －1，① 2T n ＝2·20＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，② ①－②得：－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝－n·2n ＝(1－n)·2n －1， 所以T n ＝(n －1)·2n ＋1. 23．(1) a n 12n =；(2) 1n n +．【解析】 【分析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到112n n a a +=，计算112a =，得到答案. （2）计算得到nb n =-，()1111111n n b b n n n n +==-++，利用裂项求和计算得到答案. 【详解】（1）根据题意，由a n +1+S n +1＝1，①，则有a n +S n ＝1，②，（n ≥2） ①﹣②得：2a n +1＝a n ，即a n +112=a n ，又由a 112=，当n ＝1时，有a 2+S 2＝1，即a 2+（a 1+a 2）＝1，解可得a 214=， 则所以数列{a n }是首项和公比都为12的等比数列，故a n 12n =； （2）由（1）的结论，a n 12n=，则b n ＝log 2a n ＝﹣n ，则()()()()()()()122311111111111223112231n n b b b b b b n n n n ++++=+++=+++-⨯--⨯--⨯--⨯⨯⨯+L L L L L ＝（112-）+（1231-）+……+（111n n -+）＝1111nn n -=++．【点睛】本题考查了求通项公式，裂项求和法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的综合应用. 24．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221n n n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 25．a n =11-2n,n=5时，S n 取得最大值 【解析】试题分析：解：（1）由a n =a 1+（n-1）d 及a 3=5，a 10=-9得,a 1+9d=-9，a 1+2d=5,解得d=-2，a 1=9，,数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,（2）由（1）知S n =na 1+(1)2n n -d=10n-n 2．因为S n =-（n-5）2+25．所以n=5时，S n 取得最大值． 考点：等差数列点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性． 26．（1）4A π=（2）4【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=． 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为()0,A π∈，所以4A π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则22044c c =+-⋅⎝⎭． 即2160c -=．解得c =-c =所以1242S =⨯⨯=．·点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.。
2020-2021高三数学上期中模拟试卷附答案(14)
2020-2021高三数学上期中模拟试卷附答案(14)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 2．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） A ．63B ．233C ．433D ．433-4．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1406．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．7107．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．669．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-10．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 412．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-二、填空题13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 14．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.15．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V 的面积为3，则ab =__16．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．17．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 18．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．19．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.20．在△ABC 中，2BC =，7AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．三、解答题21．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．24．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若25a =，2b =．求ABC V 的面积． 25．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．26．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．3．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ）143a a ⨯43，即4a +13a ≤43故1212a x x x x ++的最大值为43． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.4．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．5．B解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x x =所以1n a n n =+11nn n a =+1121n S n n n n =+-L 11n =+，由1110n S n =+=解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.6．B解析：B 【解析】试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==o o ,从而可得：30BAC ∠=o 由正弦定理，得：56sin 45AB =o ， 103AB ∴=,那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3sin 60103152AD AB ∴==⨯=o ， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．7．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF .【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=,所以BD =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o ,所以240CD ===km ,所以cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,222222cos 902904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯g 10800=,所以BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有. 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.8．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.9．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.10．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．11．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2， ∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.12．A解析：A 【解析】 【分析】 将代数式21x y+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2min 72m m x y +<+，解出即可. 【详解】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当()4,0y xx y x y=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<. 因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．二、填空题13．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为解析：4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴Q 可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.14．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真 所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩ 【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.15．4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得由余弦定理可得根据同角三角函数基本关系式可得进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理可得即：由余弦定理可得可得的面积为可得解得故答案为4【点睛解析：4 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知等式可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得cos C ，根据同角三角函数基本关系式可得sin C ，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】222sin sin sin sin sin A B C A B +=+Q ，∴由正弦定理可得，222ab c a b +=+，即：222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，可得sin C ==，ABC QV 1sin 2ab C ==，∴解得4ab =，故答案为4． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z 的最大值【详解】作出实数xy 满足对应的平面区域如图：由z ＝2x+y 得y ＝﹣2x+z 平移直线y ＝﹣2x+z 由图象可知当直线y ＝﹣2x+解析：5【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z 的最大值． 【详解】作出实数x ，y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域，如图：由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z 由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大．又x 10y --=与20x y -=联立得A （2，1） 此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5， 故答案为5． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．17．【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛 解析：214【解析】 【分析】结合已知条件，结合余弦定理求得π4C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221cos 2a b C ab +-=②，由①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.故2212cos 2a b C ab +-==，化简得2221ab a b =+-，故222121ab a b ab =+-≥-，化简得222ab +≤.所以三角形面积1122221sin 22S ab C ++=≤⨯⨯=. 故答案为21+. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.18．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c 解析：【解析】试题分析：由题意得，因此,从而所求最大值是考点：正余弦定理、面积公式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.19．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题解析：{|2020a a >或0}a < 【解析】 【分析】根据同侧同号列不等式，解得结果. 【详解】因为原点和点()1,2019-在直线0x y a -+=的同侧，所以(00)(12019)02020a a a -+--+>∴>或0a <，即a 的取值范围是{2020a a 或0}.a <【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题，考查基本应用求解能力.属基本题.20．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式解析：【解析】试题分析：由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅，即2174222AB AB =+-⋅⋅，得2230AB AB --=，31()AB ∴=-或舍，011sin 60322222S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=考点：余弦定理，三角形面积公式. 三、解答题21．（1）2nn a =；（2）6．【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值． 试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+， 代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴212118{20a q a q a q =+=，解之得122a q =⎧⎨=⎩或132{12a q ==，∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a =（2）∵1122log 2log 2?2n n nn n n b a a n ===-，∴()21222?2n n S n =-⨯+⨯++L ，．．．．．．．．．．．．．．．①()23121222?2?2nn S n n +=-⨯+⨯+++L ，．．．．．．．．．．．．．②②—①得()2311112122222?2?222?212nn n n n n nS n n n ++++-=+++-=-=---L∵1·262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>，∴使1·262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法．22．（1）3C π=（2 【解析】试题分析：（1）由余弦定理得cos C 值，再根据三角形内角范围求角C ；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：2224cos b c a ac A +-=，再根据余弦定理得2a b =，代人解得a =，b =2c =，由勾股定理得2B π=，最后根据直角三角形面积公式得ABC V 的面积．试题解析：解：（1）由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-== 22221222a b ab ab ab +-==，又()0,C π∈，所以3C π=．（2）由()22sin sin sin 2sin2sin B A C A C -=-， 得222sin sin sin 2sin2sin B C A A C +-=， 得222sin sin sin 4sin cos sin B C A A A C +-=，再由正弦定理得2224cos b c a ac A +-=，所以222cos 4b c a A ac+-=．①又由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=，②由①②，得22222242b c a b c a bc bc+-+-=，得42ac bc =，得2a b =，联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，得3a =，3b =．所以222b a c =+．所以2B π=．所以ABC V 的面积11222S ac ===23．（1）=BC 2）20【解析】 【分析】（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质可得6AE AC BE BC ==．可求BE =，215AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．即：212cos 4m m ADB +-∠=，①212cos 1m m ADB ++∠=．②由①+②，得：232m =，所以m =BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：,sin sin sin sin AE EC BE ECACE EAC BCE CBE==∠∠∠∠，由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，所以6AE AC BE BC ==．所以BE =，所以215AE =（）．又222222121cos 22214AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以sin BAC ∠=，所以11211225420ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=V （）． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 24．（1）4A π=（2）4【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=． 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠， 所以sin cos 0A A -=，即2sin 04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为()0,A π∈，所以4A π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则2220442c c ⎛⎫=+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭． 即222160c --=． 解得22c =-（舍）或42c =． 所以12242422S =⨯⨯⨯=．·点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.25．（Ⅰ）y =225x +2360360(0)x x-〉n（Ⅱ）当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得360a x=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用26．(1) 21n a n =- (2) m 的最小值为30. 【解析】试题分析：第一问根据条件中数列为等差数列，设出等差数列的首项和公差，根据题中的条件，建立关于等差数列的首项和公差的等量关系式，从而求得结果，利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，第二问利用第一问的结果，先写出()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项相消法求得数列{}n b 的前n 项和，根据条件，得出相应的不等式，转化为最值来处理，从而求得结果．试题解析：（1）因为{}n a 为等差数列，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ()0d ≠，所以 112141,2,46S a S a d S a d ==+=+．又因为124,,S S S 成等比数列，所以()()2111462a a d a d ⋅+=+．所以212a d d =．因为公差d 不等于0，所以12d a =．又因为24S =，所以1a 1,d 2==，所以21n a n =-．（2）因为()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以311111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭L 31312212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭． 要使20n m T <对所有n N *∈都成立，则有3202m ≥，即30m ≥．因为m N *∈，所以m 的最小值为30．考点：等差数列，裂项相消法求和，恒成立问题．。
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【好题】高三数学上期中模拟试卷带答案一、选择题1．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） A．3B．3C．3D．3-2．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．1224．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸 B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸5)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3 D ．26．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1407．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．218．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-9．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ）A ．±4B ．4C ．14±D ．1410．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B ．()22,-+∞C ．[)3,-+∞D ．)22,⎡-+∞⎣11．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．912．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()2223S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒二、填空题13．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.15．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 16．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.17．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．18．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 20．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________.三、解答题21．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若5AC =ABC ∆的面积；（2）若5sin 5CAD ∠=，4=AD ，求CD 的长． 22．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 23．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．24．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线22AM =ABC ∆的面积．25．已知函数()f x a b =⋅v v ，其中()()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223,33A b c a π=+-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ）=3，即4a +13a ≤-3 故1212a x x x x ++的最大值为3-． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝，＝4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，，…101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．4．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
故选:B . 【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=，由110n S ==解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.7．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．8．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.9．A解析：A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±．故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．10．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11．D解析：D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.12．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．二、填空题13．（﹣∞【解析】【分析】由正实数xy 满足可求得x+y≥5由x2+2xy+y2﹣ax ﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x +y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围【详解】因为正实数xy 满足而4x解析：（﹣∞，265] 【解析】 【分析】由正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，可求得x +y≥5，由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0恒成立可求得a ≤x+y+1x y+恒成立，利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围． 【详解】因为正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，而4xy ≤（x+y ）2，代入原式得（x +y ）2﹣4（x+y ）﹣5≥0，解得x +y≥5或x +y≤﹣1（舍去）， 由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0可得a （x +y ）≤（x+y ）2+1， 即a ≤x+y+1x y+，令t=x +y ∈[5，+∞）， 则问题转化为a ≤t+1t，因为函数y=t +1t在[5，+∞）递增， 所以y min =5+15=265， 所以a ≤265， 故答案为（﹣∞，265]【点睛】本题考查基本不等式，考查对勾函数的单调性质，求得x +y≥5是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．14．14【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档解析：14 【解析】 【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<， 所以130S >，140S <，150S <， 当<0n S 时n 的最小值为14， 故答案为14． 【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1解析：7 【解析】由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝34，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝31122112n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<2n nS S <87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 16．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在 解析：231-【解析】 【分析】利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由0x >，可得11x +>.可令()11t x t =+>，即1x t =-，则()()221133331212311t t x x t t x t t t-+-+++==+-⋅-=-+≥， 当且仅当3t =，31x =-时，等号成立.故答案为：231-． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy ∈R 都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=n y=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a 解析：【解析】试题分析：由题意，对任意实数，都有，则令可得 ，即，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，故考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质18．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且 故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题 解析：(0,4)(4,8)⋃【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】 由题意可得,14,||11a q q=<- ， 且0q ≠14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠故答案为(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.19．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解析：【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解 【详解】Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则有()()31613313926616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=故答案为45 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。