电机机电能量转换(0920-13：38更新)

20160920
1 推导线圈磁场能。

如何推导线圈磁场能？ 首先明确什么是线圈的磁场能？
前人说，对于很多电磁系统来说磁场能是外部给电磁系统注入能量过程中，一部分转化为机械能，一部分转化为热能，另一部分能量则贮存在磁场中，这部分贮存在磁场中的能量称为磁场能。

比如我们给一个单线圈电磁系统充电，一部分电能可能转化成为了电磁系统的机械能，另一部分则贮存在磁场中称为磁场能。

而且前人研究，电磁系统磁场能是保守函数，只有状态变量各个线圈的电流和磁链当前值有关，而与建立过程无关。

注意这个性质非常要，这给了我们一个求取电磁系统磁场能的途径，就是我们知道了一个电磁系统当前时刻的电流和磁链，那么我们就可以这个性质和能量守恒的规律求取这个电磁系统的磁场能，方法就是找一个孪生空载电磁系统，让这个孪生电磁系统可动部件位置固定保持跟当前位置相同，从0i =，0ϕ=的状态开始，慢慢给这个孪生电磁系统充电，使之达到目标电磁系统各个线圈的当前电磁系统各个线圈电流相同，注意我们让电流相同，又保持了孪生电磁系统可动部件位置与目标电磁系统相同，自然保证了孪生电磁系统各个线圈自感互感与目标电磁系统相同，自然保证了磁链与目标电磁系统相同。

所以孪生电磁系统磁场能与目标电磁系统相同，而根据能量守恒，在充电过程中，孪生电磁系统只有电能与磁场能的转化，所以充电过程中注入孪生电磁系统的电能就等于目标电磁系统的磁场能。

具体可以参见A.1和A.2。

A 孙旭东老师课件（汤蕴缪老师）转矩理解小结
A.1 先研究单线圈电磁系统的情形
A.1.1 磁场能分析
一个当前电流是1i 磁链是1ϕ的线圈的磁场能是这样的：当这个线圈电流是0，磁链是0时，外部电源给线圈充电，充到电流是1i ，磁链是1ϕ，这个过程中外部电源给这个线圈注入的电能，一部分转化为了机械能、一部分转化为了铜损，一部分转化成了涡轮损耗（铁损），剩下的能量就是这个线圈的磁场能，或者说剩下的能量就转化为了线圈的磁场能。

在电机电磁场的分析中，涉及的一般就是外部输入的电能、线圈磁场能、铜损、铁损、机械能（机械能的转化通过电磁力对运动部件做功实现）的互相转化。

那怎么求或者计算这个磁场能呢？
有人已经验证磁场能是个保守函数，只与状态变量终值有关，与建立的过程无关，即只与当前时刻线圈的电流和磁链有关。

线圈磁场的能量只有电流和磁链有关，所以我们建立这样一个场景，找一个目标电磁系统的孪生电磁系统，让其可动部分固定在当前时刻目标电磁系统可动部件相同的位置上，外部电源给线圈从0电流（自然也保证了0磁链）开始充电，慢慢充到电流为1i （由于孪生电磁可动部分位置固定且与目标系统当前时刻相同，所以当孪生系统电流到达1i 时，其线圈自感必然目标系统线圈当前时自感相同，与其线圈磁链必然与目标系统当前时刻磁链相同），这样在这个过程中就没有机械能的转化，同时注意由于这个过程是慢慢充电，使电流和磁链慢慢增大，所以铁损很小，可以忽略，这样这个过程中，外部电源给这个线圈注入的电能全部转化为了线圈的磁场能和线圈的铜损。

即列式子如下截图所示：
这个过程中外部电源注入的电能减去线圈损耗的铜损是:
()()()()()()()()()()()11110000
2t t t t el t t t t d t W u t i t i t R dt e t i t dt i t dt i t d t dt ϕϕ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰
由于这个过程中没有机械能的转化，铁损可以忽略，这些能量全部转化为了线圈的磁能，即
m el W W =
设如下图所示的曲线OAC 使线圈的刚才描述场景的孪生系统的磁化曲线，即t0到t1这个充电过程中这个线圈的的磁链和电流，()()()
,i t t ϕ形成的曲线，注意这个曲线的形状只与可动部分的位置（决定气隙大小）和电磁系统自身的性质（磁导率）有关。

着这个过程中磁链从t0时刻的()000t ϕϕ==慢慢变化到了t1时刻的()11t ϕϕ=，电流从从t0时刻的
()000i t i ==慢慢变化到了t1时刻的()11i t i =。

那么显然根据()()1
t m el t W W i t d t ϕ==⎰知
道，电磁系统的磁能等于区域OAB 的面积。

现在看另外一个场景：
在[]
12,t t 时间过程中，电磁系统中的运动部件从x1运动到x2，线圈的状态()()()
,i t t ϕ从沿着下图所示的曲线AD 从A ()()()1111,i t i t ϕϕ==移动到D ()()()
2222,i t i t ϕϕ==。

补充说明：下图中的曲线ODF 是电磁系统运动部件在x=x2处时，线圈的磁化曲线。

根据前面分析知道，
()()()()()()()()()()()
2
2
211
1
102t t t t el t t t t d t W u t i t i t R dt e t i t dt i t dt i t d t dt ϕϕ⎛⎫
=-=-== ⎪⎝⎭
⎰
⎰
⎰⎰所以el W 等于图像BXADE 的面积即BXADE S ，A 点的磁场能是mA OAXB W S =，D 点的磁能是
mD OXDEB W S =，所以这一过程的磁能增加量是m mD mA OXDEB OAXB W W W S S ∆=-=-，所以这
一过程的机械能增加量是
()()()()mec el m BXADE OXDEB OAXB ADX DEBX OXB DEBX OAX OXB ADX OAX OADX
W W W S S S S S S S S S S S S =-∆=--=+-+-+=+=
)
1
1x )
2
即机械能等于如下图所示OADX 部分面积。

)
1
1x )
2
A.1.2 分析电磁力
设：从[]
0,t t 过程中， 定义变量()mec W t
()()()()()0
t t
mec m m t t W t f t v t dt f t dx t ==⎰⎰
显然()mec W t 表示在从t0开始到t 时刻电磁力做的功。

定义变量()el W t
()()()0
t
el t W t i t d t ϕ=⎰
显然()el W t 表示在从t0开始到t 时刻外部电源注入线圈的电能中扣除线圈铜损的部分 定义变量
()()()0m W m m D t W t W t =-
显然()m W D t 表示在从t0开始到t 时刻线圈磁能的增量。

显然，根据能量转换关系与能量守恒有：
()()()m el W mec W t D t W t =+
由于()()()m el W mec W t D t W t =+中对t 为任意值时成立，所以：
()()()m el W mec dW t dD t dW t =+
容易知道：
()()()el dW t i t d t ϕ= ()()()mec m dW t f t dx t =
()()()()()0m W m m m dD t d W t W t dW t =-=
经过分析，线圈磁链()t ϕ和磁能()m W t 可以用两个相对独立变量()x t 和()i t 表示，所以可以设：
()()()(),t x t i t ϕϕ=
()()()(),m m W t W x t i t =
所以()()()d t dx t di t x i ϕϕϕ∂∂=
+∂∂ 所以()()()m m
m W W dW t di t dx t i x
∂∂=
+∂∂ 所以()()()()()()el dW t i t d t i t dx t di t x i ϕϕϕ∂∂⎛⎫
==+ ⎪∂∂⎝⎭
所以：
()()()m m
m W W dW t di t dx t i x ∂∂=+∂∂ ()()()m m m
W W W dD t di t dx t i x
∂∂=
+∂∂ 容易理解：
()()()mec m dW t f t dx t =
所以根据：()()()m el W mec dW t dD t dW t =+得到：
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()
,,,,m m m i t x t i t x t i t dx t di t x t i t W i t x t W i t x t di t dx t f t dx t i t x t ϕϕ⎛⎫∂∂+ ⎪
⎪∂∂⎝⎭∂∂=++∂∂ 所以：
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
()
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,+m m m m m i t x t i t x t f t dx t i t dx t di t x i W i t x t W i t x t di t dx t i t x t i t x t W i t x t i t dx t x t x t i t x t W i t x t i t di t i t i t ϕϕϕϕ⎛⎫∂∂=+ ⎪
⎪∂∂⎝⎭∂∂--∂∂⎛⎫
∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭
注意：
()()()()
()()()
()
()()()()()()
()
,,lim ,,lim
m mi t mi mi t W i t x t W i t x t i t i t W i t t x t W i t x t i t ∆→∆→∂∆=∂∆+∆-=∆，
如下图求()()()
,mi W i t x t ∆：
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()()()()(),,,1
,,21,2mi m m i W i t x t W i t t x t W i t x t i t i t i t i t t x t i t x t i t i t i t i t x t ϕϕϕ∆=+∆-⎡⎤=
++∆+∆-⎣⎦⎡⎤=++∆∆⎣⎦
))()),,x i x i x ϕ∆-()()()()
()()()
()
()()()()()()()()()()()()()()0
00,,lim
1,2lim ,1lim 2m mi t i t i t W i t x t W i t x t i t i t i t i t i t i t x t i t i t x t i t i t i t ϕϕ∆→∆→∆→∂∆=∂∆⎡⎤++∆∆⎣⎦=∆∆⎛⎫=+∆ ⎪∆⎝⎭
()
()()()()
()
()()()()
,,lim i t i t x t i t x t i t i t i t i t ϕϕ∆→∂∆=∂∆
所以:
()
()()()()
()()()()()
()()()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()()()()()
00
00,,,,1lim lim
2,1
1
lim lim
,2
2
1
lim
,,2
=0
m i i t t i i t t i i t i t x t W i t x t i t i t i t i t x t i t x t i t i t i t i t i t i t x t i t i t x t i t i t t x t i t x t ϕϕϕϕϕϕϕ∆→∆→∆→∆→∆→∂∂-
∂∂∆∆⎛⎫
=-+∆ ⎪∆∆⎝⎭
∆=∆=∆∆=+∆-
所以：
()()()()()()()()()()()(),,m m i t x t W i t x t f t dx t i t dx t x t x t ϕ⎛⎫
∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭
所以:
()()
()()()()()()()()
()()()()
()()
()()()
()
()()()()()
()()()
()
()()()()()()()
(
)
()
()()()()
,,,,,,,,,m m m
m m m
i t x t W i t x t f t i t x t x t i t i t x t W i t x t x t x t i t i t x t W i t x t x t i t i t x t W i t x t x t W i t x t x t ϕϕϕϕ∂∂=-
∂∂∂⋅∂=-∂∂∂⋅-∂=∂∂⋅-=∂'∂=
∂s
感觉这个理解上还顺畅些。

A.2 多线圈电磁系统的情形
注意：本部分推导是按照定子和转子均有中线，即三相定子电流相互独立，三相转子电流相互独立推导分析的，相关结论对于定子和转子无中线，即只有两相定子电流，两相转子电流相互独立的情形应该是类似的。

对于前一种情况，即本文所分析情况，对于各相磁链k ϕ和磁场能m W 等共有7个独立变量，即6个相电流,,,,,A B C a b c i i i i i i 和1个转子位置角a θ，对于后一种情况，独立变量则只有5个，即4个相电流,,,A B a b i i i i 和1个转子角位置a θ，
A.2.1 磁场能分析
注意电磁系统磁场能（即电磁系统所有线圈磁场能的和）是是保守函数，状态变量的函数，与建立的过程无关。

即如果一个电磁系统有多个线圈相互作用（存在互感），那么某一个电磁线圈的磁场能不是保守函数，即与建立的过程有关，但是所有线圈磁场能的和（即电磁系统总磁场能）是保守函数，只是状态变量电流和磁链的函数，与建立过程无关。

如果求取电磁系统总磁场能呢？根据能量守恒定律和电磁系统总磁场能是保守函数，只与状态变量终值有关，与建立过
程无关这一特性，先确定当前时刻目标异步电机六个线圈各自电流,,,,,
i i i i i i，转子位置aθ，这样我们也就可以根据
A B C a b c
,,,,,
i i i i i i，找一个跟研究对象完全的空载静止六个绕组都A B C a b c
是开路的异步机，让他的转子位置等于
θ，然后给第一个线
a
圈接通电源慢慢给第一个线圈定子绕组A相线圈充电（注意连接A相线圈端点和定子中线端点）使之达到
i，之后用恒
A
流源电流维持此线圈电流恒定，然后给第二个线圈定子B相线圈接通外部电源（注意连接B相线圈端点和定子中线端点），慢慢充电达到
i，之后保留电流恒定，然后给第三个线圈定
B
子C相线圈接通外部电源（注意连接C相线圈端点和定子中线端点），慢慢充电达到
i，之后保留电流恒定，然后给第四
C
个线圈转子a相线圈接通外部电源（注意连接a相线圈端点和转子中线端点），慢慢充电达到
i，之后保留电流恒定，然
a
后给第五个线圈转子b相线圈接通外部电源（注意连接b相线圈端点和转子中线端点），慢慢充电达到
i，之后保留电流
b
恒定，最后第六个线圈转子c相线圈接通外部电源（注意连接c相线圈端点和转子中线端点），慢慢充电达到
i，之后保
c
留电流恒定，此时六个线圈全部达到了目标电机相同的电流，此时各个线圈磁链是否与目标电机相同呢，由于该电机与目标电机性质完全相同，转子位置也相同，所以各个线圈磁链一定与目标电机相同，根据电磁系统总磁能只与电流与磁链有关，与建立过程这一属性，知道了该电机的磁场能与目标
电机相同，而该电机的磁场能也容易求，因为根据能量守恒定律，只有电能和磁场的转化，没有机械能，所以这一过程中给电磁系统施加的电能就是这一电磁系统的磁场能。

具体计算：
这个过程中给这个系统充入的电能，等于这这个过程中给各个线圈充入电能的和。

而要分析这个过程中各个充入的电能就需要分析这个场景或者说过程中各个线圈的磁化曲线。

在给定场景的这个充电过程中，分析孪生系统六个线圈的磁场能，即i
ϕ-曲线：
认为异步电机磁路线性。

通过以上磁化曲线可以看出，这一过程中A线圈充入电能是：
()()()()()()()1
211
+2211
=22
11
2212A AA A AB AC Aa Ab Ac A AA AB AC Aa Ab Ac A AB AC Aa Ab Ac A AA AB AC Aa Ab Ac A AB AC Aa Ab Ac A AA AB AC Aa Ab Ac A AB B AC C Aa a Ab b Ac c A i i i i i i i i L i L i L i L i L i i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+++++=++++++++++++++++++=++++++++++=()()1111122222111111222222AA AB AC Aa Ab Ac B BA A C CA A a aA A b bA A c cA A A AA AB AC Aa Ab Ac B BA C CA a aA b bA c cA i L i i L i i L i i L i i L i i i i i i i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫++++++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭
线圈B 充入的电能是：
()()()()()()1
211
+22
11
=+2211111=+22222B BB B BC Ba Bb Bc B BB BC Ba Bb Bc B BC Ba Bb Bc B BB BC Ba Bb Bc B BC C Ba a Bb b Bc c B BB BC Ba Bb Bc C CB a aB b bB c cB i i i i i i L i L i L i L i i i i i i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=++++++++++++++⎛⎫+++++++ ⎪⎝⎭
线圈C 充入的电能是：
()()()()()()1
211
+22
11
=+221111+2222C CC C Ca Cb Cc C CC Ca Cb Cc C Ca Cb Cc C CC Ca Cb Cc C Ca a Cb b Cc c C CC Ca Cb Cc a aC b bC c cC i i i i i i L i L i L i i i i i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+++=++++++++++⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭
线圈a 充入的电能是：
()()()()()()1
211
+22
11
=+22111+222a aa a ab ac a aa ab ac a ab ac a aa ab ac a ab b ac c a aa ab ac b ba c ca i i i i i i L i L i i i i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++=++++++⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭
线圈b 充入的电能是：
()()()1
211+22
11
+221122
b bb b b
c b bb bc b bc b bb bc b bc c b bb bc c cb i i i i i i L i i i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+=++
线圈c 充入的电能是：
1
2
c cc i ϕ 六个线圈充入的电能加起来是：
()()()11111122222211111+222221111+222212A AA AB AC Aa Ab Ac B BA C CA a aA b bA c cA B BB BC Ba Bb Bc C CB a aB b bB c cB C CC Ca Cb Cc a aC b bC c cC a aa ab a i i i i i i i i i i i i i i i i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫++++++++++ ⎪⎝⎭+
⎛⎫+++++++ ⎪⎝⎭+
⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭+
++()()11+22112212c b ba c ca b bb bc c cb c cc i i i i i ϕϕϕϕϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭++++=
()()()()()()1
21
21
21
21
21
21111122222A AA AB AC Aa Ab Ac B BA BB BC Ba Bb Bc C CA CB CC Ca Cb Cc a aA aB aC aa ab ac b bA bB bC ba bb bc c cA cB cC ca cb cc A A B B C C a a b i i i i i i i i i i i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++++++++++++++
+++++++++++=++++12
b c c i ϕϕ+ 即异步电机电磁能是：
6
16
6
11
1111112222221
212m A A B B C C a a b b c c
k k
k k kj j
k j W i i i i i i i i L i ϕϕϕϕϕϕϕ====+++++==∑∑∑ 我们知道，互感是转子角a θ的函数。

A.2.2 分析电磁力
采用跟上面类似的思路，分析转子电磁力，这里是机械转矩
设：从[]
0,t t 过程中， 定义变量()mec W t
()()()()()0
t t
mec mec mec a t t W t T t t dt T t d t θ=Ω=⎰⎰
显然()mec W t 表示在从t0开始到t 时刻电磁力做的功。

定义变量()el W t
()()()0
6
1
t
el k k t k W t i t d t ϕ==∑⎰
显然()el W t 表示在从t0开始到t 时刻外部电源注入电磁系统的电能中扣除线圈铜损的部分 定义变量
()()()0m W m m D t W t W t =-
显然()m W D t 表示在从t0开始到t 时刻电磁系统磁能的增量。

显然，根据能量转换关系与能量守恒有：
()()()m el W mec W t D t W t =+
由于()()()m el W mec W t D t W t =+中对t 为任意值时成立，所以：
()()()m el W mec dW t dD t dW t =+
容易知道：
()()()6
1
el k k k dW t i t d t ϕ==∑
()()()mec mec a dW t T t d t θ=
()()()()()0m W m m m dD t d W t W t dW t =-=
经上面分析，线圈磁链()k t ϕ和电磁系统磁能()m W t 可以用如下几个相对独立变量()a t θ和
()()()()()(),,,,,a b c A B C i t i t i t i t i t i t 表示，所以可以设：
()()()()()()()()(),,,,,,k k a a b c A B C t t i t i t i t i t i t i t ϕϕθ=
()()()()()()()()(),,,,,,m m a a b c A B C W t W t i t i t i t i t i t i t θ=
所以：
所以()()()6
1k k k a j j a j d t d t di t i ϕϕ
ϕθθ=∂∂=+∂∂∑
所以()()()61m m m a j j a j
W W
dW t d t di t i θθ=∂∂=+∂∂∑
所以()()()()()()6
6
6111k k el k k k a j k k j a j dW t i t d t i t d t di t i ϕϕ
ϕθθ===⎛⎫∂∂==+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭
∑∑∑ 所以：
()()()6
1m m m a j j a j
W W
dW t d t di t i θθ=∂∂=+∂∂∑
()()()()6
1m m m W m a j j a j
W W
dD t dW t d t di t i θθ=∂∂==+∂∂∑
()()()mec mec a dW t T t d t θ=
所以根据：()()()m el W mec dW t dD t dW t =+得到：
()()()()()()()6
6116
1k k
k a j k j a j m m a j mec a j a j i t d t di t i W W d t di t T t d t i ϕϕθθθθθ===⎛⎫∂∂+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∂∂=++∂∂∑∑∑
所以：
()()()()()()()()()()()6
661116
6
6111k k m m mec a k a j a j k j j a j a j k m k m k a k j k j k a a j j W W
T t d t i t d t di t d t di t i i W W i t d t i t di t i i ϕϕθθθθθϕϕθθθ======⎛⎫∂∂∂∂=+-- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑∑∑
根据61
k kj j j L i ϕ==∑和6
1
12
m k k k W i ϕ==∑可知
()()()()()()()()()()()66611111111111
22222222m k k j k kj j k jk j j j j k k k j j W i t t i t L t t i t L t t t t t i i ϕϕϕϕϕϕϕ===∂∂=+=+=+=+=∂∂∑∑∑ ()()()()()()()6
666
1111k
k k kj k jk jk j k k k k j i t i t L t i t L t t t i ϕϕϕ====∂====∂∑∑∑∑ 所以：
()()()()61k m mec a k a k a
a W T t d t i t d t ϕθθθθ=⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭∑
所以：
()()()()6
16
161
k m
mec k k a
a k k m
k a a k k m k a m
a
W
T t i t i W i W W ϕθθϕθθϕθθ===∂∂=-∂∂∂∂=-
∂∂⎛⎫∂- ⎪
⎝⎭=∂'∂=∂∑
∑∑
A.3 异步电机5个独立变量的情形分析
A.3.1 磁场能分析
找一个跟研究对象完全的空载静止六个绕组都是开路的异步机，让他的转子位置等于a θ，然后给第一个线圈接通电源慢慢给第一个线圈充电（注意电源连接线圈A 和线圈C 出口端点），使之达到A i ，之后用恒流源电流维持此线圈电流恒定，然后给定子B 相绕组接通外部电源（注意连接B 和C 相端点），慢慢充电达到B i ，之后保留电流恒定，然后给转子线圈a 接通电源慢慢充电充到a i （注意电源连接a
相线圈a和c相线圈出口端点），最后给转子线圈b接通电源慢慢充电（注意电源连接b相线圈和c 相线圈出口端点）充电，慢慢充到
i，然后保持电流恒定，此时六个线圈全部达到了目标电机相同的
b
电流，此时各个线圈磁链是否与目标电机相同呢，由于该电机与目标电机性质完全相同，转子位置也相同，所以各个线圈磁链一定与目标电机相同，根据电磁系统总磁能只与电流与磁链有关，与建立过程这一属性，知道了该电机的磁场能与目标电机相同，而该电机的磁场能也容易求，因为根据能量守恒定律，只有电能和磁场的转化，没有机械能，所以这一过程中给电磁系统施加的电能就是这一电磁系统的磁场能。

L L (
CC L i -Ca a L i +(CC L i -Cb b L i +L
)
这个过程中：
第一个线圈注入的电能是：
()()()()()()()()()()()()()()()2
1
21
2
1222cos cos cos cos 2333AA A AC A A A AB B AC B Aa a Ac a Ab b Ac b AA A AC A A A Aa a Ac a Ab b Ac b AA AC A A a sr a a b sr a a L i L i i i L i L i L i L i L i L i L i L i i i L i L i L i L i L L i i i L i L πππθθθθ⎡⎤+-++-++-++-⎣⎦⎡⎤=+-++-++-⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211222cos cos cos cos 2233313222cos cos cos cos 22333ms ls ms A A a sr a a b sr a a ms ls A sr A a a a b a
a
L L L i i i L i L L L i L i i i πππθθθθπππθθθθ⎡⎤⎢⎥⎪⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+++--++--⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
第二个线圈注入的电能是：
()()()()()()()()()221
212
11222cos cos cos cos 22333132BB B BC B B B Ba a Bc a Bb b Bc b BB BC B B a Ba Bc b Bb Bc ms ls ms B B a sr a a b sr a a L i L i i i L i L i L i L i L L i i i L L i L L L L L i i i L i L πππθθθθ⎡⎤+-++-++-⎣⎦=-+-+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+++--++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=2222cos cos cos cos 2333ms ls B sr B a a a b a a L L i L i i i πππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++--++-+⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
第三个线圈注入的电能是：
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222
11+22122121122CA A CC A A CB B CC B B A A B A Ca a Cc a Cb b Cc b CA CC A B A B B A Ca a Cb b Cc a b CC CA A B B A Cc a b Ca a Cb b ms ls ms L i L i i L i L i i i i i i L i L i L i L i L L i i i i i i L i L i L i i L L i i i i L i i L i L i L L L ⎡⎤+--++----+--+-++-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=----+--+-+⎡⎤⎣⎦=-++++--⎛⎫=++ ⎝⎭()()()()()()2222cos cos cos 331322cos cos cos 2233A B B A sr a a b sr a a sr a b ms ls A B B A sr a a b sr a a sr a
b i i i i L i i L i L i L L i i i i L i i L i L i ππθθθππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+++++-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
第四个线圈注入的电能是：
()()()()()()22
21
21
2
110221322aa a ac a a a ab b ac b aa ac a a b ab ac mr lr mr a mr lr a L i L i i i L i L i L L i i i L L L L L i L L i +-++-=-+-=⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
第五个线圈注入的电能是：
()()()22211221113+2222bb b bc b b bb bc b mr lr mr b mr lr b L i L i i L L i L L L i L L i +-=-⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
第六个线圈注入的电能是：
()()()()()()()()()()()()()222221122
122
12
11221322ca a cc a a cb b cc b a a b ca cc a a b b cc ca a b mr lr mr a b mr lr a b L i L i i L i L i i i i L L i i i i L L i i L L L i i L L i i +--++--+--=⎡⎤⎣⎦----=-+=⎛⎫+++= ⎪⎝⎭
⎛⎫++ ⎪⎝⎭
备注：
六个线圈注入电能和是：
2213222cos cos cos cos 2233313222cos cos cos cos 22333m ms ls A sr A a a a b a a ms ls B sr B a a a b a a W L L i L i i i L L i L i i i πππθθθθπππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--++--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()22221322cos cos cos 2233132213221322ms ls A B B A sr a a b sr a a sr a b mr lr a mr lr b mr lr a b L L i i i i L i i L i L i L L i L L i L L i i ππθθθ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++-+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭
⎛⎫++ ⎪⎝⎭
⎛⎫++ ⎪⎝⎭
A.3.2 分析电磁力
采用跟上面类似的思路，分析转子电磁力，这里是机械转矩
设：从[]
0,t t 过程中，
定义变量()mec W t ()()()()()00t t
mec mec mec a t t W t T t t dt T t d t θ=Ω=⎰⎰
显然()mec W t 表示在从t0开始到t 时刻电磁力做的功。

定义变量()el W t
()()()061t
el k k t k W t i t d t ϕ==∑⎰
显然()el W t 表示在从t0开始到t 时刻外部电源注入电磁系统的电能中扣除线圈铜损的部分
定义变量
()()()0m W m m D t W t W t =-
显然()m W D t 表示在从t0开始到t 时刻电磁系统磁能的增量。

显然，根据能量转换关系与能量守恒有：
()()()m el W mec W t D t W t =+
由于()()()m el W mec W t D t W t =+中对t 为任意值时成立，所以：
()()()m el W mec dW t dD t dW t =+
容易知道：
()()()6
1el k k k dW t i t d t ϕ==∑
()()()mec mec a dW t T t d t θ=
()()()()()0m W m m m dD t d W t W t dW t =-=
经上面分析，线圈磁链()k t ϕ和电磁系统磁能()m W t 可以用如下几个相对独立变量()a t θ和()()()(),,,a b A B i t i t i t i t 表示，所以可以设：
()()()()()()(),,,,k k a a b A B t t i t i t i t i t ϕϕθ=
()()()()()()(),,,,m m a a b A B W t W t i t i t i t i t θ=
所以：
所以()()(){},,,k k k a j j A B a b a j
d t d t di t i ϕϕϕθθ∈∂∂=+∂∂∑ 所以()()(){},,,m m m a j j A B a b a j
W W dW t d t di t i θθ∈∂∂=+∂∂∑ 所以()()()()()(){}6611,,,k k el k k k a j k k j A B a b a j dW t i t d t i t d t di t i ϕϕϕθθ==∈⎛⎫∂∂==+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭
∑∑∑
所以：
()()(){},,,m m m a j j A B a b a j
W W dW t d t di t i θθ∈∂∂=+∂∂∑ ()()()(){},,,m m m W m a j j A B a b a j W W dD t dW t d t di t i θθ∈∂∂==
+∂∂∑ ()()()mec mec a dW t T t d t θ=
所以根据：()()()m el W mec dW t dD t dW t =+得到：
()()(){}()(){}()()6
1,,,,,,k k k a j k j A B a b a j m m a j mec a j A B a b a j i t d t di t i W W d t di t T t d t i ϕϕθθθθθ=∈∈⎛⎫∂∂+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∂∂=++∂∂∑∑∑
()()()()(){}{}()(){}(){}()(){}(){},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,k k m m mec a k a j a j k A B C a b c j A B a b j A B a b a j a
j k k m k m a k j j A B C a b c j A B a b k A B C a b c a a j j W W T t d t i t d t di t d t di t i i i t W W d t i t di t i i ϕϕθθθθθϕϕθθθ∈∈∈∈∈∈⎛⎫∂∂∂∂=+-- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫∂∂∂=-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑
()()3222cos cos cos cos 2333322cos cos cos 23332m ms ls A sr a a a b a a A ms ls A B a b sr a sr a a sr b a ms ls W L L i L i i i L L i i i i L L i L i L L πππθθθθππθθθ⎡⎤∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--++--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫=+ ⎝()322222cos cos cos cos cos 2cos 23333A ms ls A B a sr a a a b sr a a a i L L i i i L i L ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++---++++--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()()
()()()
()()()
()()()
()++++A AA A AB B AC A B Aa a Ab b Ac a b B BA A BB B BC A B Ba a Bb b Bc a b C CA A CB B CC A B Ca a Cb b Cc a b a aA A aB B aC A B aa a ab b ac a b b bA A b t L i L i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i t L i L ϕϕϕϕϕ=+--+++--=+--+++--=+--+++--=+--+++--=+()()
()()()++B B bC A B ba a bb b bc a b c cA A cB B cC A B ca a cb b cc a b i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i ϕ--+++--=+--+++--
()
{}()()()()()()
()()()()()()()()(),,,,,1122k k k A B C a b c A A AA AC B BA BC C CA CC a aA aC b bA bC c cA cC A AA AC B BA BC A B CA CC a aA aC b bA bC a b cA cC A ms ls ms A B ms ms ls a i t i i L L i L L i L L i L L i L L i L L i L L i L L i i L L i L L i L L i i L L i L L L i i L L L i ϕ∈∂=∂-+-+-+-+-+-=-+--+-+-+--+-=
⎛⎫⎛⎫++-+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑()()2222cos cos cos cos cos 3333332cos cos cos 223sr a sr a b sr a sr a a b sr a sr A ms ls A B ms ls a sr a a b sr L L i L L i i L L i L L i i L L i L i L ππππθθθθθπθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++---+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()222cos cos cos 3333322222cos cos cos cos cos 2cos 223333a a a b sr a a A ms ls A B ms ls a sr a a a b sr a a a i i L i L L i i L L i L i L πππθθθππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++---++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝
⎭⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭
所以： (){},,,,,k m k k A B C a b c A A
W i t i i ϕ∈∂∂=∂∂∑
()()3222cos cos cos cos 2333322cos cos cos 23332m ms ls B sr a a a b a a B ms ls A B sr a a b sr a a sr a b ms ls W L L i L i i i L L i i L i i L i L i L L πππθθθθππθθθ⎡⎤∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎛⎫=+ ⎝()32222++cos cos 2cos 2cos cos cos 23333B ms ls A B a sr a a a b sr a a a i L L i i i L i L ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--++---+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()()
()()()
()()()
()()()
()++++A AA A AB B AC A B Aa a Ab b Ac a b B BA A BB B BC A B Ba a Bb b Bc a b C CA A CB B CC A B Ca a Cb b Cc a b a aA A aB B aC A B aa a ab b ac a b b bA A b t L i L i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i t L i L ϕϕϕϕϕ=+--+++--=+--+++--=+--+++--=+--+++--=+()()
()()()++B B bC A B ba a bb b bc a b c cA A cB B cC A B ca a cb b cc a b i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i ϕ--+++--=+--+++--
()
{}()()()()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,k
k A AB AC B BB BC C CB CC a aB aC b bB bC c cB cC k A B C a b c B
B BB B
C A B CB CC a aB aC b bB bC a b cB cC B BB CB A B CC CB a aB aC cB cC b bB bC cB cC i t i L L i L L i L L i L L i L L i L L i i L L i i L L i L L i L L i i L L i L L i i L L i L L L L i L L L L i ϕ∈∂=-+-+-+-+-+-∂=--+-+-+--+-=-++-+--++--+=∑()()11222cos cos cos cos 2233322cos cos cos cos 333322B ms ls ms A B ms ls ms a sr a a
a
a b a a a a B ms ls A B ms ls L L L i i L L L i L i i L L i i L L πππθθθθππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫
+++++++-
-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+---++ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭2222cos cos 2cos 2cos cos cos 3333a sr a a a b a a
a i L i ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫++-
-++---+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
所以：
()
{},,,,,k m
k k A B C a b c B B
W i t i i ϕ∈∂∂=
∂∂∑
()()222cos cos cos cos 333233cos cos +3
22222cos cos cos 33m sr A a a sr B a
a
a B A sr a sr a mr lr a mr lr a
b sr A a a a
W L i L i i i i L L L L i L L i i L i πππθθθθπ
θθππθθθ∂⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫=--+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+
++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭⎛⎫⎛
=--
-+ ⎪⎝⎭⎝
()22cos cos 2cos 33322sr B a a
a
mr lr a b L i L L i i ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎫⎛
⎫⎛
⎫++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭
⎛⎫
+++ ⎪⎝⎭
()()()()()()()()()()()()()++++A AA A AB B AC A B Aa a Ab b Ac a b B BA A BB B BC A B Ba a Bb b Bc a b C CA A CB B CC A B Ca a Cb b Cc a b a aA A aB B aC A B aa a ab b ac a b b bA A b t L i L i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i t L i L ϕϕϕϕϕ=+--+++--=+--+++--=+--+++--=+--+++--=+()()()()()
++B B bC A B ba a bb b bc a b c cA A cB B cC A B ca a cb b cc a b i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i ϕ--+++--=+--+++--
()
{}()()()()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,k
k A Aa Ac B Ba Bc C Ca Cc a aa ac b ba bc c ca cc k A B C a b c a
A Aa Ac
B Ba Bc A B Ca Cc a aa ac a b ca cc A Aa Ac Ca Cc B Ba Bc Ca Cc a aa ac a b cc ca i t i L L i L L i L L i L L i L L i L L i i L L i L L i i L L i L L i i L L i L L L L i L L L L i L L i i L L i ϕ∈∂=-+-+-+-+-+-∂=-+--+-+--+-=--++--++-++-=∑()22222cos cos cos +cos cos cos cos cos 3333312222cos cos cos 3A sr a sr a sr a
sr a B sr a
sr a
sr a
sr
a a
b mr lr mr A sr a sr a sr L L L L i L L L L i i L L L i L L L πππππθθθθθθθθπθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫--
-++--+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭
⎛⎫
++++ ⎪
⎝⎭
⎛
⎫=--
- ⎪⎝⎭()2223cos cos 2cos 23332a
B sr a sr a
sr a
a b mr lr i L L L i i L L πππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛⎫
+++--++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭⎝⎭ 所以：
()
{},,,,,k m
k k A B C a b c a a
W i t i i ϕ∈∂∂=
∂∂∑
()()2222cos cos cos cos cos cos 3333332222cos cos 2cos 33m sr A a a
sr B a a
B A sr a sr a
b mr lr b mr lr a b sr A a a a W L i L i i i L L i L L i L L i i L i ππππθθθθθθππθθθ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫=+--+-+++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛=++
-- ⎪⎝⎭⎝()2232cos cos cos 2332sr B a a
a mr
lr a b L i L L i i ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
+-+--+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭⎝
⎭
()()()()()()()()()()()()()++++A AA A AB B AC A B Aa a Ab b Ac a b B BA A BB B BC A B Ba a Bb b Bc a b C CA A CB B CC A B Ca a Cb b Cc a b a aA A aB B aC A B aa a ab b ac a b b bA A b t L i L i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i t L i L ϕϕϕϕϕ=+--+++--=+--+++--=+--+++--=+--+++--=+()()()()()
++B B bC A B ba a bb b bc a b c cA A cB B cC A B ca a cb b cc a b i L i i L i L i L i i t L i L i L i i L i L i L i i ϕ--+++--=+--+++--
()
{}()()()()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,+2k
k A Ab Ac B Bb Bc C Cb Cc a ab ac b bb bc c cb cc k A B C a b c b
A Ab Ac
B Bb Bc A B Cb Cc a ab ac b bb bc a b cb cc A Ab Ac Cb Cc B Bb Bc Cb Cc bb bc a b i t i L L i L L i L L i L L i L L i L L i i L L i L L i i L L i L L i L L i i L L i L L L L i L L L L L L i i ϕ∈∂=-+-+-+-+--∂=-+--+-+-+--+-=--++--++-+=∑()
22222cos cos cos cos cos cos cos cos 3333312222cos cos 2cos 33A sr a a
a
a B sr a a
a
a mr lr mr a
b A sr a a a
B s i L i L L L L i i i L i L πππππθθθθθθθθππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫
+----++-+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
⎛⎫
++++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫=++
--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭()2232cos cos cos 2332r a a
a
mr lr a b L L i i ππθθθ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛⎫
-+--+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
()
{},,,,,k m
k k A B C a b c b b
W i t i i ϕ∈∂∂=
∂∂∑ 所以：
()()(){}(),,,,,k k m mec a a j A B C a b c a a i t W T t d t d t ϕθθθθ∈∂⎛
⎫∂=- ⎪∂∂⎝
⎭∑
所以：
()(){}(){}(){}()
,,,,,,,,,,,,,,,k k m mec j A B C a b c a a k k m j A B C a b c a a k
k m
j A B C a b c a
m
a
i t W T t i t W i t W W ϕθθϕθθϕθθ∈∈∈∂⎛
⎫∂=- ⎪
∂∂⎝
⎭∂⎛
⎫∂=- ⎪
∂∂⎝⎭∂
-=∂'∂=∂∑∑∑
A.3.3 现在证明：()1++2
m A A B B C C a a b b c c W i i i i i i ϕϕϕϕϕϕ=+++
因为：
()()()()1
++2
1
2
A A
B B
C C a a b b c c A A B B A B C a a b b a b c i i i i i i i i i i i i i i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+++=+-+++-+
()()()
()()()()()()()()()()
()()()++A AA A AB B AC A B Aa a Ab b Ac a b A AA AC B AB AC a Aa Ac Ab Ac b A AA AC a Aa Ac Ab Ac b
B BA A BB B B
C A B Ba a Bb b Bc a b A BA BC B BB BC a Ba Bc t L i L i L i i L i L i L i i i L L i L L i L L L L i i L L i L L L L i t L i L i L i i L i L i L i i i L L i L L i L L L ϕϕ=+--+++--=-+-+-+-=-+-+-=+--+++--=-+-+-+再根据：
()()()()()()()
()()()()()()()
()()++Bb Bc b B BB BC a Ba Bc Bb Bc b
C CA A CB B CC A B Ca a Cb b Cc a b A CA CC B CB CC a Ca Cc Cb Cc b
a aA A aB B aC A B aa a a
b b a
c a b A aA aC B aB aC a aa L i i L L i L L L L i t L i L i L i i L i L i L i i i L L i L L i L L L L i t L i L i L i i L i L i L i i i L L i L L i L L ϕϕ-=-+-+-=+--+++--=-+-+-+-=+--+++--=-+-+-()()()()()
()()()
()()()()()()()()()++ac ab ac b A aA aC B aB aC a aa ac b bA A bB B bC A B ba a bb b bc a b A bA bC B bB bC a ba bc bb bc b A bA bC B bB bC bb bc b
c cA A cB B cC A B ca a cb b cc L L i i L L i L L i L L t L i L i L i i L i L i L i i i L L i L L i L L L L i i L L i L L L L i t L i L i L i i L i L i L ϕϕ+-=-+-+-=+--+++--=-+-+-+-=-+-+-=+--+++()
()()()()a b A cA cC B cB cC a ca cc cb cc b
i i i L L i L L i L L L L i --=-+-+-+-
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()():1
21
2
12A A B B A B C a a b b a b c A A C B B C a a c b b c A A AA AC CA CC B AB AC CB CC a Aa Ac Ca Cc b Ab Ac Cb Cc B A BA BC CA CC B BB BC CB CC a Ba Bc i i i i i i i i i i i i i i L L L L i L L L L i L L L L i L L L L i i L L L L i L L L L i L L L ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+-+++-+=-+-+-+-=---+---+---+---+---+---+--所以()()()()()()
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(
)
Ca Cc b Bb Bc Cb Cc a A aA aC cA cC B aB aC cB cC a aa ac ca cc b ab ac cb cc b A bA bC cA cC B bB bC cB cC a ba ac ca cc b bb bc cb cc L i L L L L i i L L L L i L L L L i L L L L i L L L L i i L L L L i L L L L i L L L L i L L L L ⎛⎫ ⎪ ⎪-+---+ ⎪
⎪---+---+---+---+
⎪ ⎪ ⎪---+---+---+---⎝⎭=
()()()()()()()()()
()()()()()()()()()()()()()()()()()()2
2121
+21
+21
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