高三数学一轮总复习 第八章 解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系开卷速查-人教版高三全册数学

开卷速查(五十一) 直线与圆、圆与圆的位置关系
A 级 基础巩固练
1．[2014·某某]过点P(－3，－1)的直线l 与圆x 2
＋y 2
＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值X 围是( )
A .⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6
B .⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3
C .⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤0，π6D .⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤0，π3
解析：方法一：设直线l 的倾斜角为θ，数形结合可知：θmin ＝0，θmax ＝2×π6＝π
3。

方法二：因为直线l 与x 2
＋y 2
＝1有公共点，所以设l ：y ＋1＝k(x ＋3)，即l ：kx －y ＋3k －1＝0，则圆心(0,0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2
≤1，得k 2
－3k≤0，即0≤k≤3，故直线l 的倾斜角的取值X 围是⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤
0，π3。

答案：D
2．[2014·某某]若圆C 1：x 2
＋y 2
＝1与圆C 2：x 2
＋y 2
－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )
A ．21
B ．19
C ．9
D ．－11
解析：圆C 1的圆心是原点(0,0)，半径r 1＝1，圆C 2：(x －3)2
＋(y －4)2
＝25－m ，圆心C 2(3,4)，半径r 2＝25－m ，由两圆相外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝1＋25－m ＝5，所以m ＝9。

答案：C
3．[2014·某某]已知圆x 2
＋y 2
＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )
A ．－2
B ．－4
C ．－6
D ．－8
解析：圆的标准方程为(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2－a ，圆心C(－1,1)，半径r 满足r 2
＝2－a ，则圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝
2
1＋1
＝2。

所以r 2
＝4＋2＝2－a ⇒a ＝－4。

答案：B
4．[2014·]已知圆C ：(x －3)2
＋(y －4)2
＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m ＞0)。

若圆C 上存在点P ，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：因为圆C的圆心为(3,4)，半径为1，|OC|＝5，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m的最大值为6，故选B。

答案：B
5．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．52－4 B.17－1
C．6－2 2 D.17
解析：圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，
由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，
所以|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，
故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值。

又C1关于x轴对称的点为C3(2，－3)，
所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值为
|C3C2|－4＝2－32＋－3－42－4＝52－4，
故选A项。

答案：A
6．过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )
A.
3
3
B．－
3
3
C．±
3
3
D．－ 3
解析：曲线y＝1－x2的图象如图所示：
若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝k(x －2)，则点O 到l 的距离d ＝
－2k k 2
＋1。

又S △AOB ＝12|AB|·d＝12
×21－d 2
·d＝
1－d
2
·d 2
≤1－d 2＋d 2
2＝12
，当且仅当1－d 2＝d 2
，即
d 2
＝12时，S △AOB 取得最大值。

所以2k 2
k 2＋1＝12，∴k 2
＝13，∴k＝－33。

故选B 项。

答案：B
7．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2
＋y 2
＝16只有一个公共点M ，则|PM|的最小值为________。

解析：(x －5)2
＋y 2
＝16的圆心为(5,0)，半径为4，则圆心到直线l 1的距离为：
|5＋3|
2
＝42，点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2
＋y 2
＝16只有一个公共点M ，则|PM|的最小值：
42
2
－42
＝4。

答案：4
8．[2016·某某模拟]已知直线x －y ＋m ＝0与圆x 2
＋y 2
＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，若圆周上存在一点C ，使得△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为________。

解析：根据题意画出图形，连接OA ，OB ，作OD 垂直于AB 于D 点，因为△ABC 为等边三角形，所以∠AOB＝120°，由余弦定理知：AB 2
＝OA 2
＋OB 2
－2OA·OB cos 120°＝12，所以AB ＝23，故BD ＝3，所以OD ＝1，所以O(0,0)到直线AB 的距离|m|
2
＝1，解得m ＝±2。

答案：± 2
9．已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是__________。

解析：依题意可设⊙C ：(x －1)2
＋(y －b)2
＝1(b ＞0)，且⎝
⎛⎭
⎪⎫322＋b 2
＝1，可解得b ＝12， 所以⊙C 的标准方程为(x －1)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1。

答案：(x －1)2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －122＝1
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,3)，直线l ：y ＝2x －4。

设圆C 的半径为1，圆心在l 上。

(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值X 围。

解析：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在。

设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－3
4，
故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0。

(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，
所以圆C 的方程为(x －a)2
＋[y －2(a －2)]2
＝1。

设点M(x ，y)，因为|MA|＝2|MO|， 所以x 2
＋y －3
2
＝2x 2＋y 2
，
化简得x 2
＋y 2
＋2y －3＝0，即x 2
＋(y ＋1)2
＝4， 所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上。

由题意，点M(x ，y)在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤|CD|≤2＋1， 即1≤a 2
＋2a －3
2
≤3。

由5a 2
－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2
－12a ≤0，得0≤a ≤
12
5。

所以点C 的横坐标a 的取值X 围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，125。

B 级 能力提升练
11．[2016·西城模拟]过点P (4,2)作圆x 2
＋y 2
＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )
A ．(x －2)2
＋(y －1)2
＝5 B ．(x －4)2
＋(y －2)2
＝20 C ．(x ＋2)2
＋(y ＋1)2
＝5 D ．(x ＋4)2
＋(y ＋2)2
＝20
解析：由圆x 2
＋y 2
＝4，得圆心O 坐标为(0,0)，所以△OAB 的外接圆为四边形OAPB 的外接圆，又P (4,2)，所以外接圆的直径为|OP |＝42
＋22
＝25，半径为5，外接圆的圆心为线段OP 的中点(2,1)，所以△OAB 的外接圆方程是(x －2)2
＋(y －1)2
＝5。

答案：A
12．已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2
＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA
→
＋OB →
|≥33
|AB →|，那么k 的取值X 围是( )
A ．(3，＋∞)
B ．[2，＋∞)
C ．[2，22)
D ．[3，22)
解析：当|OA →＋OB →
|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB
＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时，|OA →＋OB →
|＞
33
|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2
＝4存在两交点，故k ＜22，综上，k 的取值X 围为[2，22)，故选C 。

答案：C
13．[2016·某某模拟]已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)。

(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，某某数k 的值；
(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，某某数k 的取值X 围。

解析：(1)因为点M ，N 到直线l 的距离相等， 所以l ∥MN 或l 过MN 的中点。

因为M (0,2)，N (－2,0)，
所以k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1)。

又因为直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过点D (2,2)， 当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1， 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝1
3。

综上可知，k 的值为1或1
3。

(2)因为对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，
所以l 与以MN 为直径的圆相离， 即圆心到直线l 的距离大于半径，
d ＝
|－k －1－2k ＋2|
k 2＋1
＞2，
解得：k ＜－1
7
或k ＞1。

14．[2015·某某]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B 。

(1)求圆C 1的圆心坐标；
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值X 围；若不存在，说明理由。

解析：(1)C 1：(x －3)2
＋y 2
＝4，圆心C 1(3,0)。

(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝9
4。

故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2
＝4内部的部分，即
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭
⎪⎫53＜x ≤3。

(3)联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝53
，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322
＋y 2
＝94，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝53
，
y ＝±253。

不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5
3，－253，
设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)，
则kPP 1＝－257，kPP 2＝25
7。

当直线L 与圆C 相切时，|3
2k －4k |k 2＋1＝32
，解得k ＝±3
4。

故当k ∈{－34}∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－257，257∪{3
4
}时，直线L 与曲线C 只有一个交点。