陕西省西安市第一中学2018-2019学年高二10月月考数学试题

陕西省西安市第一中学2018-2019学年高二10月月考
数学试题
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、选择题（满分36分，每小题3分）：
1.已知等比数列的前n项和S n＝4n＋a，则a的值等于( )
A. －4
B. －1
C. 0
D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数列的前n项和与通项的关系求出通项，再根据建立方程求解即可。

【详解】由得，
=，
又，且此数列为等比数列，所以有
所以，答案选B。

【点睛】在运用数列的前n项和与数列的通项的关系求数列的通项时，一定要注意公式的条件为，求出通项必须验证首项是否对于所求结果成立，当已知数列为等差或等比数列时，则其首项一定适合所求的通项，常用此关系建立方程求参数。

2.现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和共有( )
A. 8×1.0253万元
B. 8×1.0254万元
C. 8×1.0255万元
D. 8×1.0256万元
【答案】C
【解析】
【分析】
根据本息和计算公式直接求解。

【详解】存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，第一年末的本利和为万元，第二年末的本利和为万元，第三年末的本利和为万元，依次下去，第5年末的本利和为万元，答案选C。

【点睛】本题考查数比数列的实际应用中本息和计算公式，属于基础题。

3.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=
（A）（B）（C）2 （D）3
【答案】D
【解析】
试题分析：由余弦定理得，解得（舍去），选D. 【考点】余弦定理
【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,
再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
视频
4.已知数列{a n}满足a1=0，a n+1= （n∈N*），则a20=（）
A. 0
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意，由于数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝，那么可知∴a1=0，a2=-
，a3=，a4=0，a5=-，a6=…，故可知数列的周期为3，那么可知a20等于=a2=-，选B. 考点：数列的周期性
点评：本题主要考查学生的应变能力和不完全归纳法，可能大部分人都想直接求数列的通项公式，然后求解，但是此方法不通，很难入手．属于易错题型
5.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，则船实际航程为( )
A. 2 km
B. 6 km
C. 2 km
D. 8 km
【答案】B
【解析】
【分析】
可先求船速与水速的合速度，再计算实际航程。

【详解】设船的速度为，水的速度为，则船的实际航行速度为，于是有
=
=12
=
船实际航程为=6。

答案B。

【点睛】本题考查向量在实际生活中的应用，此问题含有明显的物理意义，理解其物理含义并用向量进行表示是解题的关键。

通常学科含义与数学的结合是解决跨学科问题关键，重点在于考查学生的转化能力与创新能力。

6.在等差数列{}中，已知+=16，则该数列前11项和=（）
A. 58
B. 88
C. 143
D. 176
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项公式与等差数列的性质若，则有
，即可求解。

【详解】因为{}等差数列，所以
又=16，所以=88。

答案选B。

【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项公式与等差数列的性质若
，则有的简单应用，属于基础题。

7.已知为等比数列,,,则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：，由等比数列性质可知
考点：等比数列性质
视频
8.已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）
A. B. C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
由题意可得：，
解得：，则：.
本题选择B选项.
9.设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2a1a n}为递减数列，则 ( )
A. d<0
B. d>0
C. a1d<0
D. a1d>0
【答案】C
【解析】
因为是等差数列，则，所以，又由于为递减数列，所以，所以,故选C.
点睛:本题考查等差数列通项公式的应用以及数列的单调性,属于中档题. 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．若等差数列{a n}的首项是，公差是，则其
通项公式为.
10.在中，，BC边上的高等于,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D．
【考点】正弦定理
【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．
视频
11.各项都是正实数的等比数列{a n}，前n项的和记为S n，若S10＝10，S30＝70，则S40等于( )
A. 150
B. －200
C. 150或－200
D. 400或－50
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列的前n项和公式化简S10＝10，S30＝70，分别求得关于q的两个关系式，可求得公比q的10次方的值，再利用前n项和公式计算S40即可。

【详解】因为{a n}是等比数列，所以有，
二式相除得，，整理得
解得或（舍）
所以有=
=
所以=150。

答案选A。

【点睛】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道综合题，有一定的运算技巧，需学生在练习中慢慢培养。

12.设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=（）
A. n
B. -n
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数列的前n项和与通项的关系求出，从而有
，可化为，利用等差数列的知识可求。

【详解】根据数列的前n项和与通项的关系可得，
所以有，可化为
又，所以数列是以-1为首项，公差为-1的等差数列，
所以=，所以。

答案选D。

【点睛】本题考查了可转化为等差、等比数列的数列的通项公式求法，此类问题通常须把给的递推关系进行变形为等差(等比)的定义式，再运用等差（等比）相关知识求解。

二、填空题（满分20分，每小题4分）：
13. 某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于_____________.
【答案】6.
【解析】
试题分析：根据题意，每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，则有：
，得，可知n至少要6.
考点：等比数列的定义，等比数列的前n项和公式.
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14.设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则
的值为__________．
【答案】．
【解析】
试题分析：依题意得，∴，解得．
考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前项和公式．
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15.如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.
【答案】
【解析】
设此山高，则，在中，，，，，根据正弦定理得，解得，故答案为.
点睛：本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解；设此山高，在中，利用仰角的正切表示出，进而在中利用正弦定理求得.
16.在等差数列{a n}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为________．
【答案】40
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，可把条件化为，再将条件表示为，即可。

【详解】根据等差数列的性质，可化为
即
又====40。

【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）为等差数列.
（3）且为等差数列；
（4）且；
17.在中，，，的角平分线，则________.
【答案】
【解析】
试题分析：由正弦定理可得，所以．在
中，所以，所以在中．又因为
，所以．所以，所以＝
，所以．
考点：正余弦定理．
【技巧点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围．
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三、解答题（满分44分）：
18.已知数列{a n}的前n项和公式为S n＝2n2－30n.
(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求S n的最小值及对应的n值．
【答案】(1) a n＝4n－32，n∈N＋.
(2)当n＝7或8时，S n最小，且最小值为S7＝S8＝－112.
【解析】
【分析】
（1）根据数列的前n项和与通项的关系可求通项公式；（2）对于前n项和的最值可以用以下两种方法求解，方法一，利用二次函数的最值求法（对称轴法）求解；方法二，根据数列的单调性求解，先判断从第9项开始，有a n>0，之前各项为负，故其前7项或前8项之和最小。

【详解】(1)∵S n＝2n2－30n，∴当n＝1时，a1＝S1＝－28.
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
∴a n＝4n－32，n∈N＋.
(2)方法一S n＝2n2－30n＝2(n－ )2－，
∴当n＝7或8时，S n最小，且最小值为S7＝S8＝－112.
方法二∵a n＝4n－32，∴a1<a2<…<a7<0，a8＝0，当n≥9时，a n>0.
∴当n＝7或8时，S n最小，且最小值为S7＝S8＝－112
【点睛】数列的前n项和的最值问题求解方法：
（1）把前n项和看作是关于n的函数，利用具体函数的最值求法解决；
（2）首先判断数列的单调性，确定它的正数项或负数项的开始位置，再求和。

19.有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．
【答案】这四个数分别是9，6，4，2。

【解析】
【分析】
先根据前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，列方程，求出第二个数为6，再根据后三个数成等差数列，且它们之和为12，列方程，可得，从而确定后三个数，最后求出第一个数。

【详解】根据题意设前三个数依次为，，，则
解得，
设后三个数依次是6，，，则
解得。

所以后三个数分别是6，4，2。

，所以第一个数为
综上可得，这四个数分别是9，6，4，2。

【点睛】再求等差（等比）数列的项时，恰当设未知数会使运算量降低，对于差数列除了通常设为，，之外，可以设为，，；对于等比数列通常设为，，，也可以设为，，。

20.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求C；(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
【答案】(1) C= .
(2) 5+
【解析】
【分析】
（１）由正弦定理，将条件中的边转化为角，再运用两角和的正弦公式求出角C；（2）由余弦定理得到关系式(a+b)2-3ab=7，利用面积得关系式ab=6，二者结合可求a+b，即可。

【详解】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,
由正弦定理得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC,2cosC·sin(A+B)=sinC.
因为A+B+C=π,A,B,C∈(0,π),所以sin(A+B)=sinC>0,所以2cosC=1,cosC=. 因为
C∈(0,π),所以C=.
(2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab·cosC,7=a2+b2-2ab·,(a+b)2-3ab=7,
S=ab·sinC= ab=,所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,
所以△ABC的周长为a+b+c=5+
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式求解三角形的问题，对于解三角形问题，通常用运用正弦定理进行边角之间转化，用余弦定量借助三边关系求角或建立方程寻找边的关系。

21.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.
（1）证明：A=2B；
（2）若△ABC的面积，求角A的大小.
【答案】（1）见解析（2）或．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得，再判断的取值范围，进而可证；（Ⅱ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得，再利用三角形的内角和可得角的大小．
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得，
故，
于是．
又，，故，所以
或，
因此（舍去）或，
所以，．
（Ⅱ）由得，故有
，
因，得．
又，，所以．
当时，；
当时，．
综上，或．
22.设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n＝3n＋3.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
试题分析：
(1)由递推关系可得a1＝3，利用通项公式与前n项和的关系可知：当n>1时，2a n＝2S n－2S n－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，则a n＝3n－1，综上可得：；
(2)结合(1)中求得的通项公式错位相减可得{b n}的前n项和.
试题解析：
(1)因为2S n＝3n＋3，
所以2a1＝3＋3，故a1＝3，
当n>1时，2S n－1＝3n－1＋3，
此时2a n＝2S n－2S n－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，
即a n＝3n－1，
显然a1不满足a n＝3n－1，
所以a n＝
(2)因为a n b n＝log3a n，所以b1＝，
当n>1时，b n＝31－n log33n－1＝(n－1)·31－n，
所以T1＝b1＝.
当n>1时，
T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝＋[1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n－1)×31－n]，
所以3T n＝1＋[1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n－1)×32－n]，
两式相减，得2T n＝＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n)－(n－1)×31－n
＝＋－(n－1)×31－n
＝－，
所以T n＝－.
经检验，n＝1时也适合．综上可得T n＝－.。