德兴市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学.doc

优选高中模拟试卷
德兴市高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级 __________姓名__________分数__________
一、选择题
1．方程 x=所表示的曲线是（）
A ．双曲线
B ．椭圆
C．双曲线的一部分D．椭圆的一部分
2．已知△ ABC 是锐角三角形，则点P（ cosC﹣ sinA ， sinA ﹣ cosB）在（）
A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，知足=0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．（ 0，1）B．（ 0， ] C．（ 0，）D． [ ， 1）
4．函数 f x
x
a log a x 1 有两个不一样的零点，则实数的取值范围是（）
A．1,1 0 B．1, C．0 ,1 D．10,
5．设 f （x）与 g（x）是定义在同一区间[a， b]上的两个函数，若函数y=f （x）﹣ g（x）在 x∈[a，b]上有两个不一样的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关系函数”，区间[a，b]称为“关系区间”．若f（x）=x2﹣3x+4 与 g（x） =2x+m 在 [0， 3]上是“关系函数”，则m 的取值范围为（）
A ．（﹣，﹣ 2]
B ．[ ﹣1， 0] C．（﹣∞，﹣ 2] D．（﹣， +∞）
6．已知函数 f（ x）=log 2（ x2+1 ）的值域为 {0 ， 1， 2} ，则知足这样条件的函数的个数为（）
A ．8
B ． 5 C． 9 D． 27
7．设 m 是实数，若函数f（ x）=|x ﹣ m|﹣ |x﹣ 1|是定义在 R 上的奇函数，但不是偶函数，则以下对于函数f
（ x）的性质表达正确的选项
是（）
A ．只有减区间没有增区间
B ．是 f（ x）的增区间
C． m=±1D．最小值为﹣ 3
8．已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图以下，则它的左（侧）视图是（）
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A ．
B ．
C ．
D ．
9． 设 a ， b ， c ，∈ R + ，则 “abc=1”是 “
”的（ ）
A ．充分条件但不是必需条件
B ．必需条件但不是充分条件
C ．充分必需条件
D ．既不充分也不用要的条件
2
2
2
2
2
y
r
的值为（
）
10．圆 ( x - 2 ) + y = r （ r > 0 ）与双曲线 x
-
= 1 的渐近线相切，则
3
A ． 2
B ．2
C ． 3
D ．2 2
【命题企图】此题考察圆的一般方程、直线和圆的地点关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识， 意在考察基本运算能力．
11．如图是一容量为100 的样本的重量的频次散布直方图，则由图可预计样本重量的中位数为（） A ．11 B ．11.5 C ． 12 D ． 12.5
12
f x ）的定义域为 A ，若存在非零实数 l 使得对于随意
x I I ? A ），有 x+l Af
x+l
f x ），
．设函数 （
∈（
∈，且（
）≥（
则称 f （ x ）为 I 上的 l 高调函数，假如定义域为
R 的函数 f （ x ）是奇函数，当 x ≥0
2
2
，且
时， f （ x ） =|x ﹣ a |﹣ a 函数 f （ x ）为 R 上的 1 高调函数，那么实数
a 的取值范围为（
）
A ．0＜ a ＜ 1
B ．﹣ ≤a ≤
C ．﹣ 1≤a ≤1
D ．﹣ 2≤a ≤2
二、填空题
13．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（为自然对数的底数），若
，则实数的取值范围为______．
14．设向量=（ 1，﹣ 3），=（﹣ 2， 4），=（﹣ 1，﹣ 2），若表示向量4， 4﹣ 2， 2（﹣），的 有向线段首尾相接能组成四边形，则向量的坐标是．
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15．已知函数 f ( x )
5
. sin x a (0x ) 的三个零点成等比数列，则lo g 2 a
2
16 ．给出以下命题：
①把函数 y=sin（ x﹣）图象上全部点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变，获得函数y=sin （2x﹣）；
②若α，β是第一象限角且α ＜β，则cosα＞cosβ ；
③ x= ﹣是函数y=cos（2x+π ）的一条对称轴；
④函数 y=4sin （ 2x+）与函数y=4cos（ 2x ﹣）同样；
⑤y=2sin （ 2x﹣）在是增函数；
则正确命题的序号．
17．已知奇函数f （x）的定义域为[﹣ 2， 2]，且在定义域上单一递减，则知足不等式f （ 1﹣ m） +f （ 1﹣2m）
＜ 0 的实数 m 的取值范围是．
18．正方体ABCD ﹣A 1B 1C1 D1中，平面AB 1D1和平面 BC 1D 的地点关系为．
三、解答题
19．（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程
2 1 2
已知椭圆 C 的极坐标方程为
2 2
，点 F1 , F 2为其左、右焦点，直线的参数方程为
3 c o s
4 sin
2
x 2 t
2
（为参数， t R ）.
2
y t
2
（1）求直线和曲线C的一般方程；
（2）求点F1, F2到直线的距离之和 .
20．【南师附中2017 届高三模拟一】已知a , b 是正实数，设函数fxx ln x , gxax ln b .
（ 1）设hxfxgx，求hx的单一区间；
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（ 2）若存在x0，使x0 a b , 3 a b
且 f x 0 g x 0成立，求
b
的取值范围 .
4 5 a
21．已知会合A={x|a ﹣ 1＜ x＜2a+1} ，B={x|0 ＜ x＜ 1}
（1）若 a= ，求 A∩ B．
（2）若 A ∩B= ?，务实数 a 的取值范围．
22．（本小题满分10 分）
x co s
已知曲线 C 的极坐标方程为 2 sin c o s1 0 ，将曲线 C 1 : ，（为参数），经过伸缩变
y sin
x3 x
换后获得曲线 C 2．
y 2 y
（1）求曲线C2的参数方程；
（2）若点M的在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．
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23．（本小题满分13 分）
已知函数 f ( x )
3 2
，a x 3 x1
（Ⅰ）议论 f ( x ) 的单一性；
a 2 时， f ( x ) 有独一的零点1
（Ⅱ）证明：当x0，且 x 0 (0 , ) ．
2
24．f ( x ) 2 3
sin x sin 2 x .
2
（ 1）求函数 f ( x ) 的单一递减区间；
（ 2）在
A
1 ，AB C 的面积为 3 3 ，求的最小值.
A BC 中，角A ,
B , C的对边分别为 a , b , c，若 f ( )
2
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德兴市高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学（参照答案）一、选择题
1．【答案】 C
【分析】解： x=两边平方，可变成3y2﹣ x2=1 （ x≥0），
表示的曲线为双曲线的一部分；
应选 C．
【评论】此题主要考察了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形联合的思想．
2．【答案】 B
【分析】解：∵△ ABC 是锐角三角形，
∴A+B ＞，
∴A＞﹣B，
∴ sinA ＞sin （﹣B）=cosB，
∴sinA ﹣cosB ＞ 0，
同理可得sinA ﹣ cosC＞ 0，
∴点 P 在第二象限．
应选： B
3．【答案】 C
【分析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a， b， c，
∵=0，
∴ M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距 c 为半径的圆．
又 M 点总在椭圆内部，
∴ 该圆内含于椭圆，即c＜b， c 2
＜ b2=a2﹣ c2．
∴ e2= ＜，∴ 0＜e＜．
应选： C．
【评论】此题考察椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选用，仔细解答．4．【答案】 B
【分析】
x
1
试题剖析：函数fx有两个零点等价于y与ylo g a x 的图象有两个交点，当0a1 时同一坐标
a
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系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，切合题意；当a1 时同一坐标系中做出两函数图象如图（ 1），由图知有两个交点，不切合题意,应选 B.
y
y
2 2
1
1
O 1 -4 -3 -2 -1
O
1 2 3 4
x
-3 -2 -1 2 3 x
-1
-1
-2
-2
（1）（2）
考点： 1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】此题主要考察指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题 .判断方
程 yfx零点个数的常用方法：①直接法：可利用鉴别式的正负直接判断一元二次方程根的个数；②转变
法：函数yfx零点个数就是方程fx0 根的个数，联合函数的图象与性质（如单一性、奇偶性、周
期性、对称性）可确立函数的零点个数；③数形联合法：一是转变成两个函数ygx, yhx的图象的
交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转变成ya , ygx的交
点个数的图象的交点个数问题.此题的解答就利用了方法③.
5．【答案】 A
【分析】解：∵ f（ x） =x 2﹣ 3x+4 与 g（ x）=2x+m 在 [0， 3]上是“关系函数”，故
函数 y=h（ x）=f （x）﹣ g（x） =x 2﹣ 5x+4 ﹣ m 在 [0， 3]上有两个不一样的零点，
故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，
应选 A．
【评论】此题考察函数零点的判断定理，“关系函数”的定义，二次函数的性质，表现了转变的数学思想，属于基础题．
6．【答案】 C
2
【分析】解：令 log 2（ x +1） =0 ，得 x=0 ，
令 log 2（ x2+1） =1，得 x2+1=2 ， x= ±1，
令 log 2（ x2+1） =2，得 x2+1=4 ， x=．
则知足值域为{0 ， 1， 2} 的定义域有：
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{0，﹣1 ，﹣} ，{0，﹣ 1，} ，{0，1 ，﹣} ，
{0 ，1，} ，{0 ，﹣ 1， 1，﹣} ， {0，﹣ 1，1，} ，
{0，﹣1 ，﹣，} ，{0，1 ，﹣，}，{0，﹣1， 1，﹣，} ．
则知足这样条件的函数的个数为9．
应选： C．
【评论】此题考察了对数的运算性质，考察了学生对函数观点的理解，是中档题．
7．【答案】 B
【分析】解：若 f （x） =|x ﹣ m|﹣ |x﹣ 1|是定义在R 上的奇函数，
则 f （ 0） =|m|﹣ 1=0，则 m=1 或 m= ﹣ 1，
当 m=1 时， f （x） =|x ﹣ 1|﹣|x﹣ 1|=0，此时为偶函数，不知足条
件，当 m= ﹣ 1 时， f（ x） =|x+1|﹣ |x﹣ 1|，此时为奇函数，知足条
件，作出函数 f（ x）的图象如图：
则函数在上为增函数，最小值为﹣ 2，故
正确的选项是 B，
应选： B
【评论】此题主要考察函数的奇偶性的应用，依据条件求出m 的值是解决此题的重点．注意使用数形联合进行求解．
8．【答案】 A
【分析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7 面体，左视图中前、后平面是线段，
上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP 是虚线，左视图为：
应选 A．
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【评论】此题考察简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．
9．【答案】 A
【分析】解：由于 abc=1，所以，则=
= ≤a+b+c．
当 a=3， b=2， c=1 时，明显成立，可是abc=6≠1，
所以设 a， b， c，∈ R+，则“abc=1”是“”的充分条件但不是必需条件．
应选 A．
10．【答案】 C
11．【答案】 C
【分析】解：由题意，0.06×5+x ×0.1=0.5，所以 x 为 2，所以由图可预计样本重量的中位数是12．应选： C．
12．【答案】 B
【分析】解：定义域为R 的函数 f （x）是奇函数，
当 x≥0 时，
f（ x）=|x ﹣a2 |﹣ a2= 图象如图，
∵ f（ x）为 R 上的 1 高调函数，当x＜ 0 时，函数的最大值为a2，要知足f （ x+l ）≥f（ x），
1 大于等于区间长度3a2﹣（﹣ a2），
∴ 1≥3a2﹣（﹣ a2），
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∴ ﹣≤a≤
应选 B
【评论】考察学生的阅读能力，应用知识剖析解决问题的能力，考察数形联合的能力，用图解决问题的能力，
属中档题．
二、填空题
13．【答案】
【分析】令，则
所以为奇函数且单一递加，所以
即
点睛：解函数不等式：第一依据函数的性质把不等式转变成的形式，而后依据函数的单一性
去掉“ ” ，转变成详细的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
14．【答案】（﹣ 2，﹣ 6）．
【分析】解：向量4，4﹣2 ，2（﹣），的有向线段首尾相接能组成四边形，
则向量=﹣ [4 +4 ﹣ 2 +2（﹣） ]=﹣（ 6 +4 ﹣ 4 ） =﹣[6 （1，﹣ 3）+4 （﹣ 2， 4）﹣ 4（﹣ 1，﹣ 2） ]= ﹣（ 2，6） =（﹣ 2 ，﹣ 6 ），
故答案为：（﹣2，﹣ 6）．
【评论】此题考察了向量的多边形法例、向量坐标运算、线性运算，考察了计算能力，属于基础题．
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1
15．【答案】
2
考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．
【名师点睛】此题考察三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法例，属中档题．把等比数列与三
角函数的零点有机地联合在一同，命题立意新，同时考察数形联合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优良题．
16．【答案】
【分析】解：对于①，把函数 y=sin（x﹣）图象上全部点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变，得到函数 y=sin （ 2x ﹣），故①正确．
对于②，当α，β 是第一象限角且α＜β，如α =30°，β =390°，则此时有 cosα=cosβ = ，故②错误．
对于③，当 x= ﹣时， 2x+ π =π，函数 y=cos（ 2x+ π）=﹣ 1，为函数的最小值，故x=﹣是函数 y=cos（2x+ π ）的一条对称轴，故③ 正确．
对于④，函数 y=4sin （2x+ ）=4cos[ ﹣（ 2x+ ）]=4cos（﹣ 2）=4cos（ 2x ﹣），
故函数 y=4sin （ 2x+ ）与函数 y=4cos （ 2x﹣）同样，故④正确．
对于⑤，在上， 2x ﹣∈，函数 y=2sin （2x﹣）在上没有单一性，故⑤ 错误，
故答案为：①③④．
17．【答案】[﹣，]．
【分析】解：∵函数奇函数f（ x）的定义域为[﹣ 2， 2]，且在定义域上单一递减，
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∴不等式 f （ 1﹣ m ） +f （ 1﹣ 2m ）＜ 0 等价为 f （ 1﹣m ）＜﹣ f （ 1﹣ 2m ）=f （ 2m ﹣ 1），
即 ，即 ，得﹣ ≤m ≤ ，
故答案为： [﹣ ， ]
【评论】 此题主要考察不等式的求解， 依据函数奇偶性将不等式进行转变是解决此题的重点． 注意定义域的限
制．
18． 【答案】 平行 ．
【分析】 解： ∵AB 1 ∥C 1D ， AD 1∥ BC 1，
AB 1 ? 平面 AB 1D 1 AD 1 ? 平面 AB 1D 1 AB 1 AD 1=A
， ，
∩
C 1D
? 平面 BC 1D
， BC 1 平面 BC 1D
， C 1D BC 1=C 1
?
∩
由面面平行的判断理我们易得平面 AB 1D 1∥ 平面 BC 1D
故答案为：平行．
【评论】 此题考察的知识点是平面与平面之间的地点关系， 在判断线与面的平行与垂直关系时， 正方体是最常
用的空间模型，大家必定要娴熟掌握这类方法．
三、解答题
2
2
19． 【答案】 （1）直线的一般方程为 y
x 2 ，曲线 C
x
y
2 ．
的一般方程为
1；（2） 2
4
3
【分析】
试题剖析： （ 1）由公式
c o s
x
可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为一般方程；
sin y
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考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与一般方程的互化，点到直线的距离公式．
20．【答案】（1）在
b
上单一递减，在
b
上单一递加 .（2）e
b
0 , , 7
e e a
【分析】【试题剖析】（1）先对函数h x x ln x x ln b a , x 0, 求导得 h ' x ln x 1 ln b ，再解不
等式 h ' x 0 得 x b
求出单一增区间；解不等式h ' x 0 得 x
b
2）先依照题设
求出单一减区间；（
e e
a b 3 a b b
7 ，由（1）知 h x 0 ，而后分a b b 3 a bb a b b 3 a b
得
min 、、三种
4 5 a 4 e 5 e 4 e 5 情况，分别研究函数h x x ln x x ln b a , x 0, 的最小值，而后成立不等式进行分类议论进行求解出
其取值范围 e b
：
7
a
解：（1）h x x ln x x ln b a , x 0, , h ' x ln x 1 ln b ，由 h ' x 0 得 x b
h ' x 在
b ，0 , e e
上单一递减，在b
上单一递加 . ,
e
（ 2）由a b 3 a b b
7 ，由条件得 h x 0 .
得
4 5 a m in
① 当a b
b 3a
b
，即 e b 3 e 时，h x h b b a ，由 b a 0 得4 e 5 4 e a 5 e m in e e e
第13页，共17页
b
e ,
e b
3 e
.
a
a
5
e
② 当
b
a b 时， a 4 e
b ,
h x 在 a b , 3a b 上单一递加，
e 4 a
4 5
h x
h a
b
a
b a
b ln b
a
a
b
b
a
ln
lnln b
m in
4
4
4
4
e
4 e b
a b 3? b
3
e
e 0 ，矛盾，
不可立 .
4
4
b
e
由
b a
0 得 .
e
③ 当
b
3 a b ，即 b
3 e
时， a
5
e
b ， h
x 在
a
b , 3 a
b 上单一递减，
e 5
a 5
e
3 e
4
5
h x
h 3a b
3 a b
3 a b
ln b
a
3 a b
b ln b
a
ln
ln
m in
5
5
5
5
e
5 e b
2 a b
2?
b
2 e
b 3 e
b
3 e
0 ，
时恒成立，综上所述，
e
b
当
7 .
5
5
3 e a
5 e
a
21． 【答案】
【分析】 解：（ 1）当 a= 时， A={x|
} ，B={x|0 ＜ x ＜ 1}
∴ A ∩ B={x|0 ＜ x ＜1} （ 2）若 A ∩B= ?
当 A= ?时，有 a ﹣ 1≥ 2a+1 ∴ a ≤ ﹣2
当 A ≠?时，有
∴ ﹣ 2＜a ≤ 或 a ≥ 2
综上可得，
或 a ≥ 2
【评论】此题主要考察了会合交集的求解，解题时要注意由 A ∩B= ?时，要考虑会合 A= ?的状况，表现了分类
议论思想的应用．
x 3 co s 2）
5 .
22． 【答案】 （1） （为参数）；（
y
2 sin
【分析】
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题分析：
xc o s （1）将曲线C1:
ysin
2 2
x y1 ，由伸缩变换
2
11
代入圆的方程x
32
x3 co s 可得参数方程为
y2 sin
优选高中模拟试卷
试（为参数），化为
x
1
x
x 3 x 3
化为，
y 2 y 1
y y
2
2 2
1，获得 C2:
x y
y
9
1 ，
4
；
考点：坐标系与参数方程．
23．【答案】（本小题满分13 分）
解：（Ⅰ）
2
6 x 3 x ( a x 2)，（1分）
f ( x ) 3 a x
①当 a 0 时，解 f ( x ) 0 得 x 2
0 ，解 f ( x ) 0 得 0 x
2
或 x ，a a
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∴ f ( x ) 的递加区间为 (
,0) 和( 2
) ， f ( x ) 的递减区间为 (0 , 2
,
)． （4分）
a a ②当 a 0 时， f ( x ) 的递加区间为 ( , 0 ) ，递减区间为 (0 ,
)． （5分）
③当 a
0 时，解 f ( x )
2
x 0 ，解 f ( x ) 0 得 x 0 或 x
2
0 得 a a
∴ f ( x ) 2 ， f ( x ) 的递减区间为 ( 2 )和(0,
)． （7分）
的递加区间为 ( , 0 ) , a a
（Ⅱ）当 a 2 时，由（Ⅰ）知 ( 2 ) 上递减，在 ( 2
) 上递减． , ,0) 上递加，在 (0,
a a
2
a
2
4
（9 分）
∵ f
2
0 ，∴ f ( x ) 在 (
, 0 ) 没有零点．
a
a
∵ f 0
1 0 ， f
1 1
( a 2 ) 0 ， f ( x ) 在 ( 0 ,
) 上递减，
2
8
∴在(0 ,
) 上，存在独一的 x 0 ，使得 f
0 ．且 x 0
1
（12 分） x 0
(0 , )
2
1 综上所述，当 a
2 时， f ( x ) 有独一的零点 x 0 ，且 x 0
(0 , ) ． （13分）
2 24． 【答案】 （1） k
, k 5 （ k
）；（ 2） 2
3 .
3
6
【分析】
试题剖析： （1）依据 2 k
2 x
2 k
3
f ( x ) 的单一递减区间； （2）由 f
A 2 6
可求得函数 1 可
2
2
得 A
，再由三角形面积公式可得
b c
1 2 ，依据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1
3
1
1 3
2 x
sin ( 2 x
) 1
，
试题分析 : （1） f ( x )
co s 2 x sin 6 2
2
2 2
令 2 k
2 x
2 k
3 ，解得 k
x k
5 ， k
Z ，
2 2 3
6
6
∴ f ( x ) 的单一递减区间为
[ k , k 5
Z ） .
] （ k
3
6
第16页，共17页
考点： 1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用．
第17页，共17页。