对勾函数的性质及应用

对勾函数的性质及 【2 】运用 一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：
1. 界说域：),0()0,(+∞⋃-∞
2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab
3. 奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形,且函数图像关于原点呈中间对称,即0)()(=-+x f x f
4. 图像在一.三象限, 当0x >时,
b y ax x =+≥ab 2（当且仅当b x a =取等号）,即)(x f 在x=a b 时,取最小值ab 2
由奇函数性质知：当x<0时,)(x f 在x=
a b
-时,取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ）,（
a b -∞-,）,减区间是（0,a b ）,（a b -,0） 二、对勾函数的变形情势
类型一：函数b y ax x =+)0,0(<<b a 的图像与性质
1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞
2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab
3.奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形.
4.图像在二.四象限, 当x<0时,)(x f 在x=a b 时,取最小值ab 2;当0x >时,)(x f 在x=
a b -时,取最大值ab 2-
5.单调性：增区间为（0,a b ）,（a b -,0）减区间是（∞+,a b ）,（
a b -∞-,）,
类型二：斜勾函数b y ax x =+)0(<ab
①0,0<>b a 作图如下
1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞
2.值域：R
3.奇偶性：奇函数
4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.
5.单调性：增区间为（-∞,0）,（0,+∞）.
②0,0><b a 作图如下：
1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞
2.值域：R
3.奇偶性：奇函数
4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.
5.单调性：减区间为（-∞,0）,（0,+∞）.
类型三：函数)0()(2>++=ac x c bx ax x f .
此类函数可变形为b x c ax x f ++=)(,可由对勾函数
x c ax y +=高低平移得到 演习1.函数x x x x f 1)(2++=的对称中间为
类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x a x x f
此类函数可变形为k k x a k x x f -++
+=)()(,则)(x f 可由对勾函数
x a x y +=阁下平移,高低平移得到 演习 1.作函数21)(-+=x x x f 与x x x x f +++=23)(的草图
2.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标
3. 求函数1)(-+=x x x x f 的单调区间及对称中间
类型五：函数
)0,0()(2>≠+=b a b x ax x f .此类函数界说域为R ,且可变形为
x b x a x b x a x f +=+=2)( a.若0>a ,图像如下：
1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]
21
,21[b a b a ⋅⋅-
3. 奇偶性：奇函数.
4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最大值b a 2,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最小值b a
2-
5. 单调性：减区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;增区间是],[b b -
演习1.函数1)(2+=x x
x f 的在区间[)2,+∞上的值域为 b. 若0<a ,作出函数图像：
1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]
21
,21[b a b a ⋅⋅- 3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一.三象限.
当0x >时,)(x f 在b x =时,取最小值b a
2-, 当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最大值b a
2
5. 单调性：增区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;减区间是],[b b -
演习1.如2214x a x +=-
+()1,2x ∈-,则的取值规模是
类型六：函数
)0()(2≠+++=a m x c bx ax x f .可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s m x t m x a m x t m x s m x a x f , 则)(x f 可由对勾函数x t ax y +=阁下平移,高低平移得到
演习 1.函数
11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=向（填“左”.“右”）平移单位,向（填“上”.“下”）平移单位.
2.已知1->x ,求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值;
3.已知1<x ,求函数
199)(2--+=x x x x f 的最大值 类型七：函数
)0()(2≠+++=a c bx ax m x x f 演习1.求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值;若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为
2.求函数
232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值 类型八：函数a x b
x x f ++=)(.此类函数可变形为标准情势：
)0()(>-+-++=+-++=a b a x a b a x a x a b a x x f 演习1.求函数
13
)(-+=x x x f 的最小值; 2．求函数
15
)(++=x x x f 的值域; 3.求函数32)(++=x x x f 的值域
类型九：函数)0()(22>++=a a x b
x x f .此类函数可变形为标准情势：
)()()(22222o a b a x a b a x a x a
b a x x f >-+-++=+-++=
演习 1.求函数45)(22++=
x x x f 的最小值;
2. 求函数
171)(22++=x x x f 的值域。