研究有限差分格式稳定性的Fourier方法

(1.3) (1.4)
的隐式格式
u
n j
un1 j
a
un j1
2unj h2
un j1
0,
的稳定性.
解. 先把差分格式变形为
(1.14)
a
un j 1
(1
2a )unj
a
un j 1
un1 j
此处 =
h2
.
a
un j 1
(1
2a )unj
aunj1
un1 j
令unj vneikjh，代入上面方程并消去公因子eikjh，
| U ( x, tn )
|2
d
x
Parseval等式
| U (k, tn )
|2
d
k
由假设
K 2
|
U (k , t0
)
|2
d
k
K 2 || U (t0 ) ||2
Parseval等式
|| U (tn ) ||2 K 2 || U (t0 ) ||2
由U (x,tn )的定义，得 || u n ||h K || u0 ||h
整理得：
vn1 (1 a(1 eikh ))vn
增长因子为：
G( , k) 1 a(1 eikh )
实际应用时，我们常用更严格的控制条件，即
| [G( , k)]|1
G( , k) 1 a(1 eikh ) 1 a(1 cos kh) ia sin kh
| G( , k) |2 (1 a(1 cos kh))2 (a sin kh)2
(1 2a sin2 kh)2 4a2 2 sin2 kh (1 sin2 kh)
2
2
2
1 4a(1 a )sin2 kh
2
如果a 1,则| G( , k) | 1
左偏格式是稳定的，稳定性条件是a 1.
例. 考虑扩散方程
u 2u
t
a x2
x R, t 0
u( x, 0) g( x) x R
注：条件(*)被称为Von Neumann条件，Von Neumann 条件是稳定性的必要条件，其重要性在于很多情况下， 这个条件也是稳定性的充分条件。
定理3.2 : 如果差分格式的增长矩阵G( , k)是正规
矩阵，则Von Neumann条件是稳定性的必要且 充分条件。 推论1：当是实对称矩阵，酉 矩阵，Hermite 矩阵时， Von Neumann 条件是差分格式稳定的 充分必要条件。
Un1 j
C(xj
,
)Unj
(1.3)
利用Fourier积分得到
Uˆ (k,tn1) G( , k)Uˆ (k,tn )
Uˆ (k,tn ) [G( , k)]n Uˆ (k,t0 )
此时 G( , k)为增长矩阵
稳定性条件： || [G( , k)]n || K
补充：
定理：若A C nn ,则 || A ||2 ( AH A). (.)是矩阵的谱半径（特征值的最大值）
v
n j
2a (unj 1
2unj
un j 1
)
v
n1 j
unj
令U
n j
[unj
,
v
n j
]T
,则上述方程组可写为
U
n1 j
2a
0
0 0
U
n j1
4a
1
1
0
U
n j
2a
0
0 0
U
n j 1
设U
n j
V en ikjh, 代入上式并消去公因子eikjh，可得
V
n1
8a
sin2 1
增长因子得任意次幂有界保证了差分格式的稳定性以上推导步步可逆即由差分格式的稳定性可以得出增长因子得任意次幂是有界的
第三节 研究有限差分格式稳定性的Fourier方法
3.1 Fourier方法
以一维对流方程为例：
u a u 0, x R, t 0,a 0 t x
(1.1)
u( x, 0) g( x），x R
记为： G( , k) 1 a(1 eikh )
U (k, tn1) G( , k)U (k, tn )
因此
U (k,tn ) [G( , k)]nU (k,t0 )
实际上，我们就是用增长因子来判断稳定性的
假设：存在常数 K,使得 | [G( , k)]n | K
|| U (tn ) ||2
作业
P44 1. 3.
练习：对一维对流方程
u
t
a
u x
0,
x
R, t
0,
a
0
u(x,0) f (x），x R
(1.1)
1、写出右偏差分格式、中心差分格式
2、用Fourier方法分析两种差分格式的稳定性 并说明两种格式的收敛性。
左偏差分格式：
unj 1
unj
a (unj
un j 1
)
u0j g j g( x j )
(1.2)
h
由于unj 及g
只是在网格点上有意义，为了应用
j
Fourier
方法进行讨论，必须扩充这些函数的定义域，使它们
在整个（ ， ）上有定义。令：
U ( x, tn ) unj ( x) g j
(
j
得其增长因子为G( , k)
1
.
1 4a sin2 kh
2
由于a 0,所以对任意的都有 G( , k) 1.
因此差分格式稳定。
例. 考虑扩散方程
u 2u
t
a x2
x R, t 0
u( x, 0) g( x) x R
(1.3) (1.4)
的Richardson格式 的稳定性.
推论2;当p 1时，G( , k)只有一个元素，则
Von Neumann 条件是差分格式稳定的 充要条件。
注:判断稳定性关键是求增长因子或增长矩阵的特征值。
3.3 例子
Fourier方法在具体应用时，可以采取离散的形式， 直接从差分方程入手。不必要扩充、Fourier积分的 烦琐步骤。具体是：
取：u
n j
v en ikjh,直接代入差分方程，分析增长因子。
(实际上是采用了Fourier积分的离散形式)
以左偏格式为例：
un1 j
u
n j
a(u
n j
u
n j 1
)
un1 j
u
n j
a(u
n j
u
n j 1
)
令unj vneikjh 代入差分方程
vn1eikjh vneikjh a(vneikjh vneik ( j1)h )
U( x , tn1) U( x, tn ) a[U( x, tn ) U(x h, tn )] x R
等式两边分别用Fourier积分表示：
1
2
U
(k
,
t
n1
)e
ikx
dk
1
2
U
(k

,
tn
)e
ikx
dk
a{ 1
2
U
(k
,
tn
)e ikx dk
1
2
U
(k
,
t
n
)e
ik
(
x
h)dk
}
1
2
U
(k
,
t
n
)[1
a
(1
e
ikh
)]e
ikx
dk
由此可得: U(k , tn1) (1 a(1 eikh ))U(k, tn )
F ( f (x s)) eiks F ( f (x))
U(k , tn1 ) (1 a(1 eikh ))U(k, tn )
1 a(1 eikh )称为增长因子（传播因子）.
说明：增长因子的任意次幂有界保证了差分格式的 稳定性，以上推导步步可逆，即由差分格式 的稳定性可以得出增长因子的任意次幂是有 界的。
结论：差分格式（1.2）稳定的充分必要条件是：存在
常数 0 0，K 0,使得 0 , n T , k R时，有
| [G( , k)]n | K
如果对于线性方程组，或多层格式，离散的形式为 差分方程组：
un1 j
un1 j
2
a
un j1
2unj h2
un j 1
0,
解. 先把差分格式变形为
un1 j
un1 j
2a(unj1
2unj
un j 1
)
此处
=
h2
.
这是一个三层格式,一般先化为等价的二层差分方程组.
un1 j
v
n j
2a (unj 1
2unj
un j 1
)
v
n1 j
unj
un1 j
不满足von Neumann条件,
格式不稳定.
稳定性的分类：
1、条件稳定：稳定性对时间、空间步长有限制的。 如：对流方程的左偏显示格式。
2、无条件稳定（绝对稳定）：稳定性对时间、 空间步长没有有限制的。 如：隐式格式。
3、无条件不稳定（绝对不稳定）：对任何时间、 空间步长格式不稳定。 如：扩散方程的Richardson格式。
1 )h
x
(
j
1 )h
2
2
( j 1)h x ( j 1)h
2
2
即：U (x,tn ), (x)为R上的分段常数函数.
在节点上：
U( x j , tn1 ) U( x j , tn ) a[U( x j , tn ) U( x j1, tn )]
实际上函数U (x,tk ), (x)在R上满足
kh 2
1 0
V
n
增长矩阵为
G(
,k)
8a
sin2 1
kh 2
1
0
增长矩阵为 其特征值为
G(
,k)
8a
sin2 1
kh 2
1
0
1,2
4a
sin2
kh 2
1 16a2 2 sin4 kh
2
取1
4a
sin2
kh 2
-
1 16a2 2 sin4 kh ,
2
显然
1
1 4a sin2
kh . 2
注：所以对于增长矩阵通过矩阵的特征值来得到稳定 性的条件，增长因子是特殊的增长矩阵。
我们给出下面关于稳定性判别的结论
3.2 判别准则
定理3.1: 差分格式(1.3)稳定的必要条件是
当 0，n T，对所有k R有： | j(G( , k)) | 1 M (*)
其中j(G( , k))表示G( , k)的特征值，M为常数。