数学解题技巧之反证法和数学归纳法探讨

数学解题技巧之反证法和数学归纳法探讨
【备战2013高考数学专题讲座】
第12讲：数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨
江苏泰州锦元数学工作室编辑
3～8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。

数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。

反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。

具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与自然数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

一般地，在高中数学中证明一个与自然数n 有关的命题P(n ），有如下步骤：（1）证明当n 取第一个值n 0时命题成立。

n 0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k （k≥n 0，k 为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n （≥n 0），命题P(n ）都成立。

结合2012年全国各地高考的实例探讨反证法和数学归纳法的应用：
一、反证法的应用：典型例题：例1：（2012年上海市理18分）对于数集12{1,,,}X ,n x x x =-，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集{|(,),Y }X ,X a a s t s t ==∈∈. 若对于任意1Y a ∈，存在2Y a ∈，使得120a a ?=，则称X 具有性质P . 例如{1,2}X 1,=-具有性质P .
（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）
（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）
（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，2x q =（q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）
【答案】解：（1）选取1(,2)a x =，则Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -。

∴=2x b ，从而x =4。

（2）证明：取111Y (,)a x x =∈，设2(,Y )a s t =∈满足120a a ?=。

由0)(1=+x t s 得0=+t s ，∴s 、t 异号。

∵－1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为－1，另一为1。

故1∈X 。

假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101。

选取11Y (,)n a x x =∈，并设2(,Y )a s t =∈满足120a a ?=，即01=+n tx sx 。

则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为－1。

若s =－1，则11x t tx x n ≥>=，矛盾；
若t =－1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.
∴1x =1。

（3）猜测1-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。

记2{1,1,,}A ,k k x x =-，k =2, 3, …, n 。

先证明：若1A k +具有性质P ，则A k 也具有性质P 。

任取1(,)a s t =，s 、t ∈A k .当s 、t 中出现－1时，显然有2a 满足120a a ?=。

当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1。

∵1A k +具有性质P ，∴有211(,)a s t =，1s 、1t ∈1A k +，使得120a a ?=。

从而1s 和1t 中有一个是－1，不妨设1s =－1，
假设1t ∈1A k +且1t ?A k ，则11+=k x t 。

由0),1(),(1=-?+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈A k 矛
盾。

∴1t ∈A k ，从而A k 也具有性质P 。

现用数学归纳法证明：1-=i i q
x ，i=1, 2, …, n 。

当n =2时，结论显然成立。

假设n k =时，2{1,1,,}A ,k k x x =-有性质P ，则1-=i i q x ，i=1, 2, …, k ；
则当+1n k =时，若121{1,1,,
,,}A k k k x x x ++=-有性质P ，则2{1,1,,}A ,k k x x =- 也有性质P ，所以111{1,1,,,,}A k k k q q x -++=-。

取11(,)k a x q +=，并设2(,)a s t =满足120a a ?=，即01=++qt s x k 。

由此可得s 与t 中有且只有一个为－1。

若1-=t ，则1≥s ，所以1k q x q s
+=≤，这不可能；∴1-=s ，k k k q q q qt x =?≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以k k q x =+1。

综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。

【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。

【解析】（1）根据题设直接求解。

（2）用反证法给予证明。

（3）根据题设，先用反证法证明：若1A k +具有性质P ，则A k 也具有性质P ，再用数学归纳法证明猜测1-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。

例2：（2012年北京市理13分）设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m ，n)为所有这样的数表构成的集合。

对于A ∈S(m ，n)，记R i (A)为 A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m ），C j (A)为A 的第j 列各数之和（1≤j≤n ）；记K(A)为∣R 1(A)∣,∣R 2(A)∣,…,∣R m (A)∣,∣C 1(A)∣,∣C 2(A)∣,…,∣C n (A)∣中的最小值。

（1）对如下数表A ，求()K A 的值；
（2）设数表A ∈S （2,3）形如
求()K A 的最大值；
（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S （2，2t+1），求()K A 的最大值。

【答案】解：（1）由题意可知()()()()()12123r A =1.2r A = 1.2c A =1.1c A =0.7c A = 1.8--，，，，，
∴()K A 0.7=。

（2）先用反证法证明()K A 1≤：
若()K A 1>，则()1C A =a 11>+，∴a 11a 11a 1a 11
a 11a 11<<<<<><>?--++-+????或（无解）0a 1<<。

同理可知0
b 1<<。

∴0a b 2<<+。

由题设所有数和为0，即a b+c 1=0a b=1c ++?+--，
∴01c 2<<--，解得3c 1<<-，与题设c 1≤矛盾。

∴()K A 1≤。

易知当a=b=0时，()K A =1存在。

∴()K A 的最大值为1。

（3）()K A 的最大值为2t 1t+2
+。

首先构造满足()2t 1K A =t+2
+的{}
{}i j A=a i=1,2j= t ，；1，2，，2+1：1,11,21t 1t+11t+21t+1t 1a =a ==a =1a =a ==a =t+2-，，，，2，，()
22,12,2t t+1t+2t+1t t 1a =a ==a =a =a ==a =1t t 2++-
+2，2，2，2，2，。

经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且
()()122t+1r A =r A =t+1
，()()()()212t t t 1t+12t+1c A =c A ==c A =11t t 2t+2t+2>>+++++， ()()()t 1t 22t+1t 12t+1c A =c A ==c A =1+
=t+2t+2++-。

下面证明2t+1t+2
是最大值。

若不然，则存在一个数表A ∈S （2，2t+1），使得()2t+1K A =x t+2>。

由()K A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1
的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[]x 2 ，中. 由于x 1>，故A 的
每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x 1-。

设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则g t h t +1≤≥，。

另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负。

考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于t+1个负数，每
个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x 1-（即每个负数均不超过
1x -）。

因此()()()()()()11r A =r A t 1t 11x =2t 1t 1x=x 2t 1t+2x x <≤?++-+-++?+-，故A
的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾。

因此()K A 的最大值为
2t+1t+2。

【考点】逻辑推理，反证法的应用。

【解析】（1）根据r i （A ）为A 的第i 行各数之和（i=1，2），c j （A ）为A 的第j 列各数之和（j=1，2，
3）；求出|r 1（A ）|，|r 2（A ）|，|c 1（A ）|，|c 2（A ）|，|c 3（A ）|中的最小值可即为所求。

（2）用反证法证明。

（3）先构造满足()2t 1K A =t+2+的{}{}i j A=a i=1,2j= t ，；1，2，，2+1，用反证法证明2t+1t+2是最大值。

例3：（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：
221n n n n n b a b a a ++=+，*N n ∈，（1）设n n n a b b +=+11，*N n ∈，求证：数列2n n b a ???????? ???????
是等差数列；
（2）设n
n n a b b ?=+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．【答案】解：（1）∵n n n a b b +=+11
，∴1n a +=
∴
1
1n n b a ++=
()2
222111*n n n n n n b b b n N a a a ++-=-=∈ ? ? ??????? 。

∴数列2n n b a ???????? ???????
是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00n n a >b >，，∴()()22
222n
n n n n n a b a b
∴11n 知0q >，下面用反证法证明=1q
若1,q >
则212=a a
1
log q n >
时，11n n a a q += 若01,
1a a >a >q ，∴当11log q n >a 时，111n n a a q <+=，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，=1q 。

∴()1*n a a n N =∈
，∴11<a< bdsfid="209" p=""></a<>
又∵11n n n n b b b a +=()*n N ∈，∴{}n b
1
若1a ≠
1
1>a ，于是123b
n n b a b a a ++=+
即1a =
，得11n b a -。

∴123b b b ，，中至少有两项相同，与123b <b<="" bdsfid="243" p="">
<b<="" bdsfid="245" p="">
<b<="" bdsfid="247" p="">
矛盾。

∴1a ∴
1
n b -
∴ 12=a b
【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】（1）根据题设221n n n
n n b a b a a ++=
+和n n n a b b +=+11，求出11n n b a ++=22111n n n n b b a a ++
-= ?
而得证。

<b<="" bdsfid="270" p="">
（2）根据基本不等式得到11n
从而得到()1*n a a n N =∈的结论，
再由11n n n n b b b a +=知{}n b
1
最后用反
证法求出12=a b 二、数学归纳法的应用：
例1：（2012年上海市理18分）对于数集12{1,,,}X ,n x x x =-，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集{|(,),Y }X ,X a a s t s t ==∈∈. 若对于任意1Y a ∈，存在2Y a ∈，使得120a a ?=，则称X 具有性质P . 例如{1,2}X 1,=-具有性质P .
（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）
（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）
（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，2x q =（q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）
【答案】解：（1）选取1(,2)a x =，则Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -。

∴=2x b ，从而x =4。

（2）证明：取111Y (,)a x x =∈，设2(,Y )a s t =∈满足120a a ?=。

由0)(1=+x t s 得0=+t s ，∴s 、t 异号。

∵－1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为－1，另一为1。

故1∈X 。

假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101。

选取11Y (,)n a x x =∈，并设2(,Y )a s t =∈满足120a a ?=，即01=+n tx sx 。

则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为－1。

若s =－1，则11x t tx x n ≥>=，矛盾；
若t =－1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.
∴1x =1。

（3）猜测1-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。

记2{1,1,,}A ,k k x x =-，k =2, 3, …, n 。

先证明：若1A k +具有性质P ，则A k 也具有性质P 。

任取1(,)a s t =，s 、t ∈A k .当s 、t 中出现－1时，显然有2a 满足120a a ?=。

当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1。

∵1A k +具有性质P ，∴有211(,)a s t =，1s 、1t ∈1A k +，使得120a a ?=。

从而1s 和1t 中有一个是－1，不妨设1s =－1，
假设1t ∈1A k +且1t ?A k ，则11+=k x t 。

由0),1(),(1=-?+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈A k 矛盾。

∴1t ∈A k ，从而A k 也具有性质P 。

现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。

当n =2时，结论显然成立。

假设n k =时，2{1,1,,}A ,k k x x =-有性质P ，则1-=i i q x ，i=1, 2, …, k ；
则当+1n k =时，若121{1,1,,
,,}A k k k x x x ++=-有性质P ，则2{1,1,,}A ,k k x x =- 也有性质P ，所以111{1,1,,,,}A k k k q q x -++=-。

取11(,)k a x q +=，并设2(,)a s t =满足120a a ?=，即01=++qt s x k 。

由此可得s 与t 中有且只有一个为－1。

若1-=t ，则1≥s ，所以1k q x q s
+=≤，这不可能；∴1-=s ，k k k q q q qt x =?≤=-+11，又
11-+>k k q x ，所以k k q x =+1。

综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。

【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。

【解析】（1）根据题设直接求解。

（2）用反证法给予证明。

（3）根据题设，先用反证法证明：若1A k +具有性质P ，则A k 也具有性质P ，再用数学归纳法证明猜测1-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。

例2：（2012年全国大纲卷理12分）函数2()23f x x x =--。

定义数列{}n x 如下：112,n x x +=是过两点
(4,5),(,())n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标。

（1）证明：123n n x x +≤<<；
（2）求数列{}n x 的通项公式。

【答案】解：（1）∵2(4)4835f =--=，∴点(4,5)P 在函数()f x 的图像上。

∴由所给出的两点(4,5),(,())n n n P Q x f x ，可知，直线n PQ 斜率一定存在。

∴直线n PQ 的直线方程为()55(4)4
n n f x y x x --=--。

令0y =，可求得()2285=44
n n n x x x x -----，解得43=2n n x x x ++。

∴1432
n n n x x x ++=+。

下面用数学归纳法证明23n x ≤<：
当1n =时，12x =，满足123x ≤<，
假设n k =时，23k x ≤<成立，则当1n k =+时，1435422
k k k k x x x x ++==-++，由23k x ≤<得，425k x <≤+，即55124k <
x ≤+，∴11514342
k <<对任意正整数恒成立。

<="" 综上可知23n="">
下面证明1n n x x +<：∵22143432(1)4222
n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x +++----+-=-
==+++，∴由23n x ≤<得，112n x <≤-。

∴()2
0143n <="" bdsfid="350" p="">
∴10n n x x +->即1n n x x +<。

综上可知123n n x x +≤<<恒成立。

（2）由1432
n n n x x x ++=+得到该数列的一个特征方程432x x x +=+即2230x x --=，解得3x =或1x =-。

∴14333=3=22n n n n n x x x x x ++---++① ，14355(1)122
n n
n n n x x x x x +++--=+=++②。

两式相除可得
11331151n n n n x x x x ++--=?++。

而1132311213
x x --==-++ ∴数列31n n x x ??-??+??是以13-为首项以15为公比的等比数列1311()135n n n x x --=-?+。

∴11195143351351 n n n n x ---?-==-?+?+。

【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用，不等式的证明，数学归纳法。

【解析】（1）先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法证明23n x ≤<，运用差值法证明1n n x x +<，从而得证。

（2）根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项。