高中数学选择性必修三 第七章测评

第七章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2020山东枣庄第三中学高二月考)已知随机变量X~B (8,1
2),则E (3X-1)=( ) A.11 B.12
C.18
D.36
随机变量X~B (8,1
2),∴E (X )=8×1
2=4,∴E (3X-1)=3E (X )-1=3×4-1=11.
故选A.
2.(2020黑龙江鹤岗一中高二期末)已知离散型随机变量ξ的概率分布如下表,则其均值E (ξ)等于( )
A.1
B.0.6
C.2+3m
D.2.4
,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,
故E (ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4. 故选D.
3.现在分别有A,B 两个容器,在容器A 里有7个红球和3个白球,在容器B 里有1个红球和9个白球.现从这两个容器里任意抽出一个球,则在抽到的是红球的情况下,是来自容器A 里面的球的概率是( ) A.0.5 B.0.7
C.0.875
D.0.35
A=“抽到的是红球”,B=“抽到的是来自容器A 里面的球”,则AB=“抽到的是来自容器A 里面的红球”.由题意可知,P (AB )=7
20,P (A )=8
20,故P (B|A )=P (AB )
P (A )=0.875,故选C .
4.(2019广东高考模拟)从某班6名学生(其中男生4人、女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ,则均值E (ξ)=( ) A.4
5 B.1
C.75
D.2
,ξ=0,1,2,则P (ξ=0)=
C 43C 6
3=1
5, P (ξ=1)=
C 42C 2
1C 6
3=
35,P (ξ=2)=C 41C 22
C 6
3=1
5,
故E (ξ)=0×15+1×35+2×1
5=1.故选B.
5.(2020湖北高二期末)甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是2
3,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,则乙以3∶1战胜甲的概率为( ) A.827
B.227
C.8
81
D.3281
,前3局乙胜2局,第4局乙胜,故所求概率
P=C 3
2×23×(1-23)
3=2
27.
故选B.
6.(2020宁夏石嘴山第三中学高二期中)设随机变量X 的概率分布为P (X=i )=1
3,i=1,2,3,则D (X )等于( ) A.13
B.23
C.1
D.2
P (X=i )=13
,i=1,2,3,
∴E (X )=1×13+2×13+3×1
3=2,
∴D (X )=(1-2)2×1
3+(2-2)2×1
3+(3-2)2×1
3=2
3.
故选B.
7.(2019黑龙江高三期中)位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是1
2.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为( ) A.(12)5
B.C 52(12)5
C.C 51(12)5
D.C 52C 53(12
)5
,质点在移动过程中向右移动2次,向上移动3次,因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概
率P=C 52×(12)2×(1-12
)3=C 52
(12)5
.
8.(2020四川高三月考)小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏,每次游戏互不影响,记小明4次游戏得分之和为X ,则X 的均值为( ) A.1 B.2
C.3
D.4
“手心手背”游戏,小明与另外2名同学选择手势的所有可能情况为
(心,心,心),(心,心,背),(心,背,心),(心,背,背),(背,心,心),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背), 则小明得1分的概率为34,得0分的概率为1
4.
进行4次游戏,小明得分之和X 的可能结果为0,1,2,3,4,
则P (X=0)=C 40
×(14)4
=1
256,
P (X=1)=C 4
1
×34×(14)3=3
64,
P (X=2)=C 42
×(34)2
×(14)2
=27
128, P (X=3)=C 4
3×(34)3×14=27
64,
P (X=4)=C 44
×(34)4
=81
256,
故E (X )=0×1256+1×364+2×27128+3×2764+4×81
256=3. 故选C .
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.已知随机变量X 服从正态分布N (2,σ2),且P (X<4)=0.8,则( ) A.P (X>4)=0.2
B.P (X>0)=0.6
C.P (0<X<2)=0.3
D.P (0<X<4)=0.4
P (X<4)=0.8,∴P (X>4)=0.2.
∵X~N (2,σ2),∴P (X<0)=P (X>4)=0.2. ∴P (0<X<4)=P (X<4)-P (X<0)=0.6,
P (X>0)=1-P (X<0)=0.8,
∴P (0<X<2)=1
2P (0<X<4)=0.3.
10.(2019山东高三月考)某市有A,B,C,D 四个景点,一名游客来该市游览,已知该游客游览A 的概率为
23,游览B,C 和D 的概率都是1
2
,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数,下列结论正确的是( ) A.该游客至多游览一个景点的概率为1
4 B.P (X=2)=3
8 C.P (X=4)=124 D.E (X )=136
X 的可能取值为0,1,2,3,4,
则P (X=0)=(1-2
3)×(1-12)3
=1
24,
P (X=1)=23×(1-12)
3
+(1-23)×C 3
1
×12×(1-12)2=5
24,
P (X=2)=2
3×C 31×1
2×(1-1
2)2+1-2
3×C 32
×(12)2
×1-1
2=3
8,
P (X=3)=23
×C 3
2×(12
)2×1-12
+
1-23
×C 3
3×(12
)3=
724
, P (X=4)=2
3×(12)3
=1
12,
故E (X )=0×1
24+1×5
24+2×3
8+3×7
24+4×1
12=13
6.
设A=“该游客至多游览一个景点”,则P (A )=P (X=0)+P (X=1)=1
4.故选ABD.
11.(2020江苏高二月考)下列说法中,正确的是( ) A.已知随机变量X~B (n ,p ),若E (X )=30,D (X )=20,则p=2
3
B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变
C.设随机变量ξ~N (0,1),若P (ξ>1)=p ,则P (-1<ξ≤0)=1
2-P
D.某人在10次射击中,击中目标的次数为X ,X~B (10,0.8),则当X=8时概率最大
A,因为X~B (n ,p ),E (X )=30,D (X )=20,所以np=30,np (1-p )=20,所以p=1
3,故选项A 错误;
易知选项B 正确;
对于选项C,因为ξ~N (0,1),P (ξ>1)=p ,所以P (0<ξ<1)=12-p ,所以P (-1<ξ<0)=12
-p ,故选项C 正确;
对于选项D,因为X~B (10,0.8),所以当X=k (k=0,1,…,10)时,P (X=k )=C 10k
×0.8k ×0.210-k ,所以当
1≤k ≤10时,P (X=k )
P (X=k -1)=
C 10k ×0.8k ×0.2
10-k C 10k -1×0.8k -1×0.2
10-k+1=
4(11-k )k .由4(11-k )
k
≥1得,44-4k ≥k ,即1≤k ≤44
5.因为k ∈
N *,所以1≤k ≤8,且k ∈N *,故当k=8时,概率P (X=8)最大,故选项D 正确.
故选BCD .
12.(2020山东高考真题)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,…,n ,且P (X=i )=p i >0(i=1,2,…,n ),∑i=1
n
p i =1,定义X 的信息熵H (X )=-∑i=1
n
p i log 2p i .( )
A.若n=1,则H (X )=0
B.若n=2,则H (X )随着p 1的增大而增大
C.若p i =1
n
(i=1,2,…,n ),则H (X )随着n 的增大而增大
D.若n=2m ,随机变量Y 所有可能的取值为1,2,…,m ,且P (Y=j )=p j +p 2m+1-j (j=1,2,…,m ),则H (X )≤H (Y )
A,若n=1,则p 1=1,所以H (X )=-(1×log 21)=0,所以A 正确.
对于B,若n=2,则p 2=1-p 1,
所以H (X )=-[p 1·log 2p 1+(1-p 1)·log 2(1-p 1)], 当p 1=1
4
时,H (X )=-14·log 214+34·log 234,
当p 1=34时,H (X )=-3
4·log 23
4+1
4·log 21
4, 两者相等,所以B 错误. 对于C,若p i =1
n (i=1,2,…,n ),则 H (X )=-1
n ·log 21
n ·n=-log 21
n =log 2n ,
则H (X )随着n 的增大而增大,所以C 正确.
对于D,若n=2m ,随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,…,m ,且P (Y=j )=p j +p 2m+1-j (j=1,2,…,m ). 则H (X )=-∑i=1
2m p i ·log 2p i =∑i=1
2m
p i ·log 21
p i
=p 1·log 21p 1
+p 2·log 21p 2
+…+p 2m-1·log 21
p
2m -1
+p 2m ·log 21
p 2m
.
H (Y )=(p 1+p 2m )·log 21
p 1+p 2m
+(p 2+p 2m-1)·log 21p 2+p 2m -1+…+(p m +p m+1)·log 21p m +p m+1=p 1·log 21p 1+p 2m +p 2·log 2
1
p 2+p 2m -1
+…+p 2m-1·
log 21p 2+p 2m -1+p 2m ·log 21
p 1+p 2m
.
因为p i >0(i=1,2,…,2m ),所以1
p i >1
p i +p 2m+1-i ,所以log 21
p i >log 21
p i +p 2m+1-i ,
所以p i ·log 21
p i
>p i ·log 2
1p i +p 2m+1-i
,
所以H (X )>H (Y ),所以D 错误. 故选AC .
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2019山东高二期末)按照国家标准规定,500 g 袋装奶粉每袋质量必须服从正态分布X~N (500,σ2),经检测某种品牌的奶粉P (490≤X ≤510)=0.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋,则卖出的奶粉质量在510 g 以上袋数大约为 .
X~N (500,σ2),且P (490≤X ≤510)=0.95,所以P (X>510)=1-0.95
2=0.025,所以卖出的奶粉质量在510 g 以上袋数大约为400×0.025=10(袋).
14.(2020山东青岛高二月考)抛掷两个骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验成功,则在8次试验中,成功次数ξ的均值是 .
,成功的概率为1-2
3×2
3=5
9.依题意,ξ~B (8,5
9),故E (ξ)=8×5
9=40
9.
15.若随机变量X~B (4,p ),且E (X )=2,则D (2X-3)= .
X~B (4,p ),且E (X )=2,可得4p=2,解得p=1
2,则D (X )=4×1
2×1
2=1,
故D (2X-3)=4D (X )=4.
16.(2020浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P (ξ=0)= ;E (ξ)= .
,ξ的取值可能为0,1,2,
则P (ξ=0)=14
+14
×13
=13
,
P (ξ=1)=2
4×1
3+2
4×1
3×1
2+1
4×2
3×1
2=1
3,P (ξ=2)=1-1
3−1
3=1
3, 故E (ξ)=0×1
3+1×1
3+2×1
3=1.
1
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020河南高二期中)某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率;
(2)在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率;
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.
记4名男生为A,B,C,D,2名女生为a,b,
从6名成员中挑选2人,所有可能的结果为
(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15种, 不妨设男生甲为A,女生乙为b,设事件M=“男生甲被选中”,N=“女生乙被选中”,S=“被选中的两人为一男一女”.
(1)事件M 所包含的可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b), 共5种,故P (M )=5
15=1
3.
(2)事件MN 包含的可能的结果为(A,b), 则P (MN )=115
,又P (M )=13, 故P (N|M )=P (MN )
P (M )=1
5.
(3)事件S 包含的可能的结果为(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8种, 事件SN 包含的可能的结果为(A,b),(B,b),(C,b),(D,b),共4种,则P (S )=8
15,P (SN )=4
15, 故P (N|S )=P (SN )
P (S )=1
2.
18.(12分)(2020浙江高二期末)一个袋中有10个大小相同的球,其中标号为1的球有3个,标号为2的球有5个,标号为3的球有2个.第一次从袋中任取一个球,放回后第二次再任取一个球(假设取到每个球的可能性都相等).记两次取到球的标号之和为X.
(1)求随机变量X 的分布列; (2)求随机变量X 的均值.
依题意,随机变量X 的可能取值为2,3,4,5,6,则P (X=2)=
310×310
=
9100
, P (X=3)=310×510×2=310, P (X=4)=310×210×2+510×510=
37100
, P (X=5)=510×210×2=15, P (X=6)=
210×210
=
125
. 故随机变量X 的分布列为
(2)由(1)可知,
E (X )=2×9100+3×310+4×37100+5×15+6×125=19
5.
19.(12分)某学习小组有6名同学,其中4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动,2名同学曾经参加过数学研究性学习活动.
(1)现从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,求恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率;
(2)若从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学人数ξ是一个随机变量,求随机变量ξ的分布列及均值.
记“恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A ,
则P (A )=
C 41C 2
1C 6
2=
8
15
. 故恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为8
15. (2)依题意,随机变量ξ的取值可能为2,3,4,则P (ξ=2)=C 42C 6
2=2
5,
P (ξ=3)=C 41C 2
1C 6
2=8
15,
P (ξ=4)=
C 22C 6
2=1
15.
故随机变量ξ的分布列为
ξ 2 3 4
P 25 815 115
E (ξ)=2×2
5+3×8
15+4×1
15=8
3.
20.(12分)(2020黑龙江哈尔滨第六中学校高三一模)甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为2
3,乙获胜的概率为1
3,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,乙得2分. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X ,求X 的分布列及均值.
设“甲获得这次比赛胜利”为事件A ,
则
P (A )=(23
)
3
+
C 3
1×(23
)3×13=
1627, 故甲获得这次比赛胜利的概率为16
27. (2)依题意,X 的取值可能为2,3,4, 则
P (X=2)=(13
)
2
=19
,
P (X=3)=(23)3
+C 21
×2
3×(13)2
=4
9,
P (X=4)=C 3
2
×(23
)2×13×1=49
.
故X 的分布列为
E (X )=2×19
+3×49
+4×49
=
103
. 21.(12分)(2020江苏高三三模)某娱乐活动中,共有5扇门,游戏者根据规则开门,并根据打开门的数量获取相应奖励.已知开每扇门相互独立,且规则相同,开每扇门的规则是:从给定的6把钥匙(其中有且只有1把钥匙能打开门)中,随机地逐把抽取钥匙进行试开,钥匙使用后不放回.若门被打开,则转为开下一扇门;若连续4次未能打开,则放弃这扇门,转为开下一扇门;直至5扇门都进行了试开,活动结束. (1)设随机变量X 为试开第一扇门所用的钥匙数,求X 的分布列及均值E (X ); (2)求恰好成功打开4扇门的概率.
由题意可知,随机变量X 的可能取值为1,2,3,4,
则P (X=1)=1
6,P (X=2)=5
6×1
5=1
6,
P (X=3)=56×45×14=16,P (X=4)=56×45×34×1=12
. 故随机变量X 的分布列为
E (X )=1×16+2×16+3×16+4×12
=3.
(2)每扇门被打开的概率为P=1-56×45×34×23=23
, 设“恰好成功打开4扇门”为事件A ,则
P (A )=C 5
4
×(23
)4×13=
80243
. 22.(12分)(2020吉林东北师大附中高三模拟)一次大型考试后,某年级对某学科进行质量分析,随机抽取了40名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从抽取的成绩在[50,60),[90,100]之间的学生中,随机选择三名学生做进一步调查分析,记X 为这三名学生中成绩在[50,60)之间的人数,求X 的分布列及均值E (X ).
(2)①求该年级全体学生的平均成绩x 与标准差s 的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(精确到1)
②如果该年级学生该学科的成绩服从正态分布N (μ,σ2),其中μ,σ分别近似为①中的x ,s ,那么从该年级
所有学生中随机选三名学生做分析,求这三名学生中恰有两名学生的成绩在区间(62,95)的概率.(精确到0.01)
附:√29≈5.385,P (μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5.
由频率分布直方图,可知40名学生中成绩在[50,60),[90,100]之间的人数均为4.
X 的所有可能取值为0,1,2,3, 则P (X=0)=C 43C 8
3=
114,P (X=1)=C 41C 42
C 8
3=3
7,
P (X=2)=
C 42C 4
1
C 8
3=
37,P (X=3)=C 4
3C 8
3=1
14.
故X 的分布列为
E (X )=0×114+1×37+2×37+3×114
=1.5.
(2)①x =55×0.1+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.1=73,s= √(55-73)2×0.1+(65-73)2×0.3+(75-73)2×0.4+(85-73)2×0.1+(95-73)2×0.1=√116=2√29≈11. ②由①,可知成绩在区间(62,95)的概率为12×0.954 5+12×0.682 7=0.818 6, 记“三名学生中恰有两名学生的成绩在区间(62,95)”为事件A ,
则P (A )=C 32×0.818 62×(1-0.818 6)≈0.36.。