【五校联考】2016~2017年浙江省杭州二中、效实中学、学军中学等五校高三下学期数学试卷

【五校联考】2016~2017年浙江省杭州二中、效实中学、学军中学等五校高三下
学期数学试卷
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 全集，集合，，则集合
A. B.
C. D.
2. 若复数满足，其中为虚数单位，则
A. B. C. D.
3. 已知直线，，其中，则“”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 已知变量，满足约束条件则的最小值为
A. B. C. D.
5. 为了得到函数的图象，可以将的图象
A. 向右平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向左平移个单位
6. 已知双曲线的焦点，，渐近线为，，过点且与平行的直线交于，
若，则的值为
A. B. C. D.
7. 的展开式中，的系数为
A. B. C. D.
8. 正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成的角的取值
范围为
A. B. C. D.
9. 设函数，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
10. 设，且，记，
则的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题（共7小题；共35分）
11. 抛物线上的点到焦点的距离为，则，的面积
为．
12. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是，体积是．
13. 在中，，，，，则的最小值为，
又若，则．
14. 从装有大小相同的个红球和个白球的袋子中，不放回地每摸出个球为一次实验，直到摸
出的球中有红球时实验结束，则第一次实验恰摸到一个红球和一个白球的概率是，若记实验次数为，则的数学期望．
15. 已知数列，满足，，，则
．
16. 已知圆，设为直线上的一条线段，若对于圆上任意一
点，，则的最小值为．
17. 设实数，且满足，则使不等式恒成立的的最
大值为．
三、解答题（共5小题；共65分）
18. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，，求的值．
19. 如图①，在矩形中，，，是的中点，将三角形沿翻折到②
的位置，使平面平面．
（1）在线段上确定点，使得 平面，并证明；
（2）求与所在平面构成的锐二面角的正切值．
20. 已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，，且，证明：．
21. 如图，已知椭圆经过不同的三点，，（在第
三象限），线段的中点在直线上．
（1）求椭圆的方程及点的坐标；
（2）设点是椭圆上的动点（异于点，，）且直线，分别交直线于，两点，问是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．
22. 已知数列中，满足，，记为的前项和．证明：
（1）；
（2）；
（3）．
答案
第一部分
1. D 【解析】，故．
2. B 【解析】设，则，故，，即
．
3. A 【解析】若，则，
所以，
或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
4. C 【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，
其中，，，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，目标函数达到最小值，所以
．
5. A
【解析】因为
所以将函数的图象向右平移个单位长度得到．
6. D 【解析】设，，，，过点与平行的直线
，联立与的方程得的坐标为，因为，即
，即，．
7. C 【解析】由题意，令，求的系数即可，原式，即只需求出
中的系数即可，即，故的系数为．
8. D 【解析】在正方体中，与平行，
故 即为 与 所成的角， 取 中点 ，连接 交 于 ，
易得 平面 ，
则有 ． 当 越大， 越大， 当 越小， 越小， 显然当 与 重合时， 最大， 此时 是等边三角形，
， 当 与 重合时， 最小， 此时 ， 由
得
．
9. A 【解析】 ，即 ，即
． 令
，则
，令 得 ，
所以
在 为减函数，在 为增函数， 所以若存在唯一的整数 使得 ，只需满足
所以
． 10. B
【解析】设 ， ， 则
， 记 ，则
所以
，
记，
即，
所以，，，
所以．
第二部分
11. ，
【解析】由抛物线的定义可知，
所以，可知，，．
12. ，
【解析】根据三视图还原的几何体为边长为的正方体割去两个三棱锥，如图所示，
表面积，
体积．
13. ，
【解析】由，
可得，
，
故的最小值为
若，
则，，
，，
所以．
14. ，
【解析】第一次实验恰摸到一个红球和一个白球的概率为；
实验次数为，．当时，；
当时，第一次全是白球，第二次有红球；
当时，；
当时，；．
15.
【解析】由，
可得数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以，
，
，
，
是以为首项，为公差的等差数列，
，
．
16.
【解析】由题意，圆心到直线的距离为（半径），
故直线和圆相离．从圆上任一点向直线上的两点连线成角，如图，
过圆心作于点，延长交圆于一点，当且仅当点为的延长线与圆的交点时，最小，，得；
所以，
所以．
17.
【解析】不妨设，令，，，，则原不等式化为
，转化为恒成立，则，所以，所以．
第三部分
18. （1）
令，
解得，，
所以，函数的单调递增区间为．
（2），
所以，
又，
所以，
所以
19. （1）点是线段的中点时， 平面．
记，的延长线交于点，
因为，
所以点是的中点，
所以．
而平面，平面，
所以 平面．
（2）在矩形中，，，为中点，则，又平面平面，且交线是，
所以平面．
如图①在平面内作，连接，
则，
所以就是与所在平面构成的锐二面角的平面角．
如图②，
在平面中易得，，，故，又
，
所以．
20. （1）当时，，，，
所以函数在处的切线方程为，化简可得．（2）函数定义域为，则，则，是的两个根，
所以，
又，
所以，，
所以，
令，，则
，，
所以，则在上为增函数，
所以，
所以．
21. （1）由点，在椭圆上，
得
所以
所以椭圆的方程为．
由已知，得直线的方程为，
设，的中点在直线上，即，
从而
又点在椭圆上，故，
由解得（舍去）或，从而，
所以点的坐标为．
（2）设，，，
因为，，三点共线，故，
整理得，
因，，三点共线，故，
整理得．
因为在椭圆上，故，
所以，
从而
所以为定值．22. （1）由题意知，．
因为，故要证，
只需证明．
下面用数学归纳法证明：
当时，成立，
假设时，成立．
那么当时，，
综上所述，对任意，．
所以．
（2）用数学归纳法证明：，
当时，成立；
假设时，成立，
那么当时，
综上所述，对任意，．
（3）当时，，
当时，，得，
故
即．
第11页（共11 页）。