学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题(含解析)_1

学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试
题（含解析）
一、单选题
1.（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
改写，根据诱导公式化简求值.
【详解】.
故选：A
【点睛】此题考查求特殊角的三角函数值，结合诱导公式化简变形，需要熟记常见特殊角的三角函数值，可以快速得解.
2.已知扇形面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设扇形的半径为，弧长为，则由扇形面积公式可得：
，解得，所以扇形的周长为，故选C.
考点：扇形的弧长公式和面积公式.
3.已知，则（）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
联立,求出,再根据,确定的正负,得出具体结果,从而求出.
【详解】或,
,,
,
,
故选:B.
【点睛】本题考查了同角三角函数之间的关系,需要学生熟练掌握函数关系式,属于简单题.
4.在锐角三角形ABC中，和的大小关系是（）
A. B. C. D. 不能确定【答案】C
【解析】
【分析】
根据为锐角三角形，可推出，从而正弦函数的单调性，即可得解.
【详解】在锐角三角形,，所以，所以
.
故选C.
【点睛】此题考查了正弦定理，诱导公式，以及三角函数的单调性，根据题意得出是解题的关键．
5.函数的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据条件，再利用二次函数的性质求得函数的最值，可得函数的值域．
【详解】，，
当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最大值为，
所以函数的值域为，故选C
【点睛】本题考查函数的值域，解题的关键是通过三角恒等式将函数变形为，属于一般题．
6.如图，若，，，是线段靠近点的一个四等分点，则下列等式成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可选定为基底向量，将表示成两基底向量相加减的形式，即可求解
【详解】，即，同乘可得
故选：C
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，利用基底向量表示任
意向量，属于基础题
7.函数的大致图象为（）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数为奇函数和的符号，利用排除法，即可得答案.【详解】∵关于原点对称，且
，
∴，
∴函数是奇函数，排除A，C；
，排除B.
故选：D.
【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意
从图形中提取信息.
8.设函数，其中，已知在上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设，则，从而将问题转化为在上有4个零点，从而得到，再利用不等式恒成立问题求得的范围，即可得答案.
【详解】设，则，
所以在上有4个零点，
因为，所以，
所以，
所以，即，满足的只有A.
故选：A
【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.
9.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由三角函数的最值得或，再由
得，进而可得单调增区间.
【详解】因为对任意恒成立，所以
，
则或，
当时，，则（舍去），
当时，，则，符合题意，
即，
令，解得，即的单调递
增区间是；故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.
10.在中，，，若，则
（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出图形，将作为基底向量，将向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解
【详解】
如图，由题可知，点为的中点，点为上靠近的三等分点，
，
故选：D
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题
11.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点（）
A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动
个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动
个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
【答案】B
【解析】
【详解】，即，所以要得到函数的图像，先将横坐标伸长到原来的，变为；再向右平移个单位即可得到，应选答案B．
12.将函数的图象向右平移个单位长度得到
的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据图象的变换得出，根据函数的单调性确定时，，的最大负零点在区间上只需由解得,求的交集即可.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度,可得，
在区间上单调递增，的最大负零点在区间上，
，
即，①
令，得，
又的最大负零点在区间上，
所以只需,
解得②
由①②及已知条件可知，
故选：B
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象变换，单调性，零点，属于中档题.
二、填空题
13.已知，则______【答案】
【解析】
【分析】
将化简得，再结合诱导公式将表达式化简求值即可
【详解】，又
，由，故
故答案为：
【点睛】本题考查利用三角函数的诱导公式化简求值，属于基础题
14.设和是两个不共线的向量，若，，
，且，，三点共线，则实数的值等于_________.【答案】-6
【解析】
【分析】
由三点共线可知，，又，联立即可求解【详解】由三点共线可得，，
故答案为：-6
【点睛】本题考查向量的加法与减法公式运用，由两向量平行求参数，属于基础题
15.已知，函数在区间上恰有9个零点，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由奇偶性可得在上恰有4个零点,则,进而求得的范围即可
【详解】在区间上恰有9个零点,等价于在上恰有4个零点,
设的周期为T,则,即,
所以,则,
故的取值范围为,
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数周期性的应用,考查求的范围
16.设函数，，若关于的方程恰好有三个根，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，得到，如图所示，根据对称性得
到，，代入计算得到答案.
详解】，则，如图所示：则，即；
故答案：
【点睛】本题考查了函数零点问题，三角形函数对称性，意在考查学生的综合应用能力.
三、解答题（17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17.已知且满足.
（1）求的值；
（2）的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出，再分子、分母同时除以，即可得解；（2）将除以，再结合即可得解.【详解】解：（1）因为，所以或，又，所以，
即，
则；
（2）.【点睛】本题考查了构造齐次式求值问题，重点考查了运算能力，属中档题.
18.已知函数（，）的图象与轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.
（1）求，的值；
（2）求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）（2），
【解析】
【分析】
（1）由相邻两最高点确定为一个周期，即可求出，由，图像与轴相切可知，函数最小值为0，即可求出；
（2）由（1）知，函数表达式为，由整体代入法求最值即可；
【详解】（1）由题可知，又，图像与轴相切，
故；
（2）函数表达式为，，
故，，
【点睛】本题考查由函数的周期求参数，整体代入法求解函数最值，属于中档题
19.已知函数（，）的图象的两相邻对称轴之间的距离，若将的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数.
（1）求的解析式并写出单增区间；
（2）当，恒成立，求取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】
（1）由两相邻对称轴之间的距离求出，
，函数平移之后的表达式为：
，由函数为奇函数可知，，结合即可求解原函数表达式，再采用整体代入法求解增区间；
（2）要使，恒成立，可等价转化为对
恒成立，求出，即可求解
【详解】（1）由题可知，
函数平移之后的表达式为：，平移后函数为奇函数可得：
，，，当时，，
则，
令；
∴的单调递增区间为：
（2）当，恒成立可等价转化为对恒成立，
时，，，，
，所以
【点睛】本题考查由平移前后表达式的性质求解函数解析式，由在某区间恒成立问题求解参数取值范围，属于中档题
20.已知函数.
（1）当时，求该函数的最大值；
（2）是否存在实数，使得该函数在闭区间上的最大值为
？若存在，求出对应的值；若不存在，试说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，且.
【解析】
【分析】
（1）将代入函数的解析式，得出，由结合二次函数的基本性质可得出该函数的最大值；（2）换元，将问题转化为二次函数在区间上的最大值为，然后分、和三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数在区间
上最大值，进而求得实数的值.
【详解】（1）当时，，
，当时，该函数取得最大值，即；（2），
当时，设，设，，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.
当时，函数在上单调递减，所以时，
，不符合题意；
当时，函数在上单调递增，所以时，
，满足；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，不满足.
综上，存在符合题意.
【点睛】本题考查二次型余弦函数的最值，将问题转化为二次函数的最值来求解是解题的关键，第二问要对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
21.已知函数相邻两对称轴间的距离为，若将的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数为奇函数.
（1）求的解析式，并求的对称中心；
（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）；对称中心为：，（2）或
【解析】
【分析】
（1）由周期求得，由函数的图象变换规律可得
，再根据的为奇函数求得和的值，可得和的解析式以及的对称中心．
（2）由（1）可得，由题意可得可得关于的方程在区间上有唯一解．再利用二次函数的性质求得
的范围．
【详解】解：（1）由条件得：，
即，
则，
又为奇函数，
则，，
，，
令，，解得，，
故函数的对称中心为：，
（2），又有（1）知，则，的函数值从递增到，又从递减回.
令，则
由原命题得：在上仅有一个实根.令，
则需或，
解得：或.
【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
22.函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数的图像．
（1）当时，若方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值；
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值
【答案】（1）时，；时，
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据给出的图像求出解析式，再根据平移得到解析式由的范围求出的单调区间和值域，结合图像，分析出
的范围及的值.
（2）令，得到，是关于的二次函数，利用二次函数的保号性，得到答案.
【详解】（1）根据图像可知
，
代入得，，，
把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
且，
，
方程恰好有两个不同的根，
的取值范围
令
对称轴为，
或
时，；时，.
（2）由（1）可知
对任意都有恒成立
令
，是关于的二次函数，开口向上
则恒成立
而的最大值，在或时取到最大值
则，解得
所以，则的最大值为.
【点睛】本题考查利用函数图像求函数的解析式，正弦型函数图像的平移变换、图像与性质、对称轴、值域，二次函数保号性等，题目涉及知识点多，比较综合，属于难题.
学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试
题（含解析）
一、单选题
1.（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
改写，根据诱导公式化简求值.
【详解】.
故选：A
【点睛】此题考查求特殊角的三角函数值，结合诱导公式化简变形，需要熟记常见特殊角的三角函数值，可以快速得解.
2.已知扇形面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设扇形的半径为，弧长为，则由扇形面积公式可得：，解得，所以扇形的周长为，故选C.
考点：扇形的弧长公式和面积公式.
3.已知，则（）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
联立,求出,再根据,确定的正负,得出具体结果,从而求出.
【详解】或,
,,
,
,
故选:B.
【点睛】本题考查了同角三角函数之间的关系,需要学生熟练掌握函数关系式,属于简单题.
4.在锐角三角形ABC中，和的大小关系是（）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据为锐角三角形，可推出，从而正弦函数的单调性，即可得解.
【详解】在锐角三角形,，所以，所以.故选C.
【点睛】此题考查了正弦定理，诱导公式，以及三角函数的单调性，根据题意得出
是解题的关键．
5.函数的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据条件，再利用二次函数的性质求得函数的最值，可得函数的值域．
【详解】，，
当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最大值为，
所以函数的值域为，故选C
【点睛】本题考查函数的值域，解题的关键是通过三角恒等式将函数变形为
，属于一般题．
6.如图，若，，，是线段靠近点的一个四等分点，则下列等式成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可选定为基底向量，将表示成两基底向量相加减的形式，即可求解
【详解】，即，同乘可得
故选：C
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，利用基底向量表示任意向量，属于基础题
7.函数的大致图象为（）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数为奇函数和的符号，利用排除法，即可得答案.
【详解】∵关于原点对称，且，
∴，
∴函数是奇函数，排除A，C；
，排除B.
故选：D.
【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意从图形中提取信息.
8.设函数，其中，已知在上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设，则，从而将问题转化为在上有4个零点，从而得到，再利用不等式恒成立问题求得的范围，即可得答案.
【详解】设，则，
所以在上有4个零点，
因为，所以，
所以，
所以，即，满足的只有A.
故选：A
【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.
9.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且
，则的单调递增区间是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由三角函数的最值得或，再由得
，进而可得单调增区间.
【详解】因为对任意恒成立，所以，
则或，
当时，，则（舍去），
当时，，则，符合题意，
即，
令，解得，即的单调递增区间是
；故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.
10.在中，，，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出图形，将作为基底向量，将向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解
【详解】
如图，由题可知，点为的中点，点为上靠近的三等分点，
，
故选：D
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题
11.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点（）
A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
【答案】B
【解析】
【详解】，即，所以要得到函数
的图像，先将横坐标伸长到原来的，变为；再向右平移个单位即可得到，应选答案B．
12.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数
在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据图象的变换得出，根据函数的单调性确定时，，的最大负零点在区间上只需由解得
,求的交集即可.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度,
可得，
在区间上单调递增，的最大负零点在区间上，
，
即，①
令，得，
又的最大负零点在区间上，
所以只需,
解得②
由①②及已知条件可知，
故选：B
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象变换，单调性，零点，属于中档题.二、填空题
13.已知，则______
【答案】
【解析】
【分析】
将化简得，再结合诱导公式将表达式化简求值即可
【详解】，又
，由，故
故答案为：
【点睛】本题考查利用三角函数的诱导公式化简求值，属于基础题
14.设和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值等于_________.
【答案】-6
【解析】
【分析】
由三点共线可知，，又，联立即可求解
【详解】由三点共线可得，，
故答案为：-6
【点睛】本题考查向量的加法与减法公式运用，由两向量平行求参数，属于基础题
15.已知，函数在区间上恰有9个零点，则的取值范围是
________.
【答案】
【解析】
【分析】
由奇偶性可得在上恰有4个零点,则,进而求得的范围即可
【详解】在区间上恰有9个零点,等价于在上恰有4个零点,
设的周期为T,则,即,
所以,则,
故的取值范围为,
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数周期性的应用,考查求的范围
16.设函数，，若关于的方程恰好有三个根
，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，得到，如图所示，根据对称性得到，，代入计算得到答案.
详解】，则，如图所示：则，
即；
故答案：
【点睛】本题考查了函数零点问题，三角形函数对称性，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题（17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17.已知且满足.
（1）求的值；
（2）的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出，再分子、分母同时除以，即可得解；
（2）将除以，再结合即可得解.
【详解】解：（1）因为，所以或，
又，所以，
即，
则；
（2）.【点睛】本题考查了构造齐次式求值问题，重点考查了运算能力，属中档题.
18.已知函数（，）的图象与轴相切，且图象上相邻
两个最高点之间的距离为.
（1）求，的值；
（2）求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）（2），
【解析】
【分析】
（1）由相邻两最高点确定为一个周期，即可求出，由，图像与轴相切可知，函数最小值为0，即可求出；
（2）由（1）知，函数表达式为，由整体代入法求最值即可；
【详解】（1）由题可知，又，图像与轴相切，
故；
（2）函数表达式为，，
故，，
【点睛】本题考查由函数的周期求参数，整体代入法求解函数最值，属于中档题
19.已知函数（，）的图象的两相邻对称轴之间的距离，
若将的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数.
（1）求的解析式并写出单增区间；
（2）当，恒成立，求取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】
（1）由两相邻对称轴之间的距离求出，，函数平移之后的表达
式为：，由函数为奇函数可知，，结合即可求解原函数表达式，再采用整体代入法求解增区间；
（2）要使，恒成立，可等价转化为对恒成立，求出，即可求解
【详解】（1）由题可知，
函数平移之后的表达式为：，平移后函数为奇函数可得：
，，，当时，，
则，
令；
∴的单调递增区间为：
（2）当，恒成立可等价转化为对恒成立，时，，，，
，所以
【点睛】本题考查由平移前后表达式的性质求解函数解析式，由在某区间恒成立问题求解参数取值范围，属于中档题
20.已知函数.
（1）当时，求该函数的最大值；
（2）是否存在实数，使得该函数在闭区间上的最大值为？若存在，求出对应的值；若不存在，试说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，且.
【解析】
【分析】
（1）将代入函数的解析式，得出，由结合二次函数的基本性质可得出该函数的最大值；
（2）换元，将问题转化为二次函数在区间上的最大值为，然后分、和三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数
在区间上最大值，进而求得实数的值.
【详解】（1）当时，，
，当时，该函数取得最大值，即；
（2），
当时，设，设，，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.
当时，函数在上单调递减，所以时，，
不符合题意；
当时，函数在上单调递增，所以时，，满足；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，不满足.
综上，存在符合题意.
【点睛】本题考查二次型余弦函数的最值，将问题转化为二次函数的最值来求解是解题的关键，第二问要对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
21.已知函数相邻两对称轴间的距离为，若将
的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数为奇函数.
（1）求的解析式，并求的对称中心；
（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）；对称中心为：，（2）或
【解析】
【分析】
（1）由周期求得，由函数的图象变换规律可得，再根据的为奇函数求得和的值，可得和的解析式以及的对称中心．（2）由（1）可得，由题意可得可得关于的方程在区间上有唯一解．再利用二次函数的性质求得的范围．
【详解】解：（1）由条件得：，
即，
则，
又为奇函数，
则，，
，，
令，，解得，，
故函数的对称中心为：，
（2），又有（1）知，则，
的函数值从递增到，又从递减回.
令，则
由原命题得：在上仅有一个实根.
令，
则需或，
解得：或.
【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
22.函数（其中）的部分图象如图所示，把函数
的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数的图像．
（1）当时，若方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值；
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值
【答案】（1）时，；时，
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据给出的图像求出解析式，再根据平移得到解析式由的范围求出的单调区间和值域，结合图像，分析出的范围及的值.
（2）令，得到，是关于的二次函数，利用二次函数的保号性，得到答案.
【详解】（1）根据图像可知
，
代入得，，，
把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
且，
，
方程恰好有两个不同的根，
的取值范围
令
对称轴为，
或
时，；时，.
（2）由（1）可知
对任意都有恒成立
令
，是关于的二次函数，开口向上
则恒成立
而的最大值，在或时取到最大值
则，解得
所以，则的最大值为.
【点睛】本题考查利用函数图像求函数的解析式，正弦型函数图像的平移变换、图像与性质、对称轴、值域，二次函数保号性等，题目涉及知识点多，比较综合，属于难题.。