云南省弥勒市第一中学2019-2020学年高二下学期第四次月考数学(理)试题(解析版)

弥勒一中高二年级下学期理数月考4选择题1. 已知集合{}4A yy x ==≤≤∣，B ={x |0<x <3}，则()R A B =（ ）A. [0，2]B. [-2，2)C. (-2，3)D. (2，3) 【答案】D 【解析】 【分析】先利用根式函数值域的求法化简集合A ，再利用集合的补集和交集运算求解.【详解】∵{}{}402A yy x y y ==≤≤=≤≤∣∣，∴{0}{2}RA y y y y =<⋃>∣∣，又{03}B xx =<<∣， ()()23R A B ∴⋂=，，故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及函数值域的求法，属于基础题. 2. 已知复数z 满足2(1i)(3i)z +=+，则||z =（ ）C. D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的乘除法求出复数z 的代数形式，然后再求出||z 即可． 【详解】∵2(1)(3)z i i +=+，∴2(3)86(86)(1)(43)(1)711(1)(1)i i i i z i i i i i i i +++-====+-=-+++-，∴||z === 故选C ．【点睛】本题考查复数的运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数的代数形式，属于基础题． 3. 已知随机变量8ξη+=，若(10,0.4)B ξ，则()E η，()D η分别是( )A. 4和2.4B. 2和2.4C. 6和2.4D. 4和5.6【答案】A 【解析】100.4100.44100.40.6 2.4B E D ξξξ∴=⨯==⨯⨯=～（，），，， 8848 2.4E E D D ηξηξηξ=-∴=-==-=，（），（）故选A ．4. 华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测. A. 3 B. 4C. 6D. 7【答案】B 【解析】 【分析】类比二分法，将16人均分为两组，选择其中一组进行检测，再把认定的这组的8人均分两组，选择其中一组进行检测，以此类推，即可得解.【详解】先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测.所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测. 故选：B.【点睛】本题考查的是二分法的实际应用，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.5. 已知双曲线22215x y a -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.B. 3C. 5D. 【答案】A 【解析】抛物线焦点为()3,0,故2253,2a a +==,双曲线焦点到渐近线的距离等于b ,所以选A .6. 设向量a ，b 满足25a b +=，23a b -=，则⋅=a b （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】将25a b +=，23a b -=分别平方，再相减，进而可得答案. 【详解】由25a b +=得224425a a b b +⋅+=， 由23a b -=得22449a a b b -⋅+=， 两式相减得816a b ⋅=，所以2a b .故选：B【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则，考查了转化思想与计算能力，属于基础题. 7.ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．设向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--．若//p q ，则C 等于（）．A.6π B.3π C.2π D.23π 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到()()()0a c c a b b a +---=，化简整理，根据余弦定理，即可得出结果. 【详解】因为向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--，//p q ， 所以()()()0a c c a b b a +---=， 整理得：222b a c ab +-=所以2221cos 222+-===b a c ab C ab ab解得3C π=.故选B【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理与向量共线的坐标表示，即可得出结果.8. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）A. 6B. 21C. 27D. 54【答案】C 【解析】 【分析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可. 【详解】结合三视图,还原直观图为已知3,4,3AB BC CD ===,则该四面体1111272222S AB BC AC CD AB BD BC CD =⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等. 9. 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值等于（ ） A.1318B. 322C. 1322D.318【答案】B 【解析】 【分析】由题可分析得到()tan +tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,由差角公式,将值代入求解即可 【详解】由题,()()()21tan tan 3454tan +tan 21442211tan tan 544παββππααββπαββ⎛⎫+---⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+--=== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯++- ⎪⎝⎭,故选：B【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题10. 已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是 ( ) A. －1≤m ≤1 B. －1<m ≤1C. －1<m <1D. －1≤m <1【答案】D 【解析】因为f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x)<0⇒－2<x<2，所以函数f(x)＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f(x)在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以221212m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩从中解得－1≤m<1，选D. 点睛：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.11. 设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为（ ）C.6332D.94【答案】D 【解析】由题意可知：直线AB的方程为3)4y x =-，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y，则所求三角形的面积为1324⨯94，故选D.考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.12. 已知8log 5a =，4log 3b =，23c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. b a c >> C. b c a >> D. c b a >>【答案】B 【解析】【分析】通过对数的运算性质化简再利用对数函数的单调性即可得出大小关系． 【详解】解：∵3382221log 5log 5log 5log 53a ====， 242221log 3log 3log 3log 32b ====，2322log 23c ==，又∵()()32332332245525327⎛⎫==<==<= ⎪⎝⎭且对数函数2log y x =在()0,∞+单调递增，∴c a b <<，故选B ．【点睛】本题考查对数的运算性质及单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．填空题13. 已知变量,x y 满足约束条件21{110x y x y y +≥-≤-≤，则2z x y =-的最大值为__________．【答案】1 【解析】试题分析：画出平面区域及目标函数线12y x =如图所示：平移目标函数线12y x =使之经过可行域，当目标函数线经过点1,0A 时，z 取得最大值为max 1201z =-⨯=.考点：线性规划.14. 若6521101211(1)(12)x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则1211a a a ++⋅⋅⋅+=________.【答案】65- 【解析】 【分析】在所给的等式中，令0x =，可得01a =．再令1x =，可得0121164a a a a +++⋯+=-，从而求得1211a a a ++⋯+的值．【详解】解：在6521101211(1)(12)x x a a x a x a x +-=+++⋯+中，令0x =，可得01a =． 令1x =，可得0121164a a a a +++⋯+=-，121165a a a ∴++⋯+=-， 故答案为：65-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．15. 三棱锥A BCD -中，AB CD ==，2==AC BD ，AD BC ==积为_______________. 【答案】6π 【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为=，表面积为246r ππ= 16. 关于下列命题：①若,αβ是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>； ②函数sin()2y x ππ=-是偶函数；③函数sin(2)3y x π=-的一个对称中心是(,0)6π；④函数5sin(2)3y x π=-+在,]1212π5π[-上是增函数，所有正确命题的序号是_____． 【答案】②③ 【解析】 【分析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．【详解】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；对于②，函数y=sin ππ2x ⎛⎫-⎪⎝⎭=-cos πx ，f (-x )=-cos(-πx )=f (x )，则为偶函数，所以②正确； 对于③，令2x-π3=k π，解得x=ππ26k +(k ∈Z)，所以函数y=sin π2-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的对称中心为ππ026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，当k=0时，可得对称中心为π06⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以③正确； 对于④，函数ππ5sin 25sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,322x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数π5sin 23y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以④不正确． 综上，命题②③正确．【点睛】本题综合考查三角函数的有关内容，考查综合运用和解决问题的能力，解题时可根据题中的要求分别进行求解，但由于涉及的内容较多，所以解题时要注意结果的正确性．解答题17. 若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+.(1)求证：数列{}1n a -是等比数列； (2)设()2log 1n n b a =-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）详见解析（2）1n n T n =+ 【解析】 试题分析：(1)由已知数列递推式求得首项，且当1n >时，有()1121n n S a n --=+-，结合原式作差得到121n n a a -=-，即1121n n a a --=- ，从而证得{}1n a -为等比数列． (2)求出n b ，再通过裂项相消法求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ． 试题解析：证明：当1n =时，11121a S a ==+，计算得出11a =，当1n >时，根据题意得，()1121n n S a n --=+-，所以()()111221221n n n n n n S S a n a n a a ----=+-+-=-+⎡⎤⎣⎦ ，即121n n a a -=-()1121n n a a -∴-=- ，即1121n n a a --=-∴ 数列{}1n a -是首项为-2，公比为2的等比数列由（1）知，()11222n n n a --=-⋅=-12n n a ∴=-()22log 1log 2nn n b a n ∴=-==()1111111n n b b n n n n +∴==-++，1 则1111111...1311122⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎭⎭+⎝⎝n n n n n n T 18. 为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名青少年进行调查，得到如下列联表：已知从这30名青少年中随机抽取1名，抽到肥胖青少年的概率为415. （1）请将列联表补充完整；（2）是否有99.88的把据认为青少年的肥胖与常需碳酸饮料有关？ 独立性检验临界值表：2.072参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n =a +b +c +d【答案】（1）填表见解析；（2）有. 【解析】 【分析】（1）设常喝碳酸饮料且肥胖的青少年人数为x ,结合表中数据和从这30名青少年中随机抽取1名，抽到肥胖青少年的概率为415由243015x +=，解得x ，完成列联表. （2）由（1）的数据，利用公式求得2K 的值，再与临界值表对照下结论. 【详解】（1）设常喝碳酸饮料且肥胖的青少年人数为x ，则243015x +=，解得6x = 列联表如下：（2）由（1）中列联表中的数据可求得随机变量2k 的观测值：230(61824)8.5237.8791020822k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯因此有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关. 【点睛】本题主要考查独立性检验，属于基础题.19. 已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，//AB CD ，∠DAB =90°，PD ⊥底面ABCD ，且PD =DA =CD =2AB =2，M 为PC 的中点，过A ，B ，M 三点的平面与PD 交于点N .（1）求多面体MN -ABCD 的体积； （2）求二面角D -BM -C 的余弦值. 【答案】（1）43；（2）19-. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理得到1//,2MN CD MN DC =，通过割补法求得多面体MN ABCD -的体积. （2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法计算出二面角D BM C --的余弦值.【详解】（1）由于//AB CD ，AB ⊂/平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD . 依题意过,,A B M 三点的平面与PD 交于点N ， 根据线面平行的性质定理可知//AB MN ，则//MN CD ，由于M 是PC 的中点，所以N 是PD 的中点，所以MN 平行且等于12CD ， 由于PD ⊥底面ABCD ，所以,PD CD PD DA ⊥⊥， 所以MN ⊥PD ，四边形DCMN 是一个直角梯形， 由于,AD CD CD PD D ⊥⋂=，所以AD ⊥平面PCD . 连接BN ，从而1133MN ABCD B CDNM N ABD CDNM ABDV V V S AD S ND ---=+=⋅⋅+⋅⋅()()11114121212132323⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦. （2）如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 则D (0，0，0)，B (2，1，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)，M (0，1，1)()()()2,1,02,0,12,1,0DB BM BC ==-=-，，，设平面DBM 的法向量为()1111,,n x y z =， 则1111112020n DB x y n BM x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =则可以求得面DBM 的一个法向量()11,2,2n =-；设平面CBM 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222222020n BC x y n BM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =则可以求得面CBM 的一个法向量()21,2,2n =， 所以1212121441cos 339n n n n n n ⋅-+===⋅⨯，，又因为二面角D -BM -C 为钝角，所以其余弦值为19-.【点睛】本小题主要考查几何体体积的求法，考查二面角的求法.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F ，，,A B 是其左右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且12PF F ∆的周长为6，若12PF F ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点2F 且斜率不为0直线交椭圆C 于,M N 两个不同点，证明：直线AM 于BN 的交点在一条定直线上.【答案】(1) 22143x y += (2)见解析【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义，可求出12PF F ∆周长的表达式，当P 点是椭圆的上（或下）顶点时，12PF F 面积有，列出等式，结合222a b c =+，求出椭圆方程；（2）设出直线MN 的方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出直线AM 与BN 的交点的坐标，结合一元二次方程根与系数关系，得出结论．【详解】解：（1）由题意得222226,122,a c bc a b c +=⎧⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩1,2,c b a =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由（1）得()2,0A -，()2,0B ，()21,0F ，设直线MN 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221143x mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2243690m y my ++-=，122643m y y m ∴+=-+，122943y y m =-+，()121232my y y y ∴=+， 直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为()2222yy x x =--， ()()12122222y yx x x x ∴+=-+-，()()2112212121232322y x my y y x x y x my y y +++∴===---， 4x ∴=，∴直线AM 与BN 的交点在直线4x =上.【点睛】本题考查了椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、定直线问题．21. 已知函数()cos xf x e x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（1）1y =；（2）最大值为1，最小值为2π-. 【解析】 【分析】（1）根据曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程的斜率为(0)f '即可求解；（2）讨论()'f x 的正负来判断()f x 的单调性，进而得到最值.【详解】（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（2）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x xh x x x x x x '=---=-， 当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减，所以对任意π[0,]2x ∈有()(0)0h x h ≤=，即()0f x '≤，所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减，因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为()22f ππ=-.【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用,利用单调性求最值.22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P 坐标为(，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求PA PB +的值.【答案】（1）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为(225x y +-=；（2）【分析】（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程，在圆C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，由222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩可将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，列出韦达定理，利用直线参数方程的几何意义可求得PA PB +的值.【详解】（1）在直线l 的参数方程中消去参数t ，可得直线l 的普通方程为30x y +-=，在圆C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，可得2sin ρθ=，由222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩可得圆C 的直角坐标方程为22x y +=，即(225x y +=；（2）设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得223522⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=，1841420∆=-⨯⨯=>，由韦达定理得12t t +=，124t t =，又直线l 过点(P ，所以1212PA PB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义求值，考查计算能力，属于中等题. 23. 已知函数f (x )=2|x +1|+|x -2|. （1）求f (x )的最小值m ；（2）若a ，b ，c 均为正实数，且满足a +b +c =m ，求证：2223b c a a b c++≥.【答案】（1）3；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】（1）分段讨论去绝对值可得到值域，从而得到最小值；（2）配凑成()222222b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭形式，再利用均值不等式求最值【详解】（1）当x <-1时，()()()()21233f x x x x ∞=-+--=-∈+，； 当–1≤x <2时，()()()[)212436f x x x x =+--=+∈，； 当x ≥2时，()()()[]21236f x x x x ∞=++-=∈+，； 综上，f (x )的最小值m =3；（2）由（1）知m =3，因为a ，b ，c 均为正实数，且满足a +b +c =3，()222222b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22a b c ≥=++，当且仅当a =b =c =1时，等号成立，所以222b c a a b c a b c ++≥++即2223b c a a b c++≥.【点睛】本题考查了分段函数的定义域、值域及求最小值的问题，考查了利用基本不等式求最值的问题，注意等号成立的条件.。