苏教版高中数学必修4第一学期期中考试高二数学试卷.doc

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
第一学期期中考试高二数学试卷
一、填空题(每小题5分，共70分)
1. 三条直线两两平行，则过其中任意两条直线可确定 ▲ 个平面．
2. 方程02
2
=++-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围是 ▲ ．
3. 已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是30°的直线有且仅有 ▲ 条．
4. 已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：
①//,αα⊥⇒⊥m n m n ②//,,//αβαβ⊂⊂⇒m n m n
③//,////αα⇒m n m n ④//,//,αβαβ⊥⇒⊥m n m n 其中真命题的序号是 ▲ ． 5. 空间直角坐标系中，点)6,5,2(A ，点P 在y 轴上，7=PA ，则点P 的坐标为 ▲ ． 6. 已知圆1C ：22660x y x +--=，圆2C ：22460x y y +--=则两圆的位置关系为 ▲ ． 7. 如右图所示，梯形1111A B C D 是一平面图形ABCD 的直观图. 若111//A D O y ，1111//A B C D ，
11112
23A B C D ==，111'1A D O D ==.则原图形的面积为 ▲ ．
8. 在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，E 、F 分别是BC 、DC 的中点，则1AD EF 与所成的角的大小为 ▲ ．
9. 与圆01422
2
=++-+y x y x 有相同的圆心，且与直线210x y -+=相切的圆的方程是 ▲ ． 10. 过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，则实数m 的值为 ▲ ． 11. 设圆0542
2
=--+x y x 的弦AB 的中点为)1,3(P ，则直线AB 的方程是 ▲ ．
12. 一条直线被两直线1l ：460x y ++=，2l ：3560x y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，该直
线方程为 ▲ ．
13.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点轨迹方程为 ▲ ．
14. 一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P 处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d =f (P ), 那么d 的最大值是 ▲ ． 二、解答题(共90分) 15. (本小题满分14分)
已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）C 1O ∥面11AB D ；（7分）（2 ）1
AC ⊥面11AB D ．（7分） 16. （本题满分14分）
在学校的东南方有一块如图所示的地，其中两面是不能动的围墙，在边界
OAB 内是不能动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一
矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？
17. （本题满分15分）
如图,四棱锥P-ABCD 是底面边长为1的正方形，PD ⊥BC , PD =1,PC =2. (Ⅰ)求证:PD ⊥面ABCD ；（7分） (Ⅱ)求二面角A －PB －D 的大小. （8分） 18. （本题满分15分）
已知圆()2
2
:19C x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交
圆C 于A 、B 两点.
(1) 当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（5分） (2) 当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；（5分） (3) 当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长. （5分） 19. （本题满分16分）
已知圆C ：1)2(2
2
=-+y x
(1)求与圆C 相切且在坐标轴上截距相等的直线方程；（8分）
D 1O
D
B
A
C 1
B 1
A 1
C
x
y o
39 25
5
19
G B
A
P
A
B
C
D
(2)和圆C 外切且和直线1 y 相切的动圆圆心轨迹方程．（8分） 20. （本题满分16分）
已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3=0
（1）若C 的切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；（8分）
（2）从圆C 外一点P （x 1,y 1)向圆引一条切线，切点为M ，O 为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P 点的坐标．（8分）
南通市通州区
2011-2012学年度第一学期期中考试高二数学答卷
2011年11月3日
题号 一 二
总分
1—14 15 16 17 18 19 20 分数
一、填空题（每小题5分，满分70分） 1． 2．
3． 4． 5． 6． 7．
8． 9． 10．
11． 12． 13．
14．
二、解答题
得分 评卷人
15．（本小题满分14分）
得分 评卷人
D 1D
C 1
B 1
A 1
C
得分 评卷人
16．（本小题满分14分）
x
y o
39
25
5 19
G
B
A
P
A B C
D
得分评卷人
18．（本小题满分15分）
得分评卷人
19．（本小题满分16分）
得分评卷人
20．（本小题满分16分）
南通市通州区
2011-2012学年度第一学期期中考试高二数学试卷
参考答案
一、填空题
1．1或3 2. 1
2
m <
3. 2.
4. ①④
5. )0,2,0(或)0,8,0(
6. 相交.
7. 5
8. 60°
9. 125x x -++=22
（）（） 10. 2m =-． 11. 40x y +-= 12. 60x y +=
13.2233
()()122
x y -+-= 14. 252+
二、解答题
15．(本小题满分14分)
（1）证明：连结11A C ，设11
111AC B D O =，连结1AO ，
1111ABCD A B C D -是正方体 ， 11A ACC ∴是平行四边形，
11A C AC ∴且11A C AC =， 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点， 11O C AO ∴且11O C AO =， 11AOC O ∴是平行四边形， 111,C O AO AO ∴⊂面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ， ∴1C O 面11AB D 。

（7分）
111111111, ,, , , , , ,
:, , B C B B B B B B B C B C C B D ∴⊥⊥⊂∴⊥⊂∴⊥⊂∴⊥⊥⊂∴11111111111111111111(2)证明:连结A A 在正方形ABCD-A B C D 中, A A 又BC 平面ABB A A 平面ABB A BC A 又A BC 平面A BC,A BC=B,
A 平面A BC, 又
A 平面A BC,
A A 同理可证AD A 又AD ,A 平面A
B 1.7
C
D ⊥11A 平面AB （分）
16. (本小题满分14分) 解：如图建立坐标系，
可知AB 所在直线方程为
12020
x y +=，即x ＋y ＝20. （4分） 设G (x ，y )，由y ＝20－x 可知G (x ，20－x )．
∴ [395(20)][25(5)](14)(20)S x x x x =----+=+- =2262014(3)289x x x -++⨯=--+.（10分） 由此可知，当x ＝3时，S 有最大值289平方米．
故在线段AB 上取点G (3，17)，过点分别作墙的平行线，在离墙5米处确定矩形的另两个顶点H 、I ，则第四个顶点K 随之确定，如此矩形地面的面积最大．（14分） 17. (本小题满分15分) (Ⅰ)证明:
1,2PD DC PC ===,
,PDC PD CD ∴∆⊥是直角三角形即.……2分
又
,PD BC BC CD C ⊥=,
∴ PD ⊥面ABCD ………7分
(Ⅱ)解:连结BD ,设BD 交AC 于点O , 过O 作OE ⊥PB 于点E ,连结AE , ∵PD ⊥面ABCD , ∴AO PD ⊥,
又∵AO ⊥BD , ∴AO ⊥面PDB.
∴AO ⊥PB ,
又∵,OE PB OE AO O ⊥=,
∴PB AEO ⊥平面,从而PB EO ⊥,
故AEO ∠就是二面角A －PB －D 的平面角.……………………10分
∵ PD ⊥面ABCD , ∴PD ⊥BD ,
∴在Rt △PDB 中, 22123PB PD BD =
+=+=, 又∵OE OB PD PB
=, ∴66OE =,………………………………………12分 2
2tan 3,6
6
AD AEO OE ∴∠=== ∴ 60AEO ∠=. 故二面角A －PB －D 的大小为60°. …………………15分
18．(本小题满分15分)
(1)已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为20221
l k -==-， （2分）
直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-2=0. （5分）
(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC, 所以1l pc k k =-，（2分） 又20221pc k -==-,所以12
l k =-， （3分） 故直线l 的方程为12(2)2y x -=--, 即 x+2y-6=0. （5分）
(3)当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0, （2分） 圆心C 到直线l 的距离为()2211100
22
11d ⨯+-⨯+==+，（3分） 圆的半径为3，所以弦AB 的长22223342AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
.（5分） 19. (本小题满分16分) (1) 当直线不过原点时，设所求方程为1x y a a +=，即：
0x y a +-=
由点到直线距离公式得：|2|12a -=，解得：22a =±（3分）
(2) 当直线过原点时，设方程为：
0kx y -=， 由点到直线距离公式得：2|2|
11k -=+，解得：3k =±（3分） 故所求方程为：220x y ++±=或3y x =±（8分）
(2)设动圆圆心为P(x ，y)，由已知条件得：
22(2)1|1|x y y +--=-（3分） 当10y ->时，化简整理得：
244x y += (0x ≠)（5分） 当10y -<时，方程为0(1)x y =< （8分）
20.（本题满分16分） （1）当直线过原点时，设方程为：
0kx y -=， 由点到直线距离公式得：2|2|
21k k --=+，解得：26k =±（3分） 切线的方程为：(26)y x =± ----------------------3分
(2)当直线不过原点时，∵切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，
∴切线的斜率是±1．
分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为： x ＋y －3=0, ----------------------5分 x ＋y ＋1=0, ----------------------6分 x －y ＋5=0, ----------------------7分 x －y ＋1=0． ----------------------8分
(2)将圆的方程化成标准式（x ＋1)2＋(y －2)2=2，圆心C （－1，2），半径r= 2 ，
∵切线PM 与CM 垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2，
又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x 1－4y 1＋3=0． ----------------------10分 |PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P 点到直线2x 1－4y 1＋3=0的距离，即3510
． 从而解方程组2211119202430
x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，-----13分 得满足条件的点P 坐标为（－310 ，35 ）
．----------16分。