数学_2011年浙江省杭州市萧山区高考数学模拟试卷05(文科)(含答案)

2011年浙江省杭州市萧山区高考数学模拟试卷05（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 已知集合M ={y|y =x 2}，N ={(x, y)|y =x 2}，则集合M ∩N 中元素的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 无数个
2. 已知复数z 1=3−bi ，z 2=1−2i ，若z
1z 2
是实数，则实数b 的值为( )
A 6
B −6
C 0
D 1
6
3. 对于直线l 和平面α，β，下列命题中，真命题是（ ）
A 若α // β且l // β，则l // α
B 若l ⊂β且α⊥β，则l ⊥α
C 若l ⊥β且α⊥β，则l // α
D 若l ⊥β且α // β，则l ⊥α
4. 已知a 、b 都是非零实数，则等式|a +b|=|a|+|b|的成立的充要条件是（ ） A a ≥b B a ≤b C ab >0 D ab <0
5. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3a 10+a 6a 7=8，则log 2a 1+log 2a 2+...+log 2a 12=( )
A 2
B 18
C 12
D −8
6. 如图框图表示的程序所输出的结果是（ ）
A 3
B 12
C 60
D 360
7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A(−4, 0)和C(4, 0)，顶点B 在椭圆x 2
25+y 29
=1
上，则
sinA+sinC sinB =( )
A 34
B 23
C 45
D 54
8. 给出函数f(x)={
(1
2)x ，x ≥4
f(x +1),x <4
则f(log 23)等于（ ）
A −23
8 B 1
11 C 1
19 D 1
24
9. 已知函数f(x)=asinx −bcosx(a,b 为常数，a ≠0，x ∈R)在x =π
4处取得最小值，则函数y =f(3π
4−x)是( )
A 偶函数且它的图象关于点(π, 0)对称
B 偶函数且它的图象关于点(3π
2，0)对
称 C 奇函数且它的图象关于点(
3π2
，0)对称 D 奇函数且它的图象关于点(π, 0)对称
10. 函数f(x)的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)≤f(x 2)，则称函数f(x)在D 上为非减函数．设函数f(x)在[0, 1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)=0； ②f(x
3)=1
2f(x)；③f(1−x)=1−f(x)，则f(1
2010)等于（ ） A
1128
B
1
256
C
1
512
D 1
64
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11. 某工厂有A ，B ，C 三种不同型号的产品，三种产品的数量比为3:4:7，现用分层抽方法，从中抽出一个容量为n 的样本进行检验，该样本中A 型号产品有9件，则n =________． 12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A =π
3，a =√3，b =1，则角
C =________．
13. 若实数x ，y 满足不等式组{−x +y −2≤0
x +y −4≤0x −3y +3≤0
则x 2+y 2的最大值是________．
14. 如图，△ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形，且AD =DC =2，AC =
BC ，平面DAC ⊥平面ABC ，如果以ABC 平面为水平平面，正视图的观察方向与AB 垂直，则三棱锥D −ABC 左视图的面积为________．
15. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，a m−1+a m+1−a m 2
=0，S 2m−1=78，则m =________．
16. 关于x 的方程x 2+2ax +b 2=0中的a 是从0，1，2，3四个数中任取一个数，b 是从0，1，2三个数中任取一个数，记事件“方程x 2+2ax +b 2=0有实根”为事件A ，则p(A)=________．
17. 已知函数f(x)={log 2|x −4|(x ≠4)
4(x =4)，若方程af 2(x)+bf(x)+c =0有4个根，则
log 2(x 1+x 2+x 3+x 4)=________．
三、解答题（共5小题，满分72分）
18. 已知向量m →
=(sin2x,cosx)，n →
=(√3,2cosx)(x ∈R)，f(x)=m →
⋅n →
−1， (1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，f(A)=2,a =√3，B =π
4，求b 的值．
19. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC =60∘，
点M 是棱PC 的中点，N 是棱PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，AC 、BD 交于点O ． （1）求证：平面OMN // 平面PAD ；
（2）若DM 与平面PAC 所成角的正切值为2，求PA 长．
20. 设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n =2−2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5=14，a 7=20．
（1）求数列{b n }的通项公式；
（2）若c n =a n ⋅b n ，n =1，2，3，…，T n 为数列{c n }的前n 项和．求证：T n <7
2．
21. 已知函数f(x)=x 2+lnx −ax ．
（1）若f(x)在(0, 1)上是增函数，求a 得取值范围；
（2）在（1）的结论下，设g(x)=e 2x +|e x −a|，x ∈[0, ln3]，求函数g(x)的最小值．
22. 如图，以椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a >b >0)的中心O 为圆心，分别以a 和
b 为半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点F(c, 0)(
c >b)作垂直于x 轴的直线交大圆于第一象限内的点A ．连接OA 交小圆于点B ．设直线BF 是小圆的切线． （1）求证c 2=ab ，并求直线BF 与y 轴的交点M 的坐标； （2）设直线BF 交椭圆于P 、Q 两点，求证OP →
⋅OQ →
=1
2
b 2．
2011年浙江省杭州市萧山区高考数学模拟试卷05（文科）答案
1. A
2. A
3. D
4. C
5. C
6. D
7. D
8. D
9. D 10. A 11. 42 12. π
2
13. 10 14. √2 15. 20 16. 3
4 17. 4
18. 解：(1)f(x)=m →
⋅n →
−1=√3sin2x +2cos 2x −1=√3sin2x +cos2x
=2sin(2x +π
6
)
由2kπ−
π2≤2x +π6≤2kπ+π2(k ∈Z)，得kπ−π3≤x ≤kπ+π
6
(k ∈Z) ∴ f(x)的单调递增区间为[kπ−π3
，kπ+π6
] k ∈Z
(2)在△ABC 中，∵ f(A)=2sin(2A +π
6)=2，∴ 2A +π
6=π
2，∴ A =π
6 由正弦定理得：b =
asinB sinA
=
√3×√2
2
1
2
=√6，∴ b =√6
19. 证明：（1）OM // PA ，MN // BC // AD ，
又∵ OM ∩MN =M ，PA ∩AD =A ，∴ 面OMN // 面PAD 解：
（2）PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥OD ，又∵ OM // PA∴ OM ⊥OD 又OD ⊥AC ，∴ OD ⊥面PAC∴ ∠DMO 即为DM 与平面PAC 所成的角． ∴
DO OM
=2，OM =1
2
DO =
√32
，∴ PA =2OM =√3(14分)
20. 解：（1）由b n =2−2S n ，令n =1，则b 1=2−2S 1，又S 1=b 1， 所以b 1=2
3
．b 2=2−2(b 1+b 2)，则b 2=2
9
．
当n ≥2时，由b n =2−2S n ，可得b n −b n−1=−2(S n −S n−1)=−2b n ．即b n
b n−1
=1
3．
所以{b n }是以b 1=2
3为首项，1
3为公比的等比数列，于是b n =2⋅1
3n ． （2）数列{a n }为等差数列，公差d =1
2(a 7−a 5)=3，可得a n =3n −1． 从而c n =a n ⋅b n =2(3n −1)⋅13n
∴ T n =2[2⋅1
3+5⋅
132
+8⋅
133
+⋯+(3n −1)⋅13n
]=72
−72
⋅
13n
−
n 3n−1
<7
2
．
21. 解：（1）f ′(x)=2x +1
x −a ， ∵ f(x)在(0, 1)上是增函数，
∴ 2x +1
x −a >0在(0, 1)上恒成立，即a <2x +1
x 恒成立． ∵ 2x +1
x ≥2√2（当且仅当x =
√2
2
时取等号），所以a <2√2．
当a =2√2时，易知f(x)在(0, 1)上也是增函数，所以a ≤2√2． （2）设t =e x ，则ℎ(t)=t 2+|t −a|， ∵ x ∈[0, ln3]，∴ t ∈[1, 3]．
当a ≤1时，ℎ(t)=t 2+t −a ，在区间[1, 3]上是增函数，所以ℎ(t)的最小值为ℎ(1)=2−a ．
当1<a ≤2√2时，ℎ(t)={t 2−t +a1≤t <a
t 2+t −aa ≤t ≤3
．
因为函数ℎ(t)在区间[a, 3]上是增函数，在区间[1, a]上也是增函数，所以ℎ(t)在[1, 3]上为增函数，
所以ℎ(t)的最小值为ℎ(1)=a ．
所以，当a ≤1时，g(x)的最小值为2−a ；当1<a ≤2√2时，g(x)的最小值为a ． 22. 解：（1）由题设条件知，Rt △OFA ∽Rt △OBF ， 故OF
OA =OB
OF ，即c
a =b
c ，因此c 2=ab ．①
在Rt △OFA 中，FA =√OA 2−OF 2=√a 2−c 2=b 于是，直线OA 的斜K OA =b
c ．设直线BF 的斜率为k ，k =−
1k OA
=−c
b
．
所以直线BF 的方程为：y =−c
b
(x −c)
直线BF 与y 轴的交点为M(0,c 2
b
)即(0,a)．
（2）由（1），得直线BF 得方程为y =kx +a ，k 2
=
c 2b
2=
ab b 2
=a
b ②
由已知，P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则它们的坐标满足方程{x 2
a 2
+y 2
b 2=1y =kx +a
③
由方程组③消y ，并整理得(b 2+a 2k 2)x 2+2a 3x 2+2a 3kx +a 4−a 2b 2=0，④ 由式①、②和④，x 1x 2=
a 4−a 2
b 2b 2+a 2k 2
+a 2(a 2−b 2)b 2+a 2
a b
=
a 2c 2
b 2+
a 3
b
=
a 3
b 2b 3+a 3
.x 1+x 2=
−2a 3k b 2+a 2k 2
y 1y 2=(kx 1+a)(kx 2+a)=k 2x 1x 2+ka(x 1+x 2)+a 2
=k 2
a 3
b 2b 3+a 3+ka −2a 3k b 2+a 2k 2+a 2
=a 4b a 3+b 3−2a 5a 3+b 3+a 2
=a 4
b −a 5+a 2b 3
a 3+b
3=
a 3
(ab −a 2)+a 2b 3a 3+b 3=
−b 2a 3+a 2b 3a 3+b 3 综上，得到OP →
⋅OQ →
=x 1x 2+y 1y 2=a 2b 3
a 3+
b 3， 又因a 2−ab +b 2=a 2−
c 2+b 2=2b 2，得
OP →
⋅OQ →
=a 2b 3a 3+b 3=a 2b 3(a +b)⋅2b 2=
ab 2
2(a +b)=ac 22(a +b)=a(a 2−b 2)2(a +b)=12
(a 2−ab)=12(a 2−c 2)=12
b 2。