九年级数学期末试卷试卷(word版含答案)

九年级数学期末试卷试卷（word 版含答案）
一、选择题
1．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ）
A ．43
B ．42
C ．6
D ．4
2．已知2x ＝3y （x ≠0，y ≠0），则下面结论成立的是（ ） A ．
23
x y = B ．
32=y x
C ．
23
x y = D ．
23=y x
3．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．这组数据的平均数是6 B ．这组数据的中位数是1 C ．这组数据的众数是6
D ．这组数据的方差是10.2
4．已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（―1，―3），则代数式mn +1有（ ） A ．最小值―3 B ．最小值3 C ．最大值―3 D ．最大值3 5．已知关于x 的一元二次方程 (x - a )(x - b ) -1
2
= 0 (a < b ) 的两个根为 x 1、x 2，(x 1< x 2)则实数 a 、b 、x 1、x 2的大小关系为（ ） A ．a < x 1< b <x 2
B ．a < x 1< x 2 < b
C ．x 1< a < x 2 < b
D ．x 1< a < b < x 2
6．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）
A ．7 : 12
B ．7 : 24
C ．13 : 36
D ．13 : 72
7．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．
23
32
π-
B ．
233
π
-C ．32
π-
D ．3π-8．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝
1
3
，那么sin A 的值是（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
1010
D ．
310
9．下列说法正确的是（ ） A ．所有等边三角形都相似 B ．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C ．所有直角三角形都相似
D ．所有矩形都相似
10．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是
A ．（6，0）
B ．（6，3）
C ．（6，5）
D ．（4，2）
11．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝130°，则∠AOB 的度数为（ ）
A ．50°
B ．80°
C ．100°
D ．110°
12．如图，AB 为
O 的直径，C 为O 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，
6AB =，5AD =,则AE 的长为（ ）
A ．2.5
B ．2.8
C ．3
D ．3.2
二、填空题
13．已知∠A ＝60°，则tan A ＝_____． 14．一元二次方程2
9
0x 的解是__．
15．已知扇形半径为5cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长为________cm ． 16．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段
AP =______.（结果保留根号）
17．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半
径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为__________．
18．在一块边长为30 cm的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．
19．如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝6，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M．当CN⊥AD时，⊙O的半径为____．
20．若线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为_____cm.（结果保留根号）
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．
22．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.
23．若a b
b
＝
2
3
，则
a
b
的值为________．
24．设二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点为A，B，其顶点坐标为C，则△ABC的面积为_____．
三、解答题
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为AC的中点，过点D作
DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CE ＝
16
3
，AB ＝6，求⊙O 的半径．
26．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点F 是AD 上一点，连接AF 交CD 的延长线于点E ．
（1）求证：△AFC ∽△ACE ；
（2）若AC ＝5，DC ＝6，当点F 为AD 的中点时，求AF 的值． 27．已知关于x 的方程x 2-（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：不论m 为何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程一根为4，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长． 28．某公司经销一种成本为10元的产品，经市场调查发现，在一段时间内，销售量y （件）与销售单价x （ 元/件 ）的关系如下表：
()x 元/件 ⋯ 15 20 25 30 ⋯ y()件 ⋯
550
500
450
400
⋯
设这种产品在这段时间内的销售利润为w （元），解答下列问题： （1）如y 是x 的一次函数，求y 与x 的函数关系式； （2）求销售利润w 与销售单价x 之间的函数关系式； （3）求当x 为何值时，w 的值最大？最大是多少？ 29．计算
（10
2020318(1)2⎛⎫+- ⎪⎝⎭
（2）2430x x -+=
30．已知，如图，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点
(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．
（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．
（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得
2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．
31．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元.试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价x 元时，日盈利为w 元.据此规律，解决下列问题：
（1）降价后每件商品盈利 元，超市日销售量增加 件（用含x 的代数式表示）； （2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，超市的日盈利最大？最大为多少元？
32．某小型工厂9月份生产的A 、B 两种产品数量分别为200件和100件，A 、B 两种产品出厂单价之比为2:1，由于订单的增加，工厂提高了A 、B 两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A 产品生产数量的增长率和A 产品出厂单价的增长率相等，B 产品生产数量的增长率是A 产品生产数量的增长率的一半，B 产品出厂单价的增长率是A 产品出厂单价的增长率的2倍，设B 产品生产数量的增长率为x （0x >），若10月份该工厂的总收入增加了4.4x ，求x 的值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
由已知条件可得ABC DAC ~,可得出AC BC
DC AC
=,可求出AC 的长． 【详解】
解：由题意得：∠B =∠DAC ，∠ACB =∠ACD,所以ABC DAC ~，根据“相似三角形对应边
成比例”，得AC BC
DC AC
=，又AD 是中线，BC =8，得DC=4,代入可得AC=, 故选B. 【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论． 【详解】
A.由内项之积等于外项之积，得x ：3=y ：2，即32
x y
=，故该选项不符合题意， B.由内项之积等于外项之积，得x ：3=y ：2，即
32
x y
=，故该选项不符合题意， C.由内项之积等于外项之积，得x ：y ＝3：2，即
3
2
x y =，故该选项不符合题意， D.由内项之积等于外项之积，得2：y ＝3：x ，即23
=y x
，故D 符合题意；
故选：D ． 【点睛】
本题考查比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
先把数据从小到大排列，然后根据算术平均数，中位数，众数的定义得出这组数据的平均数、中位数、众数，再利用求方差的计算公式求出这组数据的方差，再逐项判定即可． 【详解】
解：数据从小到大排列为：1，2，6，6，10， 中位数为：6； 众数为：6；
平均数为：()112661055
⨯++++=；
方差为：()()()()()22222
11525656510510.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣
⎦
．
故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识点是平均数，中位数，众数，方差的概念定义，熟记定义以及方差公式是解此题的关键．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
把点（-1，-3）代入y＝x2＋mx＋n得n=-4+m，再代入mn+1进行配方即可.
【详解】
∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），
∴-3=1-m+n，
∴n=-4+m，
代入mn+1，得mn+1=m2-4m+1=(m-2)2-3.
∴代数式mn+1有最小值-3.
故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数mn+1的解析式化成顶点式是解题的关键．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
如图，设函数y＝（x−a）（x−b），
当y＝0时，
x＝a或x＝b，
当y＝1
2
时，
由题意可知：（x−a）（x−b）−1
2
＝0（a＜b）的两个根为x1、x2，
由于抛物线开口向上，
由抛物线的图象可知：x1＜a＜b＜x2故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系，本题属于中等题型．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题； 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ， ∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，1
2
BG BE DG AD ==， ∴
1
3DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，
∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ， ∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ， ∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6， ∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点,
∴1
2EF BD =, ∴
1
4
EFC BCDD S S =, ∴
18
EFC
ABCD
S S =四边形, ∴
1176824
AGH
EFC
ABCD
S
S
S +=
+=四边形=7∶24, 故选B. 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据菱形的性质得出△DAB 是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG ≌△DBH ，得出四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，进而求出即可．
【详解】
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB=2，
∴△ABD3，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
2
{
34
A
AB BD
∠=∠
=
∠=∠
，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-S△ABD=
2
6021
23
3602
π⨯
-⨯
=
2
3
3
π
故选B．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据正切函数的定义，可得BC，AC的关系，根据勾股定理，可得AB的长，根据正弦函数的定义，可得答案．
【详解】
tan A＝
BC
AC
＝
1
3
，BC＝x，AC＝3x，
由勾股定理，得
AB x ，
sin A ＝
BC AB ＝10
， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了同角三角函数的关系，利用正切函数的定义得出BC=x ，AC=3x 是解题关键．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据等边三角形各内角为60°的性质、矩形边长的性质、直角三角形、等腰三角形的性质可以解题． 【详解】
解：A 、等边三角形各内角为60°，各边长相等，所以所有的等边三角形均相似，故本选项正确；
B 、一对等腰三角形中，若底角和顶角相等且不等于60°，则该对三角形不相似，故本选项错误；
C 、直角三角形中的两个锐角的大小不确定，无法判定三角形相似，故本选项错误；
D 、矩形的邻边的关系不确定，所以并不是所有矩形都相似，故本选项错误． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了等边三角形各内角为60°，各边长相等的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中熟练掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形、矩形的性质是解题的关键．
10．B
解析：B 【解析】
试题分析：△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB ：BC=2．
A 、当点E 的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则A
B ：BC=CD ：DE ，△CDE ∽△AB
C ，故本选项不符合题意；
B 、当点E 的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB ：BC≠CD ：DE ，△CDE 与△AB
C 不相似，故本选项符合题意；
C 、当点E 的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB ：BC=DE ：C
D ，△EDC ∽△ABC ，故本选项不符合题意；
D 、当点
E 的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB ：BC=CD ：CE ，△DCE ∽△ABC ，故本选项不符合题意． 故选B ．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】
在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．
∵∠D=180°﹣∠ACB=50°，
∴∠AOB=2∠D=100°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接BD,CD,由勾股定理求出BD的长，再利用ABD BED，得出DE DB
DB AD
=，从而
求出DE的长，最后利用AE AD DE
=-即可得出答案．【详解】
连接BD,CD
∵AB为O的直径
90
ADB
∴∠=︒
2222
6511
BD AB AD
∴=-=-
∵弦AD平分BAC
∠
11
CD BD
∴==
CBD DAB ∴∠=∠
ADB BDE ∠=∠
ABD BED ∴
DE DB
DB AD
∴=
5
=
解得
11
5
DE=
11
5 2.8
5
AE AD DE
∴=-=-=
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
13．【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】
tanA=tan60°=．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】
tan A=tan60°．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
14．x1＝3，x2＝﹣3．
【解析】
【分析】
先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】
∵
∴=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
【点睛】
本题考查了解一
解析：x 1＝3，x 2＝﹣3．
【解析】
【分析】
先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】
∵290x -=
∴2x =9，
∴x =±3，
即x 1＝3，x 2＝﹣3，
故答案为x 1＝3，x 2＝﹣3．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.
15．【解析】
【分析】
直接利用弧长公式进行计算．
【详解】
解：由题意得：=,
故答案是：
【点睛】
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键． 解析：53
π 【解析】
【分析】 直接利用弧长公式180
n R l π=
进行计算． 【详解】
解：由题意得：605180l π==53
π, 故答案是：
53π 【点睛】 本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键．
16．【解析】
【分析】
根据黄金比值为计算即可.
【详解】
解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）
∴
故答案为：.
【点睛】
本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.
解析：2
【解析】
【分析】
计算即可. 【详解】
解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）
∴AP 2AB ==
故答案为：2.
【点睛】
本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.
17．【解析】
【分析】
【详解】
设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有： ，解得
所以
解析：16
【解析】
【分析】
【详解】
设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：
π·4
=8
180
n
，解得
360
π
n=
所以
2
2
360
S==16
360360
扇形
π4
πrπ
=
n
18．【解析】
【分析】
分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100
解析：
9
π
【解析】
【分析】
分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算
S
S
半圆正方形
即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100πcm2，边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）=
100
==
9009
S
S
ππ
半圆
正方形
，故答案为：
9
π
.
【点睛】
本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．
19．2或1.5
【解析】
【分析】
根据切线的性质，切线长定理得出线段之间的关系，利用勾股定理列出方程解出圆的半径.
【详解】
解：设半径为r，
∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，AB＝
解析：2或1.5
【解析】
【分析】
根据切线的性质，切线长定理得出线段之间的关系，利用勾股定理列出方程解出圆的半径.
【详解】
解：设半径为r，
∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，AB＝5，AD＝6
∴GC=r，BG=BF=6-r，
∴AF=5-（6-r）=r-1=AE
∴ND=6-（r-1）-r=7-2r，
在Rt△NDC中，NC2+ND2=CD2，
（7-r）2+（2r）2=52，
解得r=2或1.5.
故答案为：2或1.5.
【点睛】
本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，平行四边形的性质，正确得出线段关系，列出方程是解题关键.
20．或
【解析】
【分析】
根据黄金分割比为计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可，AC可能为较长线段，也可能为较短线段.
【详解】
解：AB=10cm，C是黄金分割点，
当AC>BC时,
则有
解析：5或1555
【解析】
【分析】
计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可，AC可能为
较长线段，也可能为较短线段.
【详解】
解：AB=10cm，C是黄金分割点，
当AC>BC时,
则有×10=5，
当AC<BC时,
-，
则有×10=5
∴AC=AB-BC=10-(5）=15-，
∴AC长为5 cm或1555 cm.
故答案为：55或1555
【点睛】
本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键．
21．4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
解析：4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=1
BC=3，
2
∵OB=1
AB=5，
2
∴在Rt△OBD中，=4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
22．16
【解析】
【分析】
易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．【详解】
解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，
∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD∥OE，
∴∠C
解析：16
【解析】
【分析】
易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．【详解】
解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，
∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD∥OE，
∴∠CDA=∠OBA，
∴△AOB∽△ECD，
∴CE OA16OA
,
DE AB220
==，
解得OA=16．
故答案为16．
23．【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】
∵＝，
∴b=a,
∴=,
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
解析：5 3
【解析】【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】
∵a b
b
-
＝
2
3
，
∴b=3
5 a,
∴a
b
=
5
33
5
a
a
=
,
故答案为：5 3 .
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
24．8
【解析】
【分析】
首先求出A、B的坐标，然后根据坐标求出AB、CD的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：∵y＝x2﹣2x﹣3，设y＝0，
∴0＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝3，
解析：8
【解析】
【分析】
首先求出A、B的坐标，然后根据坐标求出AB、CD的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：∵y＝x2﹣2x﹣3，设y＝0，
∴0＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
即A点的坐标是（﹣1，0），B点的坐标是（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3，
＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点C的坐标是（1，﹣4），
∴△ABC的面积＝1
2
×4×4＝8，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．
三、解答题
25．（1）DE与⊙O相切；理由见解析；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由D为AC的中点，得到AD CD
=，进而得到AD=CD，根据平行线的性质得到∠DOA＝∠ODE＝90°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据四边形对角互补得到∠DAB＝∠DCE，由AD CD
=得到∠DAC＝∠DCA ＝45°，求得△ABD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）解：DE与⊙O相切
证：连接OD，在⊙O中
∵D为AC的中点
∴AD CD
=
∴AD＝DC
∵AD＝DC，点O是AC的中点
∴OD⊥AC
∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵DE∥AC
∴∠DOA＝∠ODE＝90°
∵∠ODE＝90°
∴OD⊥DE
∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D
∴DE与⊙O相切.
（2）解：连接BD
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠DAB＋∠DCB＝180°
又∵∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
∵AC为⊙O的直径，点
D、B在⊙O上,
∴∠ADC＝∠ABC＝90°
∵AD CD
=,
∴∠ABD＝∠CBD＝45°
∵AD＝DC，∠ADC＝90°
∴∠DAC＝∠DCA＝45°
∵DE∥AC
∴∠DCA＝∠CDE＝45°
在△ABD和△CDE中
∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°∴△ABD∽△CDE
∴AB
CD
＝
AD
CE
∴
6
CD
＝16
3
AD
∴AD＝DC＝42, CE＝16
3
，AB＝6，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝42，
∴AC＝22
AD DC
+＝8
∴⊙O的半径为4.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）
5 4
【解析】
【分析】
（1）根据条件得出AD＝AC，推出∠AFC＝∠ACD，结合公共角得出三角形相似；（2）根据已知条件证明△ACF≌△DEF，得出AC＝DE，利用勾股定理计算出AE的长度，
再根据（1）中△AFC∽△ACE，得出AF
AC
＝
AC
AE
，从而计算出AF的长度.
【详解】
（1）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径
∴AD＝AC
∴∠AFC＝∠ACD．
∵在△ACF和△AEC中，∠AFC＝∠ACD，∠CAF＝∠EAC
∴△AFC ∽△ACE
（2）∵四边形ACDF内接于⊙O
∴∠AFD＋∠ACD＝180°
∵∠AFD＋∠DFE＝180°
∴∠DFE＝∠ACD
∵∠AFC＝∠ACD
∴∠AFC＝∠DFE．
∵△AFC∽△ACE
∴∠ACF＝∠DEF．
∵F为AC的中点
∴AF＝DF．
∵在△ACF和△DEF中，∠ACF＝∠DEF，∠AFC＝∠DFE，AF＝DF ∴△ACF≌△DEF．
∴AC＝DE＝5．
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径
∴CH＝DH＝3．
∴EH＝8
在Rt△AHC中，AH2＝AC2－CH2＝16，
在Rt△AHE中，AE2＝AH2＋EH2＝80，∴AE＝
∵△AFC∽△ACE
∴AF
AC
＝
AC
AE
，即
5
AF
，
∴AF
【点睛】
本题属于圆与相似三角形的综合，涉及了圆内接四边形的性质，勾股定理，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定定理等，解题的关键是灵活运用所学知识，正确寻找全等三角形.
27．（1）见解析；（2）
263
【解析】
【分析】 （1）根据判别式即可求出答案．
（2）将x ＝4代入原方程可求出m 的值，求出m 的值后代入原方程即可求出x 的值．
【详解】
解：（1）由题意可知：△＝（m+3）2﹣4（m+1）
＝m 2+2m+5
＝m 2+2m+1+4
＝（m+1）2+4，
∵（m+1）2+4>0，
∴△＞0，
∴不论m 为何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）当x ＝4代入x 2﹣（m+3）x+m+1＝0得164(3)10m m -+++=
解得m ＝
53， 将m ＝53代入x 2﹣（m+3）x+m+1＝0得2148033
x x -+= ∴原方程化为：3x 2﹣14x+8＝0，
解得x ＝4或x ＝
23 腰长为23时，2244333
+=<，构不成三角形； 腰长为4时， 该等腰三角形的周长为4+4+
23＝263 所以此三角形的周长为
263
. 【点睛】 本题考查了一元二次方程，熟练的掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
28．（1）10700y x =-+；（2）(10)(10700)w x x =--+；（3）当40x =时，w 的值最大，最大值为9000元
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据题意列出二次函数即可求解；
（3）根据二次函数的性质即可得到最大值.
【详解】
(1)设y 与x 的函数关系式为y=kx+b
把（15，550）、（20，500）代入得5501550020k b k b =+⎧⎨=+⎩
解得10700k b =-⎧⎨=⎩
∴10700y x =-+
（2）∵成本为10元，故每件利润为（x-10）
∴销售利润(10)(10700)w x x =--+
（3）(10)(10700)w x x =--+=210(40)9000x --+
∵-10＜0，
∴当40x =时，w 的值最大，最大值为9000元.
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，理解题意抓住相等关系函数解析式是解题的关键．
29．（1）2；（2）13x =，21x =
【解析】
【分析】
（1）按照开立方，零指数幂，正整数指数幂的法则计算即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
（1）解：原式=2112-+=
（2）解：(3)(1)0x x --=
30x -=或10x -=
123,1x x ∴==
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，掌握实数混合运算的法则和因式分解法是解题的关键．
30．（1）抛物线的表达式为：2
28y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；
（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(12)+或(12)-．
【解析】
【分析】
（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解；
（2）S △DAC =2S △DCM ，则()()
()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯，，即可求解；
（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）二次函数表达式为：()2
19y a x =-+，
将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-，
故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①，
则点()3,5B ， 将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AB 的表达式为：21y x =-；
（2）存在，理由：
二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ，
过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，
设点()
2,28D x x x -++，点(),21H x x -， ∵2DAC DCM S S ∆∆=，
则()()
()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯， 解得：1x =-或5（舍去5），
故点()1,5D -；
（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++，
①当AM 是平行四边形的一条边时，
点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，
同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++，
解得：6s =或﹣4，
故点()6,16P -或()4,16--；
②当AM 是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++，
解得：17s =±
故点()12P 或()12；
综上，点()6,16P -或()4,16--或()12或()
12．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
31．（1）(30-x );10x ；（2）每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元.
【解析】
【分析】
（1）降价后的盈利等于原来每件的盈利减去降低的钱数；件降价1元，超市平均每天可多售出10件，则降价x 元，超市平均每天可多售出10x 件；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=利润w ，化为一般式后，再配方可得出结论．
【详解】
解：（1）降价后每件商品盈利(30-x)元；，超市日销售量增加10x 件；
（2）设每件商品降价x 元时，利润为w 元
根据题意得：w =(30-x )(100+10x )= -10x 2+200x +3000=-10(x -10)2+4000
∵-10<0，∴w 有最大值，
当x =10时，商场日盈利最大，最大值是4000元；
答：每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的实际应用，根据题意找出等量关系式列出利润w 关于x 的二次函数解析式是解题的关键．
32．5%
【解析】
【分析】
根据题意，列出方程即可求出x 的值．
【详解】
根据题意，得 2(12)200(12)(14)100(1)(22001100)(1 4.4)x x x x x +⨯+++⨯+=⨯+⨯+
整理，得2200x x -=
解这个方程，得15%x =，20x =（不合题意，舍去）
所以x 的值是5%．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．。