湖南省新化二中2015-2016学年高二上学期10月月考数学试卷

新化二中2015下学期高二10月月考试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( B )
A ．(1,4)
B ．(3,4)
C ．(1,3)
D ．(1,2)∪(3,4)
2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( D )
A ．简单随机抽样法
B ．抽签法
C ．随机数法
D ．分层抽样法
3．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( B )
A ．－
2
2
B.22
C.3
2
D ．1
4．已知x 、y 取值如下表：
x 0 1 4 5 6 8 y
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^
＝0.95x ＋a ，则a ＝( C )
A ．1.80
B ．1.65
C ． 1.45
D ．1.30
5. 如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点(靠近B )，那么EF ＝( D )
A.12 AB －1
3AD B.14 AB ＋1
2AD C.13 AB ＋1
2
DA
D.12 AB －2
3
AD 6. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，
则该样本的中位数、众数、极差分别是( A )
A ．46,45,56
B ．46,45,53
C ．47,45,56
D ．45,47,53
7. 如图关于星星的图案中，第n 个图案中星星的个数为a n ，则数列{a n }的一个通项公式是(C )
A ．a n ＝n 2－n ＋1
B ．a n ＝n (n －1)
2
C ．a n ＝n (n ＋1)
2
D ．a n ＝n (n ＋2)
2
8．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( C )
A.245 B .285
C ． 5
D ．6
9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( D )
A ．23π
B.8π3 C ．4 3
D.16π3
10. 设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝(),()()f x f x k
k
f x k ≤⎧⎪⎨
>⎪⎩取函数f (x )＝2
－|x |
.当k ＝1
2
时，函数f k (x )的单调递增区间为( A )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，0)
C ．(0，＋∞)
D ．(1，＋∞)
11．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6的值域为( B ) A ．
B ．
C ．
D.⎣
⎡⎦
⎤
－
32，
32 12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝,1,
1
a a
b b a b -≤⎧⎪⎨
->⎪⎩设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函
数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是(B )
A.(]－∞，－2∪⎝⎛⎭⎫－1，32
B.(]－∞，－2∪⎝⎛⎭⎫－1，－3
4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则a ＜b 的概率为_____1
5
___．
14. 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝ 10
15. 若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2
＝9的弦MN 的中点，则弦MN
_2x －y －1＝0_____________． 16 已知数列{}n a 满足*11
()2
n n a a n N ++=
∈1,1,a =则{}n a 的前n 项和为n S = 。

,
4
3
,
4
n
n
n
S
n
n
⎧
⎪⎪
=⎨
+
⎪
⎪⎩
为偶数
为奇数
三、解答题（共六小题，70分）
17．（本小题10分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队抽6人．
(1)求n的值；
(2)抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．
(1)由题意得
6
120
＝20
120＋120＋n
，解得n＝160.
(2)由已知0≤x≤1,0≤y≤1，点(x，y)在如图所示的正方形OABC内，由条件
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x－y－1≤0，
0≤x≤1，
0≤y≤1，
得到的区域为图中的阴影部分．由2x－y－1＝0，令y＝0得x＝1
2
，
令y＝1得x＝1.
因此在x，y∈时满足2x－y－1≤0的区域的面积
S阴影＝
1
2×⎝
⎛
⎭
⎫
1＋
1
2×1＝
3
4.
设“该代表中奖”为事件N，
则该代表中奖的概率P(N)＝
3
4
1
＝3
4.
18．（本小题12分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝72
. (1)求角A 的大小；
(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状． 解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2A
2，cos 2A ， ∴m ·n ＝4cos 2
A
2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2
－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝72，∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝1
2.
∵0<A <π，∴A ＝π
3
.
(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3， ∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·1
2
＝b 2＋c 2－bc .①又∵b ＋c ＝23，
∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝ 3，于是a ＝b ＝c ＝ 3，即△ABC 为等边三角形．
19．（本小题12分）如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE ∥DF ，∠DEF ＝90°.
(1)求证：BE ∥平面ADF ；
(2)若矩形ABCD 的一边AB ＝3，EF ＝23，则另一边BC 的长为何值时，三棱锥F －BDE 的体积为3？
解：(1)证明：过点E 作CD 的平行线交DF 于点M ，连接AM . 因为CE ∥DF ，所以四边形CEMD 是平行四边形．
可得EM ＝CD 且EM ∥CD ，于是四边形BEMA 也是平行四边形， 所以有BE ∥AM .而AM ⊂平面ADF ，BE ⊄平面ADF ， 所以BE ∥平面ADF .
(2)由EF ＝23，EM ＝AB ＝3，得FM ＝3且∠MFE ＝30°. 由∠DEF ＝90°可得FD ＝4，从而得DE ＝2.
因为BC ⊥CD ，BC ⊥FD ，所以BC ⊥平面CDFE . 所以，V F －BDE ＝V B －DEF ＝1
3
S △DEF ×BC .
因为S △DEF ＝12DE ×EF ＝23，V F －BDE ＝3，所以BC ＝3
2.
综上当BC ＝3
2时，三棱锥F －BDE 的体积为 3.
20．（本小题12分）已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .
(1)当x ∈时，求函数h (x )＝·g (x )的值域；
(2)如果对任意的x ∈，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈，所以log 2x ∈．故函数h (x )的值域为． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ， 令t ＝log 2x ，因为x ∈，所以t ＝log 2x ∈， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；
②当t ∈(0,24(k －3)解hslx3y3h (1)证明：因为1a n ＋1＝23＋13a n ，所以1a n ＋1－1＝13a n －13.
又因为1a 1－1≠0，所以1a n －1≠0(n ∈N *)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1a n －1为等比数列．
(2)由(1)，可得1a n －1＝23×⎝⎛⎭⎫13n －1
，
所以1
a n
＝2×⎝⎛⎭⎫13n ＋1. S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝n ＋2⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＝n ＋2×13－1
3n ＋
11－13＝n ＋1－13n
， 若S n <100，则n ＋1－1
3n <100，所以最大正整数n 的值为99.
(3)假设存在，则m ＋n ＝2s ，(a m －1)(a n －1)＝(a s －1)2， 因为a n ＝3n
3n ＋2
，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3n 3n ＋2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 3m ＋2－1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3s
3s ＋2－12
.
化简，得3m ＋3n ＝2·3s .
因为3m ＋3n ≥2·3m ＋n ＝2·3s ，当且仅当m ＝n 时等号成立．又m ，s ，n 互不相等，所以3m ＋3n
＝2·3s 不成立，所以不存在满足条件的m ，n ，s .。