高中数学检测：函数f(x)=asin(ωx+φ)的图象及应用含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A 级 基础夯实练
1．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12个单位长度,则平移后图象的对称
轴为( )
A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)
B ．x ＝k π2＋π
6(k ∈Z)
C ．x ＝k π2－π
12
(k ∈Z)
D ．x ＝k π2＋π
12
(k ∈Z)
解析：选B.将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12
个单位长度,得到函数y ＝
2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z),得x ＝k π2＋
π6(k ∈Z),即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π
6
(k ∈Z)．
2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫
A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,则
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
11π24的值为( )
A ．－6
2
B ．－3
2
C ．－
22
D ．－1
解析：选D.由函数图象可得A ＝2,最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫
7π12
－π3＝π,则ω
＝2π
T
＝2.
又f ⎝
⎛⎭⎪⎫
7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π6＋φ＝－2,|φ|<π
2,得φ＝π
3
,则f (x )＝2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12
＋π3＝2sin 5π4＝－1,故选D.
3．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得
到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上,则( )
A ．t ＝1
2,s 的最小值为π6
B ．t ＝3
2,s 的最小值为π6
C ．t ＝1
2,s 的最小值为π3
D ．t ＝
3
2,s 的最小值为π3
解析：选A.点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上,∴t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
2×π4－π3＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上,所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12
,即cos 2s ＝1
2,所以2s ＝2k π＋π3或
2s ＝2k π＋5
3π,即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z),又s >0,所以s 的最小值为π6
.
4．(衡水模拟)将函数y ＝f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度,
再把所有点的横坐标缩短到原来的1
2,纵坐标不变,得到函数y ＝g (x )的图象,则下面
对函数y ＝g (x )的叙述正确的是( )
A ．函数g (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3
B ．函数g (x )的周期为π
C ．函数g (x )的一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0
D ．函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6
，π3上单调递增
解析：选C.将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6的图象向左平移π12个单位,可得函数y
＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象;
再把所有点的横坐标缩短到原来的1
2
,纵坐标不变,得到函数y ＝g (x )＝
2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象,
故g (x )的周期为2π4＝π
2
,排除A ,B.
令x ＝－π
12,求得g (x )＝0,可得g (x )的一个对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π12，0,故C 满足条
件．
在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上,4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π，5π3,函数g (x )没有单调性,故排除D.
5．(广东珠海质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫
A ＞0，|φ|＜π2的图象如图所示,
为了得到g (x )＝cos 2x 的图象,则只需将f (x )的图象( )
A ．向右平移π
6个单位长度
B ．向右平移π
12个单位长度
C ．向左平移
π
6
个单位长度
D．向左平移π
12个单位长度
解析：选D.根据函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0,|φ|＜π
2)的图象,可得A＝1,
1
4
×2π
ω
＝
7π
12－
π
3,
∴ω＝2.
因此f(x)＝sin(2x＋φ)．
由题图,知f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
7π
12
＝sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
7π
6＋φ
＝－1,
∴
7π
6＋φ＝2kπ－
π
2(k∈Z)．
又|φ|＜
π
2,∴
φ＝
π
3.
∴f(x)＝sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2x＋
π
3
.
∵f(x)＝sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2x＋
π
3
＝cos
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
π
2－⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2x＋
π
3
＝cos
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－2x＋
π
6
＝cos
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2x－
π
6
＝cos
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
2
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x－
π
12
,
故把f(x)＝sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2x＋
π
3
的图象向左平移
π
12个单位,可得g(x)＝cos 2x的图象．6．(太原模拟)已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的图象与直线y＝b(0
＜b＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递增区间是() A．[6kπ,6kπ＋3],k∈Z B．[6k－3,6k],k∈Z
C．[6k,6k＋3],k∈Z D．[6kπ－3,6kπ],k∈Z
解析：选C.因为函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的图象与直线y＝b(0＜b＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,
所以T＝6＝2π
ω
,所以ω＝
π
3,且当x＝3时函数取得最大值,所以
π
3×3＋φ＝
π2,所以φ＝－π2
, 所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13
πx －π2,
所以－π2＋2k π≤1
3πx －π2≤π2＋2k π,k ∈Z ,
所以6k ≤x ≤6k ＋3,k ∈Z.
7．(唐山模拟)已知角φ的终边经过点P (－4,3),函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)
的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π
2,则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4的值为________．
解析：由角φ的终边经过点P (－4,3),可得cos φ＝－4
5
.
根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2
, 可得周期为2π
ω＝2×π
2,解得ω＝2,
∴f (x )＝sin(2x ＋φ),
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－4
5.
答案：－4
5
8．(南昌模拟)电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π
2)的图象如右
图所示,则
当t ＝
1
100
秒时,电流强度是______安． 解析：由函数图象知A ＝10,T 2＝4
300－1300＝1100,
∴ω＝2π
T
＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ),
∵图象过点⎝
⎛⎭
⎪⎫
1300，10,
∴10sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
100π×1300＋φ＝10,
∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋φ＝1,π3＋φ＝2k π＋π2,k ∈Z ,
∴φ＝2k π＋
π6,k ∈Z ,又∵0＜φ＜π2,∴φ＝π6
. ∴I ＝10sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
100πt ＋π6,
当t ＝
1
100
秒时,I ＝－5(安)． 答案：－5
9．(河北邯郸调研)已知函数f (x )＝2cos 2 ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1),直线x ＝
π
3
是f (x )图象的一条对称轴． (1)试求ω的值;
(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2
倍,然后再向左平移2π3个单位长度得到的,若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65,α∈⎝
⎛⎭⎪⎫
0，π2,求sin
α的值．
解：f (x )＝2cos 2 ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝
2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2ωx ＋π6.
(1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2ωx ＋π6图象的一条对称轴,
∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2π3ω＋π6＝±
1. ∴
2π3ω＋π6＝k π＋π2
(k ∈Z), ∴ω＝32k ＋1
2
(k ∈Z)．
又0＜ω＜1,∴－13＜k ＜1
3.
又∵k ∈Z ,从而k ＝0,∴ω＝1
2
.
(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6,由题意可得
g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋
2π3＋π6,即g (x )＝2cos 12x . ∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝6
5,
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.
又α∈⎝
⎛⎭⎪⎫
0，π2,
∴π6＜α＋π6＜2π
3
, ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45,
∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×
32－35×12＝43－3
10
. 10．已知函数f (x )＝sin ωx －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
ωx ＋π3(ω＞0)．
(1)若f (x )在[0,π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3
2，1,求ω的取值范围;
(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π3上单调,且f (0)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝0,求ω的值．
解：f (x )＝sin ωx －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝sin ωx －12sin ωx －32cos ωx ＝1
2sin ωx －3
2cos ωx ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π3.
(1)由x ∈[0,π]⇒ωx －π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π3，ωπ－π3,又f (x )在[0,π]上的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－32，1,即最小值为－32,最大值为1,则由正弦函数的图象可知π2≤ωπ－
π3≤4π3,解得56≤ω≤5
3.∴ω的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤56，53. (2)因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调,所以T 2≥π
3－0,则πω≥π3,即ω≤3,又ω＞0,所
以0＜ω≤3,由f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π3上单调,得⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，0是f (x )图象的对
称中心,∴
ωπ6－π
3
＝k π,k ∈Z ⇒ω＝6k ＋2,k ∈Z ,又0＜ω≤3,所以ω＝2.
B 级 能力提升练
11．(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ),x ∈R,其中ω＞0,|φ|＜π.若
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2,f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
11π8＝0,且f (x )的最小正周期大于2π,则( ) A ．ω＝2
3,φ＝π12
B ．ω＝2
3,φ＝－11π12
C ．ω＝1
3,φ＝－11π24
D ．ω＝1
3,φ＝7π24
解析：选A.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2,f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
11π8＝0,∵f (x )的最小正周期大于2π. ∴11π8－5π8＝T
4,∴T ＝3π,
∴ω＝2π3π
＝23,∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x 3
＋φ. 由2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23×5π8＋φ＝2,得φ＝2k π＋π
12,k ∈Z.
又|φ|＜π,∴取k ＝0,得φ＝π
12
.
12．(石家庄质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝
⎛⎭⎪⎫
A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的
部分图象如图所示
,将函数f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后,得到函数
g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3
，32对称,则m 的值可能为( )
A.π
6 B ．π2
C.7π6
D ．7π12
解析：选D.依题意得⎩⎨⎧A ＋B ＝33
2
，
－A ＋B ＝－32
，解得⎩⎨⎧A ＝3，
B ＝32，
T 2＝πω＝2π3－π6＝π
2
, 故ω＝2,则f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋32
.
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋φ＋32＝332,
故π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z),即φ＝π
6＋2k π(k ∈Z)． 因为|φ|＜π2,故φ＝π6
,
所以f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3
2.
将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后得到g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫2x ＋π
6＋2m ＋32的图象,又函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3
，32对称,即h (x )＝3
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称,故3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＋π6＋2m ＝0,即5π6＋
2m ＝k π(k ∈Z),故m ＝k π2－5π12(k ∈Z)．令k ＝2,则m ＝7π
12
.
13．(青岛二中月考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜
π
2
)的部分图象如图所示,若x 1,x 2∈(－π6,π
3
),则f (x 1)＝f (x 2),且f (x 1＋x 2)＝________．
解析：观察题中图象可知,A ＝1,T ＝π, ∴ω＝2,f (x )＝sin(2x ＋φ)．
将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π3＋φ＝0, 由已知得φ＝π3,故f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π
32＝π
12
.
又x 1,x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π6，π3,且f (x 1)＝f (x 2),
∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝3
2.
答案：3
2
14．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫
ω＞0，|φ|＜π2在某一
个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表：
(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度,得到y ＝g (x )的
图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π12，0,求θ的最小值．
解：(1)根据表中已知数据,得A ＝5,ω＝2,φ＝－π
6
.数据补全如表：
且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪2x －6.
(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －π6,
得g (x )＝5sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋2θ－π6.
因为y ＝sin x 的对称中心为(k π,0),k ∈Z.
令2x ＋2θ－π6＝k π,k ∈Z ,解得x ＝k π2＋π
12
－θ,k ∈Z.
由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12，0成中心对称,令k π2＋π12－θ＝5π
12,k
∈Z ,
解得θ＝k π2－π3,k ∈Z.由θ＞0可知,当k ＝1时,θ取得最小值π
6
.
15．已知函数f (x )＝2cos πx ·cos
2
φ
2
＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos π
x ⎝
⎛⎭⎪⎫
0＜φ＜π2的部分图象如图所示．
(1)求φ的值及图中x 0的值;
(2)将函数f (x )的图象上的各点向左平移1
6个单位长度,再将所得图象上各点的
横坐标不变,纵坐标伸长到原来的3倍,得到函数g (x )的图象,求函数g (x )在区间
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，13上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝2cos πx ·cos
2
φ
2
＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ＝cos π
x ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos 2φ2－1－sin πx ·sin φ
＝cos πx ·cos φ－sin πx ·sin φ＝cos(πx ＋φ)． 由题图可知,cos φ＝3
2,又0＜φ＜π2,所以φ＝π6
.
又cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝3
2,所以πx 0＋π6＝11π6,
所以x 0＝5
3
.
(2)由(1)可知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6,将图象上的各点向左平移1
6个单位长度得到
y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋16＋π6
＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
πx ＋π3的图象,然后将各点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的3倍
后得到g (x )＝3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象．
因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，13,所以－π6≤πx ＋π3≤2π3.
所以当πx ＋π3＝0,即x ＝－1
3时,g (x )取得最大值3;
当πx ＋π3＝2π3,即x ＝13时,g (x )取得最小值－3
2
.
C 级 素养加强练
16．(广东中山质检)已知函数f (x )＝m sin x ＋n cos x ,且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4是它的最大值(其
中m ,n 为常数,且mn ≠0)．给出下列命题：
①f ⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋π4为偶函数;
②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
7π4，0对称;
③f ⎝
⎛⎭⎪⎫
－3π4是函数f (x )的最小值; ④函数f (x )的图象在y 轴右侧与直线y ＝m
2的交点按横坐标从小到大依次记为
P 1,P 2,P 3,P 4,…,则|P 2P 4|＝π.其中正确命题的个数是________个．
解析：由于函数f (x )＝m sin x ＋n cos x ＝m 2
＋n 2
sin(x ＋φ),且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4是它的最
大值,
∴π4＋φ＝2k π＋π2, ∴φ＝2k π＋
π
4
,k ∈Z. ∴f (x )＝m 2
＋n 2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π＋π4
＝m 2
＋n 2
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋π4.
对于①,由于f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝m 2＋n 2·sin(x ＋π4＋π4)＝m 2＋n 2cos x 是偶函数,
故①正确;
对于②,由于当x ＝7π
4时,f (x )＝0,故函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π4，0对称,故
②正确;
对于③,由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝m 2＋n 2·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2＝－m 2＋n 2是函数f (x )的最小
值,故③正确;
对于④,由正弦函数的图象可知,|P 2P 4|等于最小正周期2π.故④不正确． 答案：3。