2016年高三文科数学综合训练题及答案

2016年高三文科数学综合训练题及答案
姓名_______ 班别_______ 学号______
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）若全集U=R ，集合{}
02A x x =<<，{}
10B x x =->，则U
A
B ＝
（A ）{}
01x x <≤ （B ）{}12x x << （C ）{}01x x << （D ）{}
12x x ≤< （2）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2
i =a b + （A ）54i - （B ）5+4i （C ）34i - （D ）3+4i （3）已知1=a ，(0,2)=b ，且1=a b ，则向量a 与b 夹角的大小为 （A ）
6π （B ）4π （C ）3π （D ）2
π
（4）已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ， H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的
（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则
（A ）c a b << （B ）b c a << （C ）a b c << （D ）b a c <<
（6）已知
()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =，则
()7f =
（A ） 2 （B ）2- （C ）98- （D ）98
（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积
为
（A ）
312π （B ）36π （C ）34π （D ）33
π （8）在数列{}n a 中，已知1221n n a a a ++⋅⋅⋅+=-，则222
12n a a a ++⋅⋅⋅+等于
（A ）2
(21)n
- （B ）2(21)3n - （C ）41n
- （D ）413
n -
（9）已知3sin 5ϕ=
，且2ϕπ⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭
，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的
距离等于
2π
，则4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为 （A ）35
- （B ）45
-
（C ）35 （D ）4
5
（10）执行如图所示的程序框图，输出的结果为 （A ）()
22-，
（B ）()
40-，
（C ）()
44--，
（D ）()
08-，
（11）已知双曲线)0, 0( 122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点到左顶点的距离
等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 （A ）02=±y x （B ）02=±y x
（C ）034=±y x （D ）043=±y x
（12）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则 函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为
（A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）无数个
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）函数y =_____________．
（14）设,x y 满足约束条件0,0,
1,3,
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨
-≥-⎪⎪+≤⎩ 则2z x y =-的最大值为 ． （15）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*
n ∈N ，都有242n n n S a a =+，其中n S 为数列{}n a 的前n
项和,则数列{}n a 的通项公式为n a = ．
（16）已知以F 为焦点的抛物线2
=4y x 上的两点A ，B 满足AF ＝2FB ，则弦AB 中点到抛物线准线的距
离为_________．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知,.a b c 是△ABC 中角,,A B C 的对边，且3cos cos 2B C +=23sin sin 2cos B C A + （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若△ABC 的面积53S =，5b =，求sin sin B C 的值．
（18）（本小题满分12分）
“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．
（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下22⨯列联表：
根据表中数据，能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？
接受挑战 不接受挑战
合计 男性 45 15 60 女性 25 15 40 合计 70 30 100
（19）（本小题满分12分）
在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA ===，2BC =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点． （Ⅰ）当2CF =时，证明：1B F ⊥平面ADF ； （Ⅱ）若D B FD 1⊥，求三棱锥1B ADF -的体积．
A
B
C
D
F A 1
B 1
C 1
（20）(本小题满分12分)
定圆M :(2
216x y ++=，动圆N 过点F
)
且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ．
（Ⅰ）求轨迹E 的方程；
（Ⅱ）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC CB =，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．
（21）（本小题满分12分）已知函数()2
mx
f x x n
=+ (),m n ∈R 在1x =处取到极值2. （Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）设函数()ln a
g x x x
=+，若对任意的[]11,1x ∈-，总存在[]21,e x ∈（e 为自然对数的底数），使得()()217
2
g x f x ≤+，求实数a 的取值范围.
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的O 与BC 交于点E ． （Ⅰ）求证：BC CE AD DB ⋅=⋅；
（Ⅱ）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，90ONF ∠=,
NF 与O 相交于点F ，求NF 的最大值．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2C ：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩
，
(θ为
参数，0a >)．
（Ⅰ）若曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上，求a 的值；
（Ⅱ）当3a =时, 曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．
2016年高三文科数学综合训练题
参考答案及评分参考
一．选择题
（1）A （2）D （3）C （4）B （5）D （6）B （7）A （8）D （9）B （10）B （11）C （12）A 二．填空题
（13）(1,)-+∞ （14）3 （15）2n （16）9
4
三．解答题
（17）解：（Ⅰ）由23cos cos 23sin sin 2cos B C B C A +=+，
得()2
3cos 22cos B C A ++=．即22cos 3cos 20A A +-=．即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=．
解得1
cos 2
A =或cos 2A =-（舍去）． 因为0A <<π，所以A π
=3
．
（Ⅱ）由1sin 2S bc A =
==20bc =． 因为5b =，所以4c =．
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得21
2516220=212
a =+-⨯⨯，故a =． 根据正弦定理2sin sin sin a
b
c R A B C ===，得5
sin sin sin sin 7
b c B C A A a a =⨯=．
（18）解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为,,A B C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战．……1分
这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{}
,,A B C ，
{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种． 其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种．
根据古典概型的概率公式，所求的概率为41
82
P ==． （Ⅱ）根据22⨯列联表，得到2
K 的观测值为：
()
()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++=()2
1004515251560407030
⨯-⨯⨯⨯⨯ 25 1.7914=≈．
因为1.79 2.706<，
所以没有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”． 广东数学教师QQ 群：179818939。

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（19）（Ⅰ）证明：因为AB AC =，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC .
在直三棱柱111ABC A B C -中，
因为1B B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，所以AD ⊥1B B .
因为BC ∩1B B ＝B ，所以AD ⊥平面11B BCC . 因为1B F ⊂平面11B BCC ，所以AD ⊥1B F .
在矩形11B BCC 中，因为11C F CD ==，112B C CF ==，
所以Rt DCF ∆≌11Rt FC B ∆.所以∠CFD ＝∠11C B F .所以∠1=90B FD . （或通过计算15FD B F ==,110B D =,得到△1B FD 为直角三角形） 所以1B F FD ⊥.
因为AD ∩FD ＝D ，所以1B F ⊥平面ADF . （Ⅱ）解：因为1AD B DF ⊥平面，22AD =
因为D 是BC 的中点，所以1CD =.
在Rt △1B BD 中，1BD CD ==，13BB =，所以221110B D BD BB =+=
因为1FD B D ⊥，所以Rt CDF ∆∽1Rt BB D ∆． 所以
11
DF CD
B D BB =.所以110103DF ==．
所以1111110102
102233239
B ADF B DF V S AD -∆=⋅=⨯⨯=.
（20）解：（Ⅰ）因为点F
)
3,0在圆22:(3)16M x y +=内，所以圆N 内切于圆M .
因为||NM +||4||NF FM =>， 所以点N 的轨迹E 是以()
3,0M -，F )
3,0为焦点的椭圆，
且24,3a c ==所以1b =．
所以轨迹E 的方程为2
214
x y +=.
（Ⅱ）（1）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），
此时1
||2
ABC S OC ∆=
⨯⨯||2AB =. （2）当直线AB 的斜率存在且不为0时，
设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =，
联立方程2
21,4,
x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
得222
22
44,,1414A A k x y k k ==++
所以2
||OA =2A x
222
4(1)14A
k y k ++=+.
由||||AC CB =知，ABC △为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC AB ⊥，
所以直线OC 的方程为1y x k =-，由2
21,41,
x y y x k ⎧+=⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
解得22
24,4
C
k x k =+2
C y =2
4,4k +2224(1)||4k OC k +=+． 2||||ABC OAC S S OA OC ∆∆==⨯
=
2=
222(14)(4)5(1)22k k k ++++≤=，所以85
ABC S ∆，
当且仅当22
144k k +=+，即1k =±时等号成立，
此时ABC △面积的最小值是85
. 因为825>
，所以ABC △面积的最小值为85
， 此时直线AB 的方程为y x =或y x =-.
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（21）解:（Ⅰ）因为()2
mx
f x x n
=
+， 所以2222222
()2()()()m x n mx mx mn
f x x n x n +--+'==++．
由()f x 在1x =处取到极值2，
所以()10f '=，()12f =，即20(1)
2.1mn m
n m n
-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，解得4m =，1n =．
经检验，此时()f x 在1=x 处取得极值.所以24()1
x
f x x =
+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知22
4(1)(1)
()(1)
x x f x x --+'=
+，故()f x 在(1,1)-上单调递增，
由(1)2,(1)2f f =-=- 故()f x 的值域为[]2,2-. 从而173()22
f x +≥． 所以总存在[]21,e x ∈，使得()()2172
g x f x ≤+成立，只须3()2g x ≤最小值． 函数()ln a g x x x =+的定义域为()0,+∞，且22
1()a x a g x x x x -'=-=． ①当1a ≤时，()g x '＞0，函数()g x 在[]1,e 上单调递增， 其最小值为3(1)12
g a =≤<，符合题意． ②当1e a <<时，在[)1,a 上有()0g x '<，函数()g x 单调递减，在(],e a 上有()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为()ln 1g a a =+． 由3ln 12
a +≤
，得0a <≤
．从而知1a <≤. ③当e a ≥时，显然函数)(x g 在[]1,e 上单调递减， 其最小值为3(e)12e 2
a g =+≥>，不合题意． 综上所述，a
的取值范围为(
-∞． （22）解：（Ⅰ） 在ACB ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，
所以2CD AD DB =⋅，
因为CD 是圆O 的切线，
由切割线定理得2CD CE CB =⋅．所以CE CB AD DB ⋅=⋅．
（Ⅱ）因为ON NF ⊥
，所以NF =
因为线段OF 的长为定值，即需求解线段ON 长度的最小值．
弦中点到圆心的距离最短，此时N 为BE 的中点，点F 与点B 或E 重合． 因此max 122
NF BE ==． （23）解：（Ⅰ）曲线1C ：112x t y t
=+⎧⎨=-⎩，的直角坐标方程为32y x =-．曲线1C 与x 轴交点为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．
曲线2C ：cos ,3sin x a y θθ
=⎧⎨=⎩的直角坐标方程为22
219x y a +=． 曲线2C 与x 轴交点为(,0),(,0)a a -．
由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上，知32a =． （Ⅱ）当3a =时, 曲线2C ：3cos ,3sin x y θθ
=⎧⎨=⎩为圆229x y +=．
圆心到直线32y x =-的距离d ==
所以,A B 两点的距离5AB ===．。