江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）

江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛
本科竞赛试题（有改动）
一、填空题（每小题5分，共50分）
1.函数
sin sin y x x
=（其中
2x π
≤
）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n
x 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是_____________________________________。

4.设(1)()n m n
n d x p x dx -=
，
n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.2
22
[cos()]sin x x xdx π
π-+=?_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由
=--x
t dt e t 1
2
所确定的隐函数，则
=
=0
2
2t dt x
d 。

7.已知微分方程()y y y x x ?'=+有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。

8.直线21x z
y =??
=?
绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a
、的夹
角为____________。

10.
=?????????? ??+???? ?
+???? ??+∞→n
n n n n n 1
22222212111lim 。

二、（7分）设数列{}n a 满足1
,2,
21≥+=->+n a a a n n n ，求n
n a ∞→lim 。

三、（7分）求c 的值，使?=++b
a
c x c x 0
)cos()(，其中a b >。

四、（12分）求由曲面222222,,x y cz x y a xy b +=-=±=±和0z =所围区域的体积（其中
,,a b c 为正实数）。

五、（12分）一点先向正东移动a m,然后左拐弯移动
aq m （其中01q <<）
，如此不断重复
左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的q
倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？
六、（12分）已知()f x 在[0,2]上二次连续可微,(1)0f =,证明20
1
()3f x dx M
≤?
，
其中 [0,2]
()
max x M f x ∈''=.
江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛
本科一级竞赛试题（有改动）
一、填空题（每小题5分，共50分）
1. 111414242lim n n n n n →∞??
+++
=
+++?
________________.
2.设z 是由方程组(1)cos sin x t z y t z =+??=?确定的隐函数，则z x ?=?____________________。

3.设
2
2
()(32)cos
16n
x f x x x π=-+，则()
(2)n f =________________。

4．设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为1cos2x
y xe x =，则通解为_______________。

5. 平面0(0)Ax By Cz C ++=≠与柱面22
221x y a b +=)0,(>B A 相交成的椭圆面积为____。

6.已知,a b 是非零常向量2b =，(,)3a b π
∧
=，则
0l i m x a x b a
x
→+-=
___________________。

7.
2
3
1
1(cot )
dx x π
=
+?
_______________________。

8.椭球面
222241x y z ++=与平面0x y z ++=之间的最短距离为______________。

二、（8分）试比较e π与e π
的大小。

三、（10分）已知,a b 满足
1
2b a
x dx =
，（0a b ≤≤），求曲线
2
y x ax =+与直线y bx =所围区域的面积的最大值与最小值。

四、（10分）设区域D ：)0(,2
2
2
>≤+t t y x ，),(y x f 在D 上连续。

求证：
)
0,0(),(1lim
2
0f dxdy y x f t D
t =??→。

五、（10分）求不定积分dx
xe x x x x ?++)1(cos 1sin 。

六、（10分）通过线性变换by x ay x +=+=ηξ,将方程0462222
2=??++??y u
y x u x u 化简成
02=ηξu
，求b a ,的值。

七、（12分）已知()f x 在[0,1]上具有二阶连续导数，且
(0)(1)0,()0f f f x ==≠,
证明：10
[0,1]
()4()
max x f x dx f x ∈''≥?。

江苏省第三届（1996年）高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题（有改动）
一、填空题（每小题5分，共40分）
1.若0a >
，
2006
1lim lim[sin()tan 3]
sin 6x
x x x x x x ππ
→→=-- ，则a =____________.
2.若()(21)(32)(10099),f x x x x x =--??-则(0)f '=________________.
3.已知当x 大于12且趋向于12时，-3arccos x π与
1
()2b
a x -为等价无穷小，则 a =_____________,
b =_______________.
4.
2
||1
x xe dx --=
___________________________.
5.直线23223x y z x y z +-=??
-+=?
在平面1z =上的投影为直线L ，则点(1,2,1)到直线L 的距离为
____________.
6.++π
αβα2β3αβ设与均为单位向量，其夹角为，则以与为邻边的平行四边形的
6
面积为______________.
2
7.x 0(sin )(sin ),(0)0(0)_______.d d f x f x f f dx dx '==≠=设当时
，则
8.设函数)(x y y =是由
033
3=-+axy y x （0>a ）确定，则=
+∞
→x y
x lim。

二、（10分）
设
,0
()0,0
x y f x x >===??；讨论()f x 的连续性，求单调区间、极值与渐近线。

三、（10分）
22(1)(3).x x --2设f(x)=x
(1)(y ()f x =本科三级考生做）试问曲线有几个拐点，证明你的结论.
(2)(f ()0x "=专科考生做）试问在区间（0,3）上有几个实根，证明你的结论.
四、（10分）
220
x sin u x (sin ),.
3sin 4cos x
x
f x dx dx x π
π
π
π
+
若f （）是连续函数，证明f(sinx)dx=
并求2
五、（10分）
10()[0,1]0x
1|f ()|ln 2.
2f x x dx ≤≤≤≤?设在区间上可积，当时，又求证：六、(10分)
求过点
)0,9,
11
(，而与两直线?
=
+
+
-
=
+
4
:
1z
y
x
y
x
L
、?
-
+
=
-
+
2
1
3
:
2z
y
y
x
L
相交的直线方程。

七、（10分）
设
)(t
f连续函数，求证2 ,
2
:
,
)
)(
(
)
(
y
A
x
D
dt
t
A
t
f
dxdy
y
x
f
D
A
A
≤
≤
-
=
-
-。

江苏省第四届（2002年）高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题(有改动)
一、填空题（每小题5分，共40分）
1.
____________
x →=
2. 函数f(x)=
()2
232x
x x x
++-的不可导点的个数为___________.
3.设
f(x)=0 0x x ?≤? ,则31(2)f x dx -?=_______________.
4.(本三考生做)设变量x,y,t 满足y=f(x,t)及F(x,y,t)=0,函数f ，F 的一阶偏导数连续，则dy
dx
=_______________.
(专科考生做)设f(x)的导数连续，且f （0）=0，则1
01lim
()________
x f xt dt x →=?
5（本三考生做）已知直线l 过点M （1，-1，0）且与两条直线1l ：21
35x z x y z +=??-+=?
和
22,:14,3x t l y t z =-+??
=-??=?
垂直，则l 的参数方程为_______________________.
6.
ln x dx =?_____________________.
)
(1
lim
)(2212N n x bx
ax x x f n n n ∈+++=-∞
→，极限与)(lim 1
x f x →)
(lim 1
x f x -→都存在.，则
a =______________________、
b =___________________________.
8. 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，且)0(3)(,2)(≠='='a a g a f ，那么 =-'+-')()(a g a f 。

二、（9
分）求lim sin(n →∞.
三、（9分）α为正常数，使得不等式x x e α≤对任意正数x 成立，求α的最大值.
四、设函数f (x)在[a,b]上二阶可导，对于[a,b]内每一点x ，
''
()()0f x f x ≥,且在[a,b]的子区间上()f x 不恒等于零.试证()f x 在[a,b]中至多有一个零点.
五、（9分）设连续函数
()
f x满足()
f x=
12
23
00
x x f x dx x f x dx f x
++
求
六、（9分）设
]
[
)
(x
x
x
f-
=（]
[x表示不超过x的最大整数），求极限
+∞
→
x
x
dx
x
f
x0
)
(
1
lim。

七、（9分）有一形状为直角三角形的薄铜片，其密度(,)(12),0,0,120,k
f x y k x y x y x y
=--≥≥--≥为常数.今从中截取一矩形铜片（该矩形两条邻边位于三角形的两条直角边上）使其质量最大，求该矩形铜片质量与原直角三角形铜片质量之比。

八、（6分）地面虽然不太平坦，但请证明一张小方凳经过适当旋转总可以放平稳.这里假设小方凳四条腿的端点A，B，C，D为正方形四个顶点。

江苏省第五届（2000年）高等数学竞赛
本科三级、民办本科竞赛试题（有改动）
一、填空题（每小题3分，共15分）
1.已知
3
1
[()]()______________. d
f x f x
dx x
'
==
，则
2.
1
ln
lim(tan)______________.
x
x
x
+
→
=
3.
_______________. =
4. 设),(y x z z =由方程()0,,=---x z z y y x F 所确定，F 为可微函数，则
=
+??y z x z ；
5. [()()]sin ________________.
a
a
f x f x xdx +-+-=?
二、选择题（每小题3分，共15分）
1.函数
21
()(1)x e f x x x -=
-的可去间断点为( ) A 、0,1x = B 、1x = C 、0x = D 、无可去间断点 2. 改变积分次序
21
10
1
(,)y
y dy f x y dx --=
( )
A
、
1
1(,)dx f x y dy -? B
、011100
(,)(,)x
dx f x y dy dx f x y dy
--+
C
、
1
(,)dx f x y dy
D
、
1
11
(,)x dx f x y dy
--?
3.设()f x 可导, ()()(1sin )
F x f x x =+，欲使()F x 在0x =处可导，则必有( )
A 、(0)0f '=
B 、 (0)0f =
C 、 (0)(0)0f f '+=
D 、 (0)(0)0f f '-=
4.若0000(,)(,)
,
x y x y f f x
y
都存在，则(,)f x y 在()00,x y 是( )
A 、连续且可微
B 、连续但不一定可微
C 、可微但不一定连续
D 、不一定可微也不一定连续
5. 22
(,)(2)x f x y e x y y =++在点
1,12??- 处取( ) A 、极大值2e -
B 、极小值2e
-
C 、不取得极值
D 、极小值e
三、（8分）设2
2
22
ln(1)()
lim
(ln )x
e
x t x ax bx dx x x e dt
+∞
→+-+=?
，求常数,a b 。

四、（6分）设(1)y
z xy =+，求(1,1)dz 。

五、（6分）设(),()f x g x 在[]
,a b
上连续，在(,)a b 内可导，且对于(,)a b 内的一切x 均有
()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：若()f x 在(,)a b 内有两个零点，则介于这两个零点之
间，()g x 至少有一个零点。

六、（6分）计算二重积分2
D
||y x dxdy -??，其中积分区域
:1,0 2.
D x y ≤≤≤
七、（8分）过抛物线2y x =上一点
2
(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线241y x x =-+-所围成的图面积最小？
八、（6分）当0→x 时，220
()()()x
F x x t f t dt
'=-?的导数与2x 为等价无穷小，求(0)f '。

九、（8分）计算dx
x x ?
∞+++0
2
2
)
1)(1(1。

十、（8分）求两直线??
+==12x z x
y 和=+=x z x y 3之间的最短的距离。

十一、（6分）求581x x
dx x -+?。

十二、（8分）设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且满足
222
224
()2
()x y t f t x y f dxdy t +≤=++??
，求()f x 。

江苏省第六届（2002年）高等数学竞赛
本科三级，民办本科竞赛试题
一、填空题（每小题5分，共40分）
0e 1.lim
(0k _____,____.
x k
x c c c x →-=≠==设），则
+++2.f(x)lim f ()0,f(x)B. lim f ()0,f(x)C. lim f ()=1,f(x)x x x x x x '→∞
'→∞
'→∞
∞=∞≠∞∞设在[1,+)上可导，下列结论中成立的是______.A. 若则在[1,+)上有界
若则在[1,+)上无界
若则在[1,+)上无界
3.e ()1y=y(x),y (0)_______.y x y x x -"+-=+=设由确定则
4.(arcsin arccos )____________.
x x dx -=?
4
5.________________.
+∞
=?
2z 6.()(,sin ),g ______________.
x
y z f g e y f x x y
=+=??的二阶导数连续，的二阶偏导数连续，则21
30
7.dx (,)____________.
x
x
f x y dy -=??交换积分次序
28.x 5y +=2函数f(x,y)=2x-y+1满足方程的条件极大值为____,条件极小值为____.
二、（8分）
设()f x +∞在[0，）上连续且单调减少，0a b <<，证明：0
()().
a
a f x dx
b f x dx ≤??b a
三、（9分）
k f -+-+k ≥∞∞∞∞设f(x)=kx+sinx.
(1)若1，求证：(x)在（，）上恰有一个零点;
(2)若0<k<1,且f(x)在（，）上恰有一个零点，求常数的取值范围.< p="">
四、（8分）
20
1sin e .
1cos x
x
dx x π
++?求
五、（9分）
设
arctan ,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)y x y f x y x y ?
≠?=??=?
，试讨论(,)f x y 在点(0,0)处的连续性、
可偏导性与可微性。

六、（8分）
22z z (,),y y .
d f x y x f dx ==)≠0,设（),的二阶偏导数连续，可导，（求全导数
七、（9分）
224
01(u)u=0(0)=0,D:x 2,0,lim
t D
f f y tx y f ydxdy
t →++≤≥??
设在可导，求。

</k<1,且f(x)在（，）上恰有一个零点，求常数的取值范围.<>。