(完整)2017年马鞍山二中高一理科实验班招生考试数学试题及答案,推荐文档

图 1
图 2
图3
第1题图
2017 年马鞍ft 市第二中学创新人才实验班招生考试
数 学
【注意事项】
1.本试卷共 4 页，总分 150 分，答题时长 120 分钟，请掌握好时间。

一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
请将正确选项的代号填入答题卷相应表格中．）
1．将一些棱长为1 的正方体摆放在3 ⨯ 3 的平面上（如图 1 所示），其正视图和侧视图分别如图 2、图 3，记摆放的正方体个数的最大值为m ，最小值为n ，则m - n = （ ）
A ． 4
B ． 5
C ． 6
D ． 7
2.多项式4( x 2
+ 1) + ( x + 1)2
( x - 3) + ( x - 1)3
等于下列哪个选项（
）
A ． 2x ( x - 1)
2
B ． 2x ( x + 1)( x - 1)
C ． x ( x + 1)( x - 1)
D ． 2( x - 1)2
( x - 1)
3. 甲、乙两人在玩一种纸牌，纸牌共有40 张.每张纸牌上有1 至10 中的一个数，每个数有四种不同的花色.开始时，
每人有20 张牌，每人将各自牌中相差为5 的两张牌拿掉，最后甲还有两张牌，牌上的数分别为4 和a ，乙也还有两张牌，牌上的数分别为7 和b ，则b - a 的值是（ ）
A ． 3
B ． 4
C ． 6
D ． 7
4. 已知 x 为实数，且| 3x - 1 | + | 4x - 1 | + + | 17x - 1 |的值是一个确定的常数，则这个常数的值是（
）：
A ． 5
B ． 10
C ． 15
D ． 75
5. [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数( 如[ ] =3, [ - ] =- 4, [ - 4] =- 4) , 记M =[ x ] +[ 2x ] +[ 3x ] . 整数称为“隐形数”.则不超过2014 的“隐形数”的个数是( )
将不能表示成 M 形式的正
A ． 335
B ． 336
C ． 670
D ．
671
6. 如图，点O 为锐角∆ABC 的外心，点 D 为劣弧 AB 的中点，
若∠BAC =,∠ABC = ,且> ,则∠DCO =(
)
- -
+
+
A.
B ．
C ．
D ．
2 3 3 4
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分．将答案填在答题卷中
上．）
相应横线
B
D
O
C A
第6题图
x 2 - 4x + 13 x 2 + 4x + 8 2x 2
- x
3
2 - x 7. 如果不等式| x - a | + | x |< 2 没有实数解，则实数a 的取值范围 ；
8. 已知实数 x = x ，则 x 的取值范围是
；
9. 函数 y = -
的最大值为
；
10. 设a 、b 为实数，已知坐标平面上的抛物线 y = x 2
+ ax + b 与 x 轴交于 P 、Q 两点，且线段 PQ = 7 .若抛物线
y = x 2 + ax + b - 8 与 x 轴交于 R 、S 两点，则线段 RS =
；
11. 正方形 ABCD 中，两个顶点到直线l 的距离相等，且均为另两个顶点到直线l 的距离的两倍，则这样的
直线有
条；
12. 使二次方程 x 2
- 2 px + p 2 - 5 p - 1 = 0 的两根均为整数的质数 p 的所有可能值为
；
13. 在平面直角坐标系中,不管实数a 取什么实数,抛物线 y = ax 2
+ 2x + 3 的顶点都在同一条直线上,这条直线的函数关
系式是 ；
14. 已知实数a , b , c 满足a + b + c = 1 ，
1
+
1
+
1
= 1 ，则 abc =
； a + b - c b + c - a c + a - b
15. 如图， P 为等边∆ABC 内一点， PA = 2, PB = 1, PC = 3, 则∆ABC 的面积为
；
16. 如图，在∠AOB 的边OA 上过到点O 的距离为1, 3, 5, 7, …的点作互相平行的直线，分别与OB 相交，得到如图中所
示的阴影梯形，它们的面积依次记为 S 1 , S 2 ,
S 3 , …． 则 S 2014
S = ．
2013
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分．将答案填在答题卷中相应位置处，答题应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．）
1 1
17.（本题满分 10 分）计算 +
4 + 59 + 30 2 3 - 66 - 40 2
B
A
P C
第15题图
O
S 1 1 3
5
S 2 7
9
S 3
11… A
B
第16题图
第19题图
18.（本题满分 12 分）甲、乙两辆汽车同时从同一地点 A 出发，沿同方向直线行驶，每辆车最多只能带240L 汽油
（含油箱中的油），途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km ，两辆车都必须沿原路返回出发点 A ，但是两车相互可借用对方的油.请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发点 A ，并求这辆车一共行驶了多少千米？
19.（本题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 内接于 O ， AB 是 O 的直径， AC 和 BD 相交于点 E ，且
DC 2 = CE ⋅ CA .
（1） 求证： BC = CD
（2） 分别延长 AB ， DC 交于点 P ，过点 A 作 AF ⊥ CD 交CD 的延长线于点 F ，若 PB = OB , CD = 2 2, 求
DF 的长．
20.（本题满分 13 分）如图，已知抛物线 y = k
( x + 2)( x - 4) （
k 为常数，且k > 0 ）与 x 轴从左至右依次交于 8
第20题图
A ,
B 两点，与 y 轴交于点
C ，经过点 B 的直线 y = -
（1） 若点 D 的横坐标为-5 ，求抛物线的函数表达式；
3 x + b 与抛物线的另一交点为 D ．
3
（2） 若在第一象限内的抛物线上有点 P ，使得以 A , B , P 为顶点的三角形与∆ABC 相似，求k 的值；
（3） 在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF ，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒
1 个单位的速度运动到 F ，再沿线段 FD 以每秒
2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在
整个运动过程中用时最少？
21.（本题满分 13 分）一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“好数”.例如，
16 = 52 - 32 就是一个“好数”.
（1） 2014 是不是“好数”？说明理由.
（2）从小到大排列，第2014 个“好数”是哪个自然数？
4 + 50 + 2 450 + 9 3 - 50 - 2 800 + 16
4 + (
5 2 + 3)2 1 7 + 5 2 1
7 - 5 2
2 3 - (5 2 -4)2
⎩
数学试题答案及评分标准
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．）
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分．）
三、解答
17.解：原式=
1
+
1
=
1 +
=
+ ............................................................................. 5 分
= 5 - 7 - 7 - 5
= -14 .................................................................................... 10 分
18.解:设尽可能远离出发点 A 的甲汽车行驶了 xkm ,乙汽车行驶了 ykm ,则
⎧ x + y ≤ 240 ⨯12 ⨯ 2 ⎨
x - y ≤ 240 ⨯12
而 x = 1 ( x + y ) + 1 ( x - y ) ≤ 4320 ,即甲车一共行驶了4320km ................................ 6 分 2 2
具体的方案是:两辆汽车行驶了720km 后,乙车借给甲车60L 汽油,并在此地等着,甲车继续前进1440km 后返回,碰到乙车时再借60L 汽油,然后两车回到出发点 A ...................... 12 分
19.（1）证明：
2
题号 1 2 3 4 5 6 答案
C
B
D
A
D
A
题号
（7） （8） （9） （10） （11）
答案
a ≥ 2或a ≤ -2
0 ≤ x ≤ 2
17
9
12 条 题号 （12）
（13）
（14）
（15）
（16）
答案
题（本大
3 或 7
题共 5 小题，共
y = x + 3 60 分．答题应
写出文字说明 7 3 4
、证明过程或演 4027 4025 算步骤）
AB 2 - BC 2 82 - (2 2 )2 2 14 2 2
PC + 2 2 DC 2 = CE ⋅ CA ,
∴ ∆CDE ∽ ∆CAD ∴ ∠CDB = ∠DBC ， ∵四边形 ABCD 内接于 O ，
∴ BC = CD ..................................................................... 3 分
（2） 解：如图，连接OC ，
∵ BC = CD ，∴ ∠DAC = ∠CAB ，
又∵ AO = CO ，∴ ∠CAB = ∠ACO ，∴ ∠DAC = ∠ACO ，
PC
PO
∴ AD ∥ OC ，∴ =
, PD PA
PC
2
∵ PB = OB , CD = 2 2, ∴
= ,∴ PC = 4 3
又∵ PC ⋅ PD = PB ⋅ PA ∴ PA = 4 也就是半径OB = 4 ， ……………………6 分
在 RT ∆ACB 中， AC = = = 2
第 19 题图
∵ AB 是直径，∴ ∠ADB = ∠ACB = 90︒ ∴ ∠FDA + ∠BDC = 90︒ , ∠CBA + CAB = 90︒ ∵ ∠BDC = ∠CAB ∴ ∠FDA = ∠CBA 又∵ ∠AFD = ∠ACB = 90︒ ,∠AFD =∠ACB =90°
∴ ∆AFD ∽ ∆ACB ∴
AF = AC
= = FD CB 7, ...................................... 9 分
在 RT ∆APF ，设 FD = x ，则 AF = 7x ，
∴ ( 7x )2 + ( x + 6 2 )2 = 122, 求 得 DF =
3 2 .………………………………12 分
2
20.解：（1）抛物线 y = k
( x + 2)( x - 4) ，令 y = 0 ，解得 x = -2 或 x = 4 ，
8
∴ A (-2, 0) ， B (4, 0) ．∵直线 y = -3 x + b 经过点 B (4, 0) ，∴解得b =
4 3 ，
∴直线 BD 解析式为： y = -
3 3
3 x +
4 3 ． 3 3
k
当 x = -5 时， y = 3 3 ，∴
D (-5, 3 3) 在抛物线 y = ( x + 2)( x - 4) 上，
8
解得b = 8 3
． ........................................................................................................... 3 分
2. 14,
2 3 （2） 由抛物线解析式，令 x = 0 ，得 y = -k ，∴ C (0, -k ) ， OC = k ．
点 P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP 为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是∆ABC ∽ ∆APB 或∆ABC ∽
∆ABP ．
①若∆ABC ∽ ∆APB ，则有∠BAC = ∠PAB ，如答图 2﹣1 所示．设 P ( x , y ) ，过点 P 作 PN ⊥ x 轴于点 N ，则
ON = x , PN = y ．
tan ∠BAC = tan ∠PAB
，即： k =
y
,∴ y = k
x + k .
2 x + 2 2
k 2 ∴ P ( x , x + k ) ，代入抛物线解析式整理得： x - 6x - 16 = 0 ， 2
解得： x = 8 或 x = 2 （与点 A 重合，舍去），∴ P (8,5k ) ．
AC
AB ∵ ∆ABC ∽ ∆APB ，∴
=
，
AB AP
k 2 + 4
6
即
=
，解得： k =
6
．....................................................... 7 分
②若∆ABC ∽ ∆ABP ，则有∠ABC = ∠PAB ，如答图 2﹣2 所示．同理，可求得k = ．
4 5 综上所述， k 5
或k =
． ................................... 9 分
（3） 由（1）知： D (-5, 3 3) ，如答图 3，过点 D 作 DN ⊥ x 轴于点
DN
3
N ，则
∠DBA = 30︒
, DN = 3 ，
ON = 5, BN = 9, ∴ tan ∠DBA = = , ∴ BN 3
过点 D 作 DK x 轴，则∠KDF = ∠DBA = 30︒,
1
过点 F 作 FG ⊥ DK 于点G ，则 FG = t = AF + 1
DF = AF + FG ．
2
DF ．由题意，动点 M 运动的路径为折线 AF + DF ，运动时间：
2
25k 2 + 100
4 5
5
2 =
由垂线段最短可知，折线AF +FG 的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段．过点A 作AH ⊥DK 于点H ，则t min=AH ，AH 与直线BD 的交点，即为所求之F 点．
∵ A 点横坐标为-2 ，直线BD 解析式为：
y =- 3
x +
4 3
∴ F (-2, 2 3) ....................................................................... 13 分3 3
21、（1）2014 不是“好数”.如果2014 是“好数”，不妨设2014 =m2 -n2 (m、为自然数，) 则
(m +n)(m -n)=2⨯1007 ，而m +n、m -n 的奇、偶性相同，即(m +n)(m -n) 要么是奇数要么能被4 整除.所以
2014 不是“好数”................................ 4分
(2)设k 为自然数，由（1）类似可得如4k + 2 的自然数都不是“好数”
（k + 1)2 - (k - 1)2 = 4k,(k + 1)2 -k 2 = 2k + 1 ，
故4k, 2k +1的自然数都是“好数”， ............................................................................. 10 分
所以从小到大的“好数”为：0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,……所以第n 个“好数”为n - 1 + [n]
，所以第2014 个“好数”
3 为2684. ....................................................................................... 13 分
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。