等维递补灰色预测法

符号说明
0X
灰色模型参考序列 0ˆX 参考序列的预测值 1X
灰色模型一次累加后的序列
)(k λ
数列级数比 p 分辨率 r 关联度检验标准
a 发展灰数 u
内生控制灰数 α
待估参数向量
i e
第i 个数据的残差与残差均值之差
φ
相对误差
在建立灰色模型的过程中，如果把这32年的数据作为初始序列，则数列级数
比32...3,2,)
()1()()
0()0(=-=k k X k X k λ，不满足全部落入（342
33
2
,e e -）的范围中，这样我们就得不到一个非常满意的GM （1,1）模型。

因此在考虑到1979-2003年的变化趋势基本相同的前提下，我们只采用了2001到2010年的数据来建立模型
灰色系统理论的基本观点
1、灰色系统理论认为任何随机过程都是一定幅度值范围、一定时区内变化的灰色量，所以随机过程是一个灰色过程。

在处理手法上，灰色过程是通过对原始数据的整理
来寻找数的规律，这叫数的生成。

2、灰色系统理论认为：尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，总是有序的，对原始数据作累加处理后，便出现了明显的指数规律。

这是由于大多
数系统是广义的能量系统，而指数规律便是能量变化的一种规律。

生成数的主法
随机过程在灰色系统里被称为灰色量，灰色系统对灰色量的处理既不找概率分布，也不寻求统计特征，而是通过数据处理方法来寻找数据表现的规律，这种数据处理
方法称为生成法，灰色系统中主要有累加生成和累减生成。

累加生成
记原始序列为：
{}
n)(,2),(,1)(0000X X X X =
生成序列为：)}(),...,2(),1({0001n X X X X = 其中：∑=+-==
K
i K X K X i X
X 1
010
1
)()1()(
累减生成
)1()()(110--=K X K X K X K=2,3,...,n
关联度
关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法。

计算关联关需先计算关联系数。

关联系数计算方法：
设参考序列为{})()3(),2(),1()(00000n X X X X K X =
被比较序列为
{}
)(),3(),2(),1()(n X X X X K X i i i i i =
关联系数定义为：
)
()(max max p )()()
()(max max p )()(min min )(0000K X K X K X K X K X K X K X K X K n i i i i i -⋅+--⋅+-=
其中：（1）
)
()(0K X K X i - 为第K 点X0与Xi 的绝对差。

（2）
)
()(min min 0K X K X i n
i
- 为两级最小差。

其中
)()(min 0K X K X i -是第一级最小差，表示在Xi 序列上找各点与X0的最小差。

)
()(min min 0K X K X i -为第二级最小差，表示在各序列找出的最小差基础上寻求所有序
列中的最小差。

(3）
)
()(min min 0K X K X i - 是两级最大差，其含义与最小差相似。

（4）p 称为分辨率0＜p ＜1，,P 越大，分辨率越大，一般采取P ＝0.5
（5）对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数前应首选进行初值化，即将该序列所
有数据分别除以第一个数据。

2、关联度
被比较序列与参考序列的关联度是各类关联系数的平均值，即
∑==n
K i i K n r 1
)
(1η
一、GM （1.1）模型
设时间序列X0有几个观察值，
{}
n)(,2),(,1)(0000X X X X =，累加生成序列{}
n)(,2),(,1)(0
101X X X X =，生成序列X1满足：U ax dt dX =+11
式中a 称发展灰数，
U 称内生控制灰数。

设α
ˆ为待估参数向量，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=u a α
ˆ，利用最小二乘法求解可得
n T T Y B B B 1)(ˆ-=α
，其中[
][]
[]
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡+--+-+-=1)()1(2/11)3()2(2/11)2()1(2/1111111n X n X X X X X B ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()4()3()2(00
00n X X X X Y n
a u e a u X i X ai +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+-)1()1(ˆ01 ， )(ˆ)1(ˆ)1(ˆ110i X i X i X -+=+
二、模型检验
灰色预测模型检验一般有残差检验，关联度检验和后验差检验。

1.残差检验
首先按模型计算)1(ˆ1+i X ，其次将)1(ˆ1+i X 累减生成)(ˆ0i X ，最后计算原始序列)(ˆ0i X 与
)(ˆ0i X 的绝对残差），（n i i X i X i ,1,2,)(ˆ)()(000 =-=∆及相对误差
[]
),,2,1(,/Φ00n i %(i)X (i)Δ＝ =
2.关联度检验
按关联度计算方法算出)(ˆ0i X 与原始序列)(ˆ0i X 的关联系数，然后算出关联度，根据经验，
当p=0.5时，关联度大于0.6便是满意的。

3.后验差检验
（1）首先计算原始序列的平均值∑==n i i X n X 1
)
(1
（2）再计算原始序列的均方差
1
1-'
=
n S i S 其中
∑-='2001
))1((X X S
（3）再次计算残差 )(0
i ∆ 的均值0∆=∑∆)(10i n
（4）然后再求残差的均方差 1
2'2-=n S S ，式中[]
2
002
)(∑∆-∆='i S
（5）计算方差比
1
2S S C =
（6）计算小误差概率{
}1
006745.0)( S i P <∆-∆=
令
{}
01000,6745.0,)(S e P S S i e i i <==∆-∆=即
不合格
勉强合格合格则有若 好195%65.065.050.035.0c
70.070.080.095.00=≥<<<≤>>>P S Δp i ，小于
若相关误差，关联度、后验差检验在允许范围之内，则可用所建模型进行预测，否则应进行
残差修正。