1.1.2余弦定理资料

1. 1. 2 余弦定理
I .知识归纳
1.余弦定理:
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与他们夹角的余弦的积的 2
倍，即：
c 2
a 2
b 2 2ab cos C
b 2 a 2
c 2 2ac cos B
a 2
b 2
c 2 2bc cos A
2.理解定理：
⑴从余弦定理的三个等式中，可得到它的变形，即余弦定理的推论:
由余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平
方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的 角是钝角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角；由此可知, 余弦定理可以看作勾股定理的推广。

⑵余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具。

在一个三 角形中，如果知道了两边及其夹角的值，由余弦定理就可以求出第三边
⑶余弦定理的每一个等式中包含四个不同的量，他们分别是三角形的三边和一个角，知 道其中三个量，便可求得第四个量。

由余弦定理的结构可知，应用余弦定理，我们可以利用 已知的两边和夹角，计算出三角形的第三边，在结合三角形的正弦定理及内角和定理，可求 出其他的角，即已知两边和他们的夹角，可求第三边和其他两个角。

由余弦定理的推论可 知，利用三角形的三边可以计算出三角形的三个角。

⑷余弦定理的推导应牢牢抓住勾股定理： c 2 a 2 b 2，并依此为思考线索得出结论
(推导过程见课本)
n .重难点知识讲解
1 •余弦定理证明的其他方法 (1) 用坐标法证明余弦定理
如图：以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则
A （0，0）、
B （c ， 0）、
C （bcosA ，bsinA ），
1.1.2
余弦定理
cosA .2 2 2
b c a
2bc
cosB
2 2 . 2
a c
b 2ac
cosC
由两点间距离公式得
B C= b2cos2A—2bccosA+ c2+ b2sin 2A,
即a2= b2+ c2—2bccosA.
2 2 2 2 2 2
同理可证：b = a + c —2accosB, c = a + b —2abcosC.
(2) 用勾股定理证明余弦定理
①当三角形为锐角三角形时，如图，AA bsinC ,
BD= BC—CD= a—bcosC.
在Rt△ ABD中，根据勾股定理AB= AD+ BD,
2 2 2
所以c = (bsinC) + (a —bcosC).
整理得c2= a2+ b2—2abcosC.
②当三角形为钝角三角形时，
如图AD= bsinC，
D BD= CD- BC= bcosC—a，
在Rt△ ABD中，根据勾股定理，
2 2 2
整理得c = a + b —2abcosC.
同理可证：a = b + c —2bccosA,
.2 2 2
b = a +
c —2accosB.
2.余弦定理与勾股定理之间的联系
(1) 对于余弦定理c2= a2+ b2—2abcosC中，若C= 90°,则fe2= a2+ b2,此即为勾股定理，
也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况.
(2) 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具.
有A B=A D+B D,
2 2 2
即c = (bsinC) + (bcosC —a),
①在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.
②余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.
特别提示：在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.
3•解三角形问题的类型
解三角形的问题可以分为以下四类：
(1) 已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形.
此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数.
(2) 已知三角形的两角和任一边，解三角形.
此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边•若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
(3) 已知两边和它们的夹角，解三角形.
此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角.
(4) 已知三角形的三边，解三角形.
此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角.
要解三角形，必须已知三角形的一边的长•若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解.
川.例题分析
题型一余弦定理的简单运用
例1 .在ABC中，已知 a 2.3 , c 6 2 , B 600，求b 及A
⑴解：I b2 a2 c2 2accosB =(2 3)2 ( 6 ,2)2 2 2 3( 6
=12 ( 6 .2)2 4、3(. 3 1)=8 • b 2 2求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:
解法二：•••sin A 壽E0,
评述：解法二应注意确定A的取值范围。

题型二余弦定理的综合运用
且 2 cos(A B) 1,求AB的长。

AB . 10
题型三正、余弦定理的综合应用
例3如图，在四边形ABCD中，BC= a，DC= 2a，四 B
C、D的度数之比为3 : 7 : 4 : 10,求AB的长.
【点拨】由题目可获取以下主要信息：
①BC=a, DC=2a；2) COS450
⑵解法一：••• cos A ^a2 (2 2)2 ( 6 2 )2 (2 3)2
2bc 2 2 2 (.6
、2) 1
2,
• •• A 60°
又•/ 6 2 > 2.4 1.4 3.8, 2 3 V 2 1.8 3.6, • a V c，即卩0 V A V 900, 600
例2.在ABC 中, BC a, AC b,a,b是方程x2 2 3X 2
解：ABC 且2cos(A B) 1, cos( C) 又a, b是方程x22、3x 2 0的两根,
1
2，
b 2、3,a
即cosC
AB2 AC2 BC2
2 2 1
a b 2ab(-)
2 2 AC BC cosC
2 2 2 a b ab (a b) ab (2、3)2 2 10
个内角A、
②四个内角A、B C、D度数之比为3: 7: 4: 10.
解答本题可先由四个内角之比及四边形内角和为360°得到四个内角的大小，在△BCD中用余弦定理求BD,再在△ ABD中用正弦定理求AB.
【解析】设四个内角A B、C、D的大小为3x、7x、10x、10x(x>0)，
由四边形内角和为360 °可得，
3x + 7x+ 4x + 10x = 360°,「. x= 15°,
即A= 45°, B= 105° , C= 60°, » 150° .
连接BD在厶BCD中，由余弦定理得，
BD 2= a2+ (2a) 2—2 • a • 2a • cos60 ° = 3a2,
••• BD= .,3 a.
此时，CE J=B C+B D,且BC= - CD
2
•△ BCD为直角三角形，且/ BDC= 30°,
•••/ ADB= 150° —30°= 120°.
在厶ABD中，
.. AB = BD
sin ADB sin A
BD sin ADB V3asin120 3门
• AB= = = a
sin A sin 45 2
【规律方法】在多边形的计算中需构造三角形解决，应恰当地将多边形分解为几个三角形，通过作辅助线转化为三角形中的问题，并根据给出条件选择余弦定理或正弦定理求解.本题中求/ ADB的度数是关键，要善于挖掘隐含条件BC+ BD= CD.也可通过余弦定理求出/ BDC的度数.
IV .课时小结
(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
(2)余弦定理的应用范围：①•已知三边求三角；②•已知两边及它们的夹角，求第三边。

练习:
选择题
2 2 2
1.在△ ABC 中，a c b ab，则角。

为(
A. 300
B. 600
C. 450或1350
D. 1200
2 .在△ ABC中，已知AB = 4.6
cosB f ,AC边上的中线BD= 5，则沁的
值为( )
A.
70门V70 C <70
B. C. -
171214
D.
10
14
3 .在△ ABC 中，若(a b c)(b c a) 3bc，并有sinA二
( )
A.直角三角形 E.等边三角形C. 等腰三角形
二、填空题
«.△ABC 中，AE = 2,EC=5,S △ABC =4,则AC
5. 在厶ABC 中，已知b 1,A 600, S“BC=J3,则
sin A 三、解答题
7.已知圆内接四边形ABCD的边长AB = 2，BC=6，C
BCD的面积
参考答案
1.A 2 . C3.B
4. J7或.41厂2.39
5.
3
6. 解由余弦定理，知
2 2 2
abc 2bc cos A
2 2 2
b a
c 2ac cos B
••• a2 b2 b2 a2 2bccos A 2ac cos B
2 2
a b sin A cos B cos A sin B
c sin C
sin (A B) 2 sinBcosC那么△ ABC 是
D.等腰直角三角形
6.在△ ABC中，角A、C对边分别为a, b,c，证明2
a
2
c
b2sin(A B)
sin C
= DA=4，求四边形A
sin C
7. 解如图，连结ED,则四边形面积
S = S△ABD + S △ BCD
1 1
= ^AB AD si nA 丄BC CD si nC
2 2
••• A+C=180°
... sin A = sin C
1
.•.S= — (AB AD BC CD)sin A
2
=16 sin A
由余弦定理,知在△ ABC中，
BD22242 2 2 4cosA 20 16cosA 在厶CDB 中,BD252 48 cosC
.20 16cosA 52 48cosC
又cosC cosA
1
cosA , .-A= 120°
2
.•S= 16sin A= 8 \ 3。