(完整word版)高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解

（舍去）.
1 _ 1 _ 1
%"*和(2ri - l)*(2n + 1)
2
1 _ 1
'2n — 1 2n + 1
仏=扌（L 一 £）% _址=
J
，…
1, 1 1 .
2 v 2TI - 3
2n. - 1 (n>2)
高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解
1.已知数列临’是公差为正数的等差数列，其前n 项和为凡，且呦?
S\ = 16.
（I ）求数列'”｝的通项公式；
h _ 1
U ）数列覘满足耐“1
*1 虬—°
'
① 求数列卩"｝的通项公式；
② 是否存在正整数m,"E 弄⑴，使得加，妬叽成等差数列？若存在,求出 n 的值;若不存在，请说明理由.
解:⑴设数列的公差为d,则"A"
m,
(ai 十 d)(ai + 2d) = 15 4a |
+ 皿=16
计算得出 或
n+L - 九
一 b
n. —1
2r? - 1累加得:
n—1 Ji —1 3rt —2
K = 6j +2^i = 1 +
也符合上式.
ft
(n )①把数列 可求得数列
的通项公式；
，然后裂项 累加后即
②假设存在正整数
2n - 1
,使得
成等差数列，
In 一 2
当
7? + 1 = ；£ ，即 n — 2 时 川-,(舍去)； 当 71 + 1 = 9
，
即
71 = S
时 ,符合题意
解析
fjp
-成等差数列.
(I )直接由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等
差数列的通项公式得答案
J
1 in - 2
_L_I = 2? I
4n - 2
； _
呵 din - 2
，即加-
化简得:
存在正整数
n + 1
讨J"，使得
的通项公式代入
.由此列关于m的方程，求计算得出答案
解：(1)证明:皿“知+如-L 皿+ 1 U 1 =
I I?).
6=2
的最小项，求显的取值范围•
②假设存在正整数 丰 li} ,使得
虹几上成等差数列，则 叽■+ b It =
2b
…临宀町是以3为首项，公比为3的等比数列 ⑵由⑴知道
fl,, + 九=："» = a it + (1 — A)n,
若叫为数列 恒成立,
17
)中的最小项,则对匚有"
^±1)A>39-6A
?i>4
时，
时,
A>9
了厂 F H 12 = (n. + 4)(n ■ ■ 3) > 0 恒成立,
故
1)
rr 恒成立
即
对 —上［矿 + n, — 12) A
解析
的取值范围
3.在数列 I
1
2
｛诃中，已知y wpf 3,设钛
为M 1 的前n 项和.
（1）求证:数列1' “｝是等差数列；
⑵求
小项，则对 有
?實・1｝_啥+耳心；39-口
恒成立，分类分别求得当
"=1时和当"=恥的取值范围, ⑵由⑴求得数列 ,由
为数列
通项公式及前n 项和为
，则
n 2 一 26) I I62(n + I)
tj
如+1） ■
时为单调
⑴由
% 1 I 斤 + 1
,整理得
叫-I + 理 1 1 = 3(n.ri + R )
r;Ti t a.
《An \ li. ，可以知道
是以3为首项，公比为3的等比数列；
中的最
Ji >4
时, 加)=n^n-12
，利用做差法，根据函数的单调性，即可求恒成立.
•兀宀"一12对
恒成立,
对
综上,
/A</( 1)
，
即
出p,q,r 的值;若不存在，说明理由.
(1)证明：由
则’
2 -s
1
1
1 1 ,
* 一加 3 "
/ ~厂
+爪+…+莎)
3申
=--2x
2JI
:汩
所以
(3)是否存在正整数p,q.
r(p < < r}
,'成等差数列？若存在，求
得到
护+1"
数列
"丘』是以1为首项，以-2为公差的等差数列； ⑵由⑴可以推知：
= 1 — 2(/? — 1 j
所以,
3 -
2n % = 3n
所以
:厂
，
①
11 1 店 5 3爲_尹_尹_亍_事
，
②
(3)假设存在正整数p,q.r(p < Q < r)
成等差数列
因为当
-—<0
所以数列所以
所以
①当
单调递减.且q至少为2,
所以，等式不成立.②当
所以
所以,(数列｛久
｝单调递减,解唯一确定
)•
综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3.
解析
(1)
把给出的数列递推式 1 2
4屮-咅(5 管叶
1 g' ，变形后得到新数列 ‘)，该数列是以1为首项，以-2为公差的等差数列；
⑵由⑴推出"訂的通项公式，利用错位相减法从而求得求 九；
⑶根据等差数列的性质得到"& + Sr 从而推知p,q,r 的值. 4.已知n 为正整数擞列 ，设
数
<!… > (J 4(n + l)ait — t =【〕 满足 列 满足
⑴求证擞列 ｛手｝
'；为等比数列；
(2) 若数列 (3) 若数列 是等差数列，求实数t 的值; 是等差数列，前n 项和为
,对任意的
，均
存
，
使
得 成立，求满足条件的所有整数
仏｝
a,. > 0 ；数列 满r
(1)证明 A
Un + ljOf h - - TlOn-n = 0 4【十I _守 7^Ti =
数列 为等比数列，
其首项为 ，
公比为2;
⑵解:由⑴可得: * = 012"^1 y/n
h = |in 数列
等差数列,W'Z
t 2
计算得出
i»ft=
因此数列
综上可得
或12.
V
1
，是关于n的一次函数，因此数列
&n+l 一bn
卅(1
2?
H
4x3*+^
疋等差数
，不是关于n的一次函数，
不是等差数列.
(3)解:由(2)得
对任意的，均存
在，使
得
8oi % ■ a\ n~ = 1G治
即有
化简可得
-n(l 4- n) — cii4n2 = 16
= 2k- 1Z'6A?T
，
当,对任意的，符合题
意；
(2t- l)a it2- 4ft + 1
ru = -------- ----- =------------ --------
对任意的，不符合题意.
综上可得，当,对任意的，均存
在
使得成立.
解析
为偶数和奇数，化简整理，即可得到所求值. 解:⑴①
5.已知常数 (1)若
①求 的值;
②求数列
(2)若数列
，数
列
临｝
的前n 项和 中存在二项
的取值范围.
卄 口 «N 4I = \p - <^\ + 2伽 + p
满足
% 珂(口 们 A*X, r < s < /
依次成等差数
”陀=11 一ml F 加]+ 1 =
2
\ + 2^+1=0 + 2 [ 1 =
R41 = |1 — On| + 2% + 1 -■
当
ji >2 r a .> 1 时，叫，
当71>2 .
时,
耳和=- 1 + Ojr 1 2a ri+ 1 = :Jtifj，即从第二项起，数
列""是以1
为首项，以3为公比的等比数列，
数列
（叽上
2）
'的前n项和
显然当"二1时，上式也成立,
⑵
，
即
单调递增.
—>1
P
(i)当
若数列中存在二项依次成等差数列，则
(x)
\'s<t —1
2
.\2x3n_,= - x<们+沪
.因此
数列仏｝
中不存在三项
''不成立.因此此时
依次成等差数列.
于是当
若数列｛伽
｝
时，
有
a, >(i7 > p
时，
中存在三项
同（i）可以知道：\ 2<S<t- 1
.此时
pfPBWTj
.从而___ I
Or g N*、『弋寻U
.于是有
矛盾.
恥曽一气①+即）=aj \ 3
< -1
n-i + 2p
.于是
Cll<
依次成等差数列，则
—沐1
J
打-IjJ Cl< -卩
,即.
故此时数列｛%｝中不存在三项曲攸他依次成等差
数列.
巴—1
P
(巫)
当 .亠 f?l< - 时，有 P < Mi + 呻L 此时数列M )中存在三项心，血，"依次成等差数列
—-1-
综上可得： 解析
⑴①| + h 川卩，可得
ti2 = 11 — n J + 2a [ 1 = 2 — 2 + 1 = 1
J
同理可得 出=；f a 1 =乩
J
② iij = 1 (7屮】+ 1 = 1 — OfJ J
■+ 2% + L 、「，7l>2 r r
叽 >1 ,当一时,
7] >2
，当一'时，
O R -H = 一
1 十召+ 2碣 + 1 =加. ，即从第二项起，数列""是以1为首项,以3
为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式即可得出
S u ,
⑵ ■5^
On41 > On 可得 ，即 仏｝
单调递增•
口| —
_____
—
P ~
% =:心刑
(i)当
时,
，于，可得—
J
.利用反证
即可得出不存在
—]V V 1
fflBHn
(n) r p
z —p <
(ii < p
r ii >2 rf^>n J >
卩
当
时，有.
.此时一I .于是当
时，
•
■尹壬扪
从而」.假设存在2瓷=耳斗叭，同(i)可以知道1.得出矛盾，因此不存
/ ■ ■・ 1 巴—1
(lllf 当 P 时，
n t < — /J < 卩 ％
-4- p<() .于是 n .即可得出结论. 6.已知两个无穷数列 翼兀 6 = 1 的前n 项和分别 有 = 2占才+ $门+辽+朴和. ⑴求数列 的通项公式；
,对任意的 ML
，
都 ⑵若 ⑶若 仇｝
仇｝
解:⑴由 为等差数列，
对任意的 为等比数列，
ng
，
都
有 S n > T n
…,址=也，
求满足 li?n+l = '2、、\ 十 S K -I -2 H - Gfj 所以数列
.证明:
2(S 怦41 一
)=、科¥2 ~+1 十
1、I ~ ®fl4-1. 4-1 ~ ，
所以
，
可以知道 是以1为首项,2为公差的等差数列. 的通项公式为 2n - 1
⑵证法一：
设数列W 的公差为d, S n
=
- »(1 + 2)i.
— L)=儿 因为 ,所以
ft' > “以 + - 一 l)d
{2 ■忍)斤十d ■ 2机> 11
恒成立,
(
2 — r/^0
/
d<2
]出-绚> 0
] 绚< *
所以1 ，即
1
又由51>/1,得从\ 所以
O H — bjt — 2n — 1 — 6] — (n — 1)(/ = (2 — </)B + d — 1 — &, 32 — d + d — 1 — &i = 1
，得证.by > ()
所以 证法二：设
的公差为d,假设存在自然数
，使
得
fij + 2(创一 l)<6i + (TU , — 1)*
因为 ，所
以
所以 ni —山冬｛商■
- 2)
耳j — S fl = nfri 4 — n(n — l)d — n 2 = (- d - l)nr + (fri — —
士
2
d 1 > [)
AH' H > 九 I ；. - S H > () L 』、 因为
，所以存在 ，当
时 恒成立•
这与对任意的心，都有儿 > 儿”矛盾！ 所以％ A h ，得证•
⑶由⑴知，"一 "•因为d 为等比数列,
是以1为首项,3为公比的等比数列.
所以
rr [ 22
； 2n- 1丨泸一 I
3T[ 1 2n 一 9 _马
—2斤 1
rt t 2S ti ■ ■
r-1 1 2n 2
~出
2n 2
―"
:护- 1
+ 2沪
% + 2%
< 3.
x ，所以 fin ~ — 2n + 2 > 0 ,所以
九+9®
所以
因为 人=J 理-1).
馮 i
.
而 所以 --------- —=1 b tt f
曲1
一用 H ■" — 1 = ()(x). ，即
当”=1 ,2时「门式成立； 当n>i 时设弘｝=；屮'一 77’丨H - 1 则
y （n + I ） — f （7t ） = 3n — （n 4-1 尸 4~ TI 一（肿^ —淤 + n — 1） — 2（3n_1 — n ） 0
所以U = f ⑵U 能）C …< f® j <… 故满足条件的n 的值为1和2. 解析
⑴运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式 ，即可得到所求；
⑵方法一、设数列伽｝
的公差为d,求出儿 兀.由恒成立思想可得
方i < 1
J
求出％ 一虬判断符号即可得证；
方法二、运用反证法证明,设仏」的公差为d,假设存在自然数 孔宀 ,使得
'"「,推理可得」一
作差丄
,推出大于0,即可得证；
< 7+
b + 2 $
⑶运用等差数列和等比数列的求和公式，求得f "，化简"
，推出小
于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性
，即可得到所求值.
7.已知数列 "轴>，曲 都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大 的顺序排成
一列（相同的项视为一项）,则得到一个新数列
仏｝ ｛卜卄｝
⑴设数列
*,
卄佝=厉=L a f =
若
，
分别为等差、等比数列，
，
求
⑵设M的首项为1,各项为正整数,叽，若新数列M是等差数列，求数列R 的前n项和“r;
(2)设等差数列的公差为d,又,且，
所以d，所以6 = 1 一*・
因为枷=3
是中的项所以设
帕=环即心-1) = 2
⑶设比=q N_l(7
是不小于2的正整数),
c l = &]
，是否存在等差数
列
得对任意的，
在
之间数列的项数总是' 若存在，请
给出一个满足题意的等差数列；若不存在，请说明理由
•
解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
根据题意得,，计算得
出
或3,因数列单调递增,
时，计算得
出
，不满足各项为正整数；
，而等比数
列仇｝
的项都
C，Ti(ri+ 1)
是等差数列厲｝
冲的项所以
Sn~ 2
；…
时=
时,，此
时
，只需
取
悅=2n —1
殆=TI
当
当
:捫+ 1
:外=2m - 1，
得m =2:r:萨'
《1
疋奇
，此
时
，只需
取
是正偶数,m有正整数解，
由
时,
成立.
缶一 “屮a +i = fl"-1 一 口1 一 (1 + q + …+ q"
— 1) = 1■一旳 < 0
十…十旷I = T - fL] 一 (1 + Q +…#
解析
(1)设等差数列"材的公差为d,等比数列的公比为q,根据题意得
所以等比数列 ｛H
｝
的项都是等差数列 中的项，所以
综上所述，数列 ｛州｝
的前n 项和
(3)存在等差数列 ，只需首
项
下证
之间数列
_ n(n + 1) On —
的项数为
，
或
.即证对任意正整数 n,都有
所以首项
,公差 9-1
的等差数列
符合题意
间数列 ｛伽｝
的项数为 Tr
.即证对任意正整数 n,都有 作差利用通项公式即可得出 8.
对于数列 k>2
去曰V) -7 （l fl
i —包 ■ 1
11 + I 出 一口』+ ■…+ \a>k-i -'：：.:
(其中 ,都有 为数列 的前k 项“波动均值”.若对任意的 ,则称数列 仙｝
为“趋稳数列”. (1)若数列1,x,2为“趋稳数列”，求x 的取值范围；
⑵若各项均为正数的等比数列 的公比 列”； (3)已知数列 的首项为1,各项均为整数，
前k 项的和为 ,都有 ,试计算:
⑴円切)+兀沁十…+佃一 l)C r r ；H^)(N>2,neN)
解：
(1)根据题意可得 计算得出 ⑵证明：由已知，
设 k>2
是“趋稳数
.且对任意
丁亠
|1 一
工 ，
两边平方可得 故对任意的 ，都
有
2r + 1 > T 2 — I T + 4：
•円如）=I ----- I b —妇+ I 枷一阳I +・・・+ |如」
K
— 1 —-(加一也\址_如卜… +加T 一林)
—1
忡（WZ+…+ 9
J
1,=#H T
-Z (I
D ttr
(
飙
；
心黃
H (I S a:ol :E «
兰
U(I
S K H
( •E <
l
H 7d?u (E I £) —
(诒
I <
(一-丄旦 + •
:十
ff - +7-)——
7
一/
M 2
=!+:・ +
-M +■?-
H
(
云町
(■ +启
€ A (
M
+
刊丄 D 一 一
：
二饷十.+
SI 01
〔)£
A G —VI +
*
:
十
% 十孙十二宙丨
1)£
(-—-V + 列—
-V + ・・・
+ %
十5+ I)
GIV0 十…十
V
十 0 + I)
(■<+1+
…十*+0 十 DU 丄
)
A G —V -:・ + %
十0 - I 疋<
■ —左一 |亠〕
A E —
洛▼…+ * 一匕
二
■*,
t
A
Z :
T
L A
V
t < h
因为心1，且W 2，所以，从而心卄,
所以
)
帀” =j^[ (II-(-2)1 + 1(-2) 一(-纳+ …+ K-2f-1-(-2)1l|) =警二
C；P(a2)+ + RG；H"d + 5 - l)q：P｛%)
J
=3[(^*2 + <^*22+ 0卜护+「「W1-1) 一(匚詈 + © + G：十，…+ C；；)]
=3|| (3" 一2n- 1) - (2r,- n - 1)] = | (3Tt- 2rr+l + 1)
解析
11 -al + L T一21
|1 —工I > «
(1)由新定义可得- ，解不等式可得x的范围；
(2)运用等比数列的通项公式和求和公式，结合新定义，运用不等式的性质即可
得证；
A'> 2斤已¥耳尺&卜)=2H砒)
⑶由任意,,都有丿，可得
(k一一(血一2)HSt it = M
'」2 ''，由等比数列的通项公式，可得
曲=(一2)四
,结合新定义和二项式定理，化简整理即可得到所求值.
ifaF
2 *
€
9•已知首项为1的正项数列｛a n｝满足'+ V a n+i a n，n
9
(2)设数列｛a n｝是公比为q的等比数列，S n为数列｛a n｝前n项的和，若-S n
V S n+i v 2S n, n€ N*，求q的取值范围；
(3)若a i, a2,…，a k (k>3成等差数列，且a i+a2+…+a k=120，求正整数k 的最小值，
以及k 取最小值时相应数列 a i ，a 2，…，a k ( k >3的公差. 解：(1)由题意，-a n+i v 2a n ,
3
••• 1 v xv 3,
-v x v 2x ,
• x €( 2, 3).
1 I
(2)： ' a n v a n+i v 2a n ,且数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列，a i =1 , 1
q n-1v q n v 2q n-1,
•-
q n-1(q-
1
2
)> 0, q n-1(q-2) v 0,
•q €(
1
2 ,1).
••• - S n v S n +1 v 2S n ,当 q=1 时，S 2=2S i ，不满足题意,
I
1M I 1一严」 T
2 1—(j
1
当 q Ml 时，
v ' v 2?
,
[Y (勿一 I)"
\
，即*
f g"(
~I
1 0乜旷1)A1
］皿却1)A 】
②当q €( 1, 2)时，
1
，即 1
，无解，
1
「•q€(
2
,1).
(3)设数列a i, a2,…，a k (k>3的公差为d.
1
~ a n V an+1v2a n,且数列a i, a2,…，a n成等差数列，
二a i=i,
1
2
[1+(n-1)d] V 1+nd v2[1+(n-1)d] , n=1, 2,…，k-1 ,
d(n hl) >—1
42-n) <1
1
•-d€(-匸,1).
•' a i+a2+…+a k=120,
d d.d d
二S k=
2 T
-k2+(a1-
)k
2k2+(
1-)k=120, 21U- 2A-
--210-2^
€(-
I
,1),
••• k €( 15,239
)
,k €
N* ,
13
••• k的最小值为16,此时公差d= Ll
解析
【解题方法提示】
I 1
分析题意，对于（1）,由已知结合完全平方公式可得一a n v a n+1 V 2a n,由此可得到关于82, 83, a4的大小关系，据此列式可解得x的取值范围；
1
根据2 a.<a n+K 2a n,以及等比数列的通项公式可得
q€
( 1
2
,1), 再
扌结
合
1
-S n< S n+1 < 2S n以及等比数列的前n项和公式分类讨论可得
q的取值范围；
1
设公差为d,根据-a n< an+i< 2a n,以及等差数列的通项公式可得
d€ (-
1 $
1),然后根据等差数列的前n项和公式结合题意可得
d=:,由此可
解得k的取值范围，进而得到k的最小值和d的值.。