高中数学232 数学归纳法的应用评估训练 A选修22 试题

卜人入州八九几市潮王学校第2课时数学归纳法的应用
1．利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是
()．A．增加了这一项
B．增加了和两项
C．增加了和两项，同时减少了这一项
D．以上都不对
解析不等式左端一共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，比照两式，可得结论．
答案C
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除〞的第二步是
()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确
B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确
C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确
D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)
解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，此题即假设n ＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．
答案B
3．平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个局部，那么f(n＋1)等于
()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2
解析要使这n条直线将平面所分割成的局部最多，那么这n条直线中任何两条不平行，任何三条不一共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或者射线，这n＋1条线段或者射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1局部．
答案C
4．S n＝＋＋＋…＋，那么S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.
解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝.
答案
5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除〞第一步应验证n
解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．
答案2x2k－y2k能被x＋y整除
6．用数学归纳法证明：
1＋＋＋…＋＜2－(n≥2)．
证明：(1)当n＝2时，1＋＝＜2－＝
(2)假设当n＝k＋＋…＋＜2－，当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋－＝2－
由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．
7．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，以下说法正确的选项是
()．A．增加了一项
B．增加了两项和
C．增加了B中的两项，但又减少了一项
D．增加了A中的一项，但又减少了一项
解析当n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，
当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋.
答案C
P(n)满足：假设n＝k(k∈N*)成立，那么n＝k＋1成立，下面说法正确的选项是()．
A．P(6)成立那么P(5)成立
B．P(6)成立那么P(4)成立
C．P(4)成立那么P(6)成立
D．对所有正整数n，P(n)都成立
解析由题意知，P(4)成立，那么P(5)成立，假设P(5)成立，那么P(6)成立．所以P(4)成立，那么P(6)成立．
答案C
9．1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a、b、c的值是________．解析∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即：
整理得解得a＝，b＝c＝.
答案a＝，b＝c＝
10．数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜想得出a n的表达式为________．解析a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜想a n＝.
答案a n＝
11．求证：1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n.
证明(1)当n＝1时，f(1)＝1＋，原不等式成立；
(2)设n＝k(k∈N*)时，原不等式成立
即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k成立，
当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝f(k)＋＋＋…＋≥1＋＋＋＋…＋>1＋＋
＝1＋＋＝1＋，
f(k＋1)＝f(k)＋＋＋…＋≤＋k＋＋＋…＋<＋k＋
∴f(k＋1)<＋(k＋1)即n＝k
n∈N*恒成立．
12．(创新拓展)数列{a n}满足S n＝2n－a n，n∈N*，先计算前4项后猜想a n，并用数学归纳法证明．证明当n＝1时，S1＝2－a1，∴a1＝1，
n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝，
n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝，
n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝.
∴猜想a n＝.
用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，猜想成立，
②假设n＝k时猜想成立，即a k＝成立．
那么，当n＝k＋1时，S k＋1＝2(k＋1)－a k＋1＝S k＋a k＋1＝2k－a k＋a k＋1，∴2a k＋1＝2＋a k＝2＋＝，∴a k＋1＝，即n＝k＋1时猜想成立．
由①②可知，对n∈N*猜想均成立．。