2020届浙江省杭州市第二中学高三下学期3月月考数学试题

2020届浙江省杭州市第二中学高三下学期3月月考数学试题
注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．已知集合{}=13M x x ，{}2N x x =>，则集合()R M N ⋂
=（ ） A ．{}12x x
B ．{}1x x
C ．{}12x x <
D ．{}
23x x < 2．设双曲线22
2109
x y a a =>-（）的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为 （）
A ．35
B ．45
C ．54
D ．53
3．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有（ ）
A ．log a x >log b y
B ．sin a x >sin b y
C ．ay >bx
D ．a x >b y
4．将函数y ＝cos （2x ＋φ）的图象向右平移
3π个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为（ ）
A ．12π
B ．6π
C ．3π
D ．56π 5．函数()()1e 2cos 1x f x x -=--的部分图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．随机变量ξ的分布列如下：
其中a ，b ，c 成等差数列，则D ξ的最大值为（ ）
A ．23
B ．59
C ．29
D ．34
7．已知单位向量1e ，2
e ，且1
212e e
⋅=-
，若向量a 满足125()()4
a e a e -⋅-=，则
||a 的取值范围为（
） A
．22
⎦
B ．11,]22
C ．12⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．2⎛
⎝
⎭ 8．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿直线BD 翻折成△A ′BD ，如图，则直线BA ′与CD 所成角的取值范围是（
）
A ．[,]32ππ
B ．[,]63ππ
C ．[,]62ππ
D ．[0,]3π
9．已知函数()()2,22,2,
x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g
x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为
A ．23
- B ．12- C ．34- D ．1-
10．已知数列满足，a 1＝1，a 2＝12
，且[3＋（－1）n ]a n ＋2－2a n ＋2[（－1）n －1]＝0，n ∈N *，记T 2n 为数列{a n }的前2n 项和，数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式21n n T b ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭·1n b <1成立的最小整数n 为（ ） A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、双空题
11．若)n x
的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n =__________；
该展开式中的常数项是__________．
12．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若a =
3c =，A =60°，则__________，ABC 的面积S=__________．
三、填空题
13．已知实数x,y 满足1
{210x x y x y m
≥-+≤+≤，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的
取值范围为 ，如果目标函数Z=2x-y 的最小值为-1，则实数m= ．
14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是
，则_________ ，该几何体的表面
积为 _________．
15．如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个
点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_____个．
16．若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ． 17．设点P 是△ABC 所在平面内一动点，满足CP CA CB λμ=+ ，3λ＋4μ＝2（λ，μ∈R ），||||||PA PB PC ==，若||3AB =，则△ABC 面积的最大值是________．
四、解答题
18．已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π，
（1）求ω的值；
（2）若07[,]412x ππ
∈且01()2
f x =-，求0cos2x 的值. 19．如图，已知四边形ABCD 是正方形，AE ⊥平面ABCD ，PD ∥AE ，PD ＝AD ＝2EA ＝2，G ，F ，H 分别为BE ，BP ，PC 的中点．
（1）求证：平面ABE ⊥平面GHF ；
（2）求直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值．
20．已知数列{a n }满足：a 1＝
12
，a n ＋1＝1e n a －（n ∈N *）．（其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…）
（1）证明：a n ＋1>a n （n ∈N *）；
（2）设b n ＝1－a n ，是否存在实数M >0，使得b 1＋b 2＋…＋b n ≤M 对任意n ∈N *成立？若存在，求出M 的一个值；若不存在，请说明理由．
21．如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线21:2,(0)C x py p =>的焦点，且抛物线1C 上
（1）当直线PQ
的方程为0x y -=时，求抛物线1C 的方程；
（2）当正数p 变化时，记12,S S 分别为,FPQ FOQ ∆∆的面积，求12
22S S 的最小值. 22．已知函数()02x x f x e e sinx x e π⎡⎤
=-∈⎢⎥⎣⎦
，，（为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的值域；
（2）若不等式()(1)(1sin )f x k x x --对任意02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）证明：1213()122
x e x ---+＞．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
先求出R N ，根据集合的交集运算进行求解即可．
【详解】 ∵{}{}R N x x 2N x x 2=>∴
=≤, 则集合(){}R M N x 1x 2⋂=
故选:A
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，熟练计算是关键，比较基础．
2．C
【解析】
【分析】
根据题意得出5c =,再利用a,b,c 的关系，离心率公式得解.
【详解】 因为双曲线22
2109
x y a a =>-（）的两焦点之间的距离为10，所以210c =，5c =，所以22916a c =-=，所以4a =.所以离心率54e =
.故选C. 【点睛】
本题考查双曲线基本量a,b,c 的关系,离心率的公式,基础题.
3．D
【解析】
【分析】
举出反例说明ABC 不正确，利用指数函数和幂函数性质证明D 选项正确.
【详解】
对于A 选项，令3,2,3,2a b x y ====，显然log a x =log b y ，所以该选项不正确； 对于B 选项，令3,2,,,sin 0,sin 12a b a b x y x y ππ====
==，不满足sin a x >sin b y ，所以该选项
不正确；
对于C 选项，令3,2,0.5,0.1a b x y ====，显然不满足ay >bx ，所以该选项不正确； 对于D 选项，根据指数函数和幂函数的性质：x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，x y y a a b >>，所以该选项正确.
故选：D
【点睛】
此题考查根据已知条件比较大小关系，关键在于熟练掌握常见函数的性质，推翻一个命题只需举出反例即可.
4．B
【解析】
【分析】
根据平移方式求出平移后的解析式()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，是一个奇函数，则2,32
k k Z ππϕπ-+=+∈，即可求解. 【详解】
函数y ＝cos （2x ＋φ）的图象向右平移3
π个单位长度， 得到()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，是奇函数， 则2,32
k k Z ππϕπ-+=+∈， 7,6
k k Z πϕπ=+∈， 要使|φ|最小，即当1k =-时，6π=
ϕ. 故选：B
【点睛】
此题考查根据函数的平移变换求函数解析式，根据函数的奇偶性求参数的取值，需要熟练掌握正弦型函数的基本性质.
5．A
【解析】
【分析】
排除法，根据()1f 和()0f 的符号可排除B ，D ，再对函数求导，判断函数在()2,+∞上的单调性即可得出结论．
【详解】
解：()11f =-，∴舍去B ，()02cos10f e =->，∴舍去D ，
2x >时，()()22cos 1x f x e x -=--，
()()12sin 120x f x e x e -'∴=+-≥->，
∴函数()f x 在()2,+∞上单调递增，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题． 6．A
【解析】
因为a ，b ，c 成等差数列，122b a c,a b c 1,b ,c a,33
∴=+++=∴==- 2E ξa c 2a 3
∴=-+=-+， 222
2222D ξ12a a 2a b 12a a 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-⨯++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22821224a a 439333a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭. 则D ξ的最大值为
23
7．B
【解析】
【分析】 根据题意求出121e e +=，对已知等式变形处理为()21274
a a e e -⋅+=，结合()[]12cos ,1,1a e e +∈-，解不等式27411a a --≤≤即可得解.
【详解】 由题可得：12121121e e e e +=++⋅=，
125()()4a e a e -⋅-=，即()2121254
a a e e e e -⋅++⋅=， 所以()21274a a e e -⋅+=，()()[]212121274cos ,1,1a a e e a e e a e e a
-⋅++==∈-⋅+
解不等式组227417
41a a a a ⎧-⎪≤⎪⎪⎨⎪-⎪≥-⎪⎩
，得11[2]22a -+∈ 故选：B
【点睛】
此题考查平面向量数量积的应用，根据已知单位向量关系求向量模长，利用数量积和夹角余弦值的范围求解不等式组得向量模长的取值范围.
8．A
【解析】
【分析】
根据翻折过程中∠A ′BD =30°，BA ′可以看成以B 为顶点，BD 为轴的圆锥的母线，将问题转化为圆锥的母线与底面内的直线所成角的取值范围.
【详解】
由题：在等腰梯形ABCD 中，已知AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝2， 取BC 中点M ，连接AM ，易得四边形AMCD 是平行四边形，所以AM =DC =AB ，
所以△ABM 是等边三角形，则∠ABC =60°，∠ABD =30°，∠A ′BD =30°，CD ⊥BD ， 在翻折过程中，BA ′绕着BD 旋转，BA ′可以看成以B 为顶点，BD 为轴的圆锥的母线， CD 为圆锥底面内的直线，
将本问题转化为求解如图圆锥中母线与底面直线所成角的取值范围，
其中母线与轴夹角为30°，所以母线与底面直线所成角的取值范围为[,]32
ππ
故选：A 【点睛】
此题考查平面图形翻折问题，根据翻折变化求解直线所成角的取值范围，关键在于合理进行等价转化求解. 9．A 【解析】
函数()()()F x f x g x =-的零点为函数()y f x =与()y g x =图象的交点，在同一直角坐标下作出函数()y f x =与()y g x =的图象，如图所示，
当函数()y g x =的图象经过点（2，0）时满足条件，此时20
102
k -==-- ，当函数()y g x =的图象经过点（4，0）时满足条件，此时201
042
k -=
=-- ，当函数()y g x =的图象与2
2
11(0,0)x y x y -+=>>（）相切时也满足题意，
1= ，解得3
4k =-， 综
上所述，1k =-或12k =-
或3
4
k =-． 点睛:研究函数零点问题常常转化为函数的图象的交点个数问题.本题中已知函数
()()()F x f x g x =-有2个零点求参数k 的取值范围，转化为函数()y f x =与()y g x =图
象的交点，注意到函数()y g x =过定点（2，0），并且函数()y f x =
的图象是圆的一部分，
即
22
11(0,0)x y x y -+=>>（），在线的旋转过程中，求k 可得结论. 10．C 【解析】 【分析】
根据递推关系分奇偶求出数列的关系，求出2n T 2
1
12n
n =+-
，题目中的不等式等价于求使21
12
n
n +<成立的最小整数n . 【详解】
由题，当n 为偶数时，2420n n a a +-=，所以246,,,a a a ⋅⋅⋅是以a 2＝12为首项，1
2
为公比的等比数列，
当n 为奇数时，22n n a a +-=，所以135,,,a a a ⋅⋅⋅是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列， 所以()()1354622122n n n a a a a a a T a a -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+
()111221211212
n
n n ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+-⎝⎭=+
-2112
n n =+-，
数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，2n
n b =，
21n
n T b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·1n
b <1即21
12n n +<，
依次检验：当n =1时，不满足，当n =2时，不满足， 当n =3时，不满足，当n =4时，不满足，当n =5时，满足， 所以满足条件的最小正整数为5. 故选：C 【点睛】
此题考查根据递推关系分析数列关系，涉及利用等差数列和等比数列求和公式进行分组求和，讨论使不等式成立的最小正整数可以考虑依次检验. 11．3 -27 【解析】
（1）因为系数的绝对值之和为64，则当1x =时，有()3164n
+=，所以3n =； （2
）(()33332
13
3131k
k
k
k k k k
k T C
C x x ---+-⎛⎫==⋅⋅- ⎪⎝⎭
，
所以1k =，常数项为()1
1
233127C ⋅⋅-=-．
、
12．1或2
S =
或S =
【解析】
由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即27923cos60b b =+-⨯︒，即2320b b -+=，解得1b =或2，1b =
时，11sin 13sin 6022S bc A =
=⨯⨯⨯︒=
2b =
时，2
S =
． 13．m&gt;2，4； 【解析】
试题分析：要使不等式组1
{210x x y x y m
≥-+≤+≤所表示的平面区域形状为三角形，直线1x =与直
线210x y -+=的交点()1,1必在直线的左下方，所以2m >，画出该区域如下图所示：
由2z x y =-得：2y x z =-，由图可知，当直线2y x z =-过点()1,1A m -时在y 轴上的截距最大，z 最小，所以，()1211m -=⨯--，解得：4m =． 考点：简单的线性规划问题． 14．；
【解析】
试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面平面
，
并且
，
，所以体积是
，解得，四个侧面都是直角三
角形，所以计算出边长，表面积是
考点：1．三视图；2．几何体的表面积． 15．312 【解析】
根据题意，分3种情况讨论：
①、取出的3个点都在圆内,有3
44C = 种取法，即有4种取法，
②、在圆内取2点,圆外12点中取1点,有21
41060C C = 种，即有60种取法，
③、在圆内取1点,圆外12点中取2点,有(
)
1
2
4124248C C -= 种，即有248种取法， 则至少有一个顶点在圆内的三角形有4+60+248=312个， 故答案为312. 16．. 【解析】 【详解】
试题分析：因为22
1x y +≤表示圆22
1x y +=及其内部，易得直线630x y --=与圆相离，
所以6363x y x y --=--，当220x y +-≥时，226324x y x y x y +-+--=-+，如图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数24z x y =-+，则可知当34
,55
x y =
=时，min 3z =；当220x y +-<时，2263834x y x y x y +-+--=--，如图所示，可行域
为大的弓形内部，目标函数834z x y =--，则可知当34
,55
x y =
=时，min 3z =，综上所
述，2263x y x y +-+--的最小值是3．
考点：简单的线性求最值． 【方法点晴】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，正确作出约束条件表示的可行域是解答本题的关键，属于中档试题，同时着重考查了分类讨论的思想和转化与化归的思想方法的应用，本题的解答中，可分220x y +-≥和220x y +-<两种情况化简目标函数，同时画出约束条件所表示的可行域，结合图形找出最优解，可求目标函数的最小值． 17．9 【解析】 【分析】
建立直角坐标系，利用坐标关系表示出点C 的纵坐标，结合函数关系求解最值. 【详解】
以AB 所在直线为x 轴，中点O 为原点建立直角坐标系如图所示：
则()()()0,0, 1.5,0, 1.5,0O A B -，
||||||PA PB PC ==则P 是三角形外心，设()()0,,,P p C x y ，
所以()2
2221.5p x y p +=+-，整理得：2
2
2 2.25x y py +-=，
CP CA CB λμ=+，()()(), 1.5, 1.5,x p y x y x y λμ--=---+--，
()()()(), 1.5 1.5p y y y x x x λμλμ-=-+--=--+-，
可得： 1.5243 1.5,423p px p px
y y y y
λμ=-
+=--，3λ＋4μ＝2， 所以4.510.50y p px --=，即9212y p x
=
+，代入22
2 2.25x y py +-=，
可得：()()22212 2.2532x x y x
+-=
+，令32t x =+，
则()()()
2
21861
6364
4
t t y t +-=
=-++，当6t =-时，取得最大值36，此时y 的最大值
为6，三角形面积最大值1
6392
⨯⨯=. 故答案为：9 【点睛】
此题考查利用平面向量解决几何问题，建立直角坐标系，将向量用坐标表示，利用函数与方程的思想求解.
18．（1）1ω=；（2）6
-
【解析】 【分析】
（1）利用三角恒等变换()f x 1
sin 262
x πω⎛⎫=-
- ⎪⎝
⎭，根据周期求解；
（2）根据01
()32
f x =
-得0sin(2)63x π-=
，结合07[,]412x ππ∈求出
0cos 263x π⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭，利用两角和的余弦公式0026o 26c s cos x x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求解.
【详解】
（1）由题：2()cos cos f x x x x ωωω=-
1cos 222
x
x ωω+=
-
1sin 262x πω⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，(0)>ω
因为函数最小正周期为π，所以
2,12π
πωω
==
（2）由（1）可得：01
()2
f x =
即0sin(2)6x π-=
， 07[,]412x ππ∈，072[,]26x ππ∈，02[,]63
x ππ
π-∈，
0sin(2)6x π-=<
，所以022[,]63x πππ-∈，
所以0cos 263
x π⎛
⎫
-
==- ⎪
⎝
⎭ 000022cos sin 2sin 66666cos 2c 6os cos x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎛⎫== ⎪⎝⎭⎭⎭⎝
1
3232=-
⨯-
= 【点睛】
此题考查三角函数根据周期求参数的取值，解决给值求值的问题，关键在于准确分析角的取值范围，利用和差公式化简求值.
19．（1）证明见解析（2）34
【解析】 【分析】
（1）通过证明BC ⊥平面ABE ，FH ∥BC ，证得FH ⊥平面ABE ，即可证得面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求线面角的正弦值. 【详解】
（1）由题：，AE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥BC ， 四边形ABCD 是正方形，AB ⊥BC ，AE 与AB 是平面ABE 内两条相交直线， 所以BC ⊥平面ABE ，F ，H 分别为BP ，PC 的中点，所以FH ∥BC ， 所以FH ⊥平面ABE ，HF ⊂平面GHF ，所以平面ABE ⊥平面GHF ；
（2）由题可得：DA ，DC ，DP 两两互相垂直，所以以D 为原点，DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示：
()()()()12,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,2,1,2B C P H G ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
所以()()10,2,2,2,0,0,2,0,2CP CB HG ⎛
⎫=-==- ⎪⎝
⎭，
设平面PBC 的法向量(),,n x y z =， 220
20
CP n y z CB n x ⎧⋅=-+=⎨
⋅==⎩，取()1,0,1,1y n ==为平面PBC 的一个法向量，
1
sin cos ,4n HG
n HG n HG θ⋅====⋅+
34 所以直线GH 与平面PBC 所成的角θ. 【点睛】
此题考查面面垂直的证明，关键在于准确找出线面垂直，建立空间直角坐标系，利用向量方法解决直线与平面所成角的问题.
20．（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）构造函数()1x
f x e x =--证明1x e x ≥+即可得证；
（2）先用数学归纳法证明111n a n ≤-
+，则b n ＝1－a n 11n ≥+，取21,t n t N *
=-∈，通过转化123111
23n b b b b n
+++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+
111111
1123421222t t t --⎛⎫⎛⎫
=
+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
即可证明. 【详解】
考虑函数()1x
f x e x =--，则()1x
f x e '=-，
由()10x
f x e '=->得()0,x ∈+∞，由()10x
f x e '=-<得(),0x ∈-∞，
所以函数()1x
f x e x =--在(),0x ∈-∞单调递减，()0,x ∈+∞单调递增，
所以()()100x
f x e x f =--≥=，即1x e x ≥+，当且仅当0x =时取得等号，
所以1
1n a n n a e
a -+=≥，当等号成立时，10n a -=即1n a =，但a 1＝
1
12
≠， 所以a n ＋1>a n （n ∈N *）； （2）不存在，理由如下： 先用数学归纳法证明1
11
n a n ≤-+ 当n=1时，1111211
a =
≤-+满足题意；
假设当n=k 时命题成立，即1
11
k a k ≤-
+成立， 那么当n=k+1时，
11
1
111
1
111
112211
k a k k k k a e
e
k k e
k -
-++++=≤=≤=
=-+++
+，
即当n=k+1时，命题也成立， 所以对于一切n ∈N *，都有1
11
n a n ≤-+， b n ＝1－a n 1
1
n ≥
+，取21,t n t N *=-∈， 12311111111111232342122
2n t t t b b b b n --⎛⎫⎛⎫
+++⋅⋅⋅+≥
++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
即1231112222
n t b b b b +++⋅⋅⋅+≥
++⋅⋅⋅+=， 所以对于任意实数M ＞0，取t>2M ，且21,t
n t N *
=-∈， 有123n b b b b M +++⋅⋅⋅+> 所以不存在满足条件的M . 【点睛】
此题考查与数列相关的不等式证明问题，涉及利用导函数证明不等式，利用数学归纳法结合放缩法证明不等式.
21．（1
）2x =；（2
）17+ 【解析】 【分析】
（1）根据切线的斜率和切点坐标列方程组即可求解；
（2）设出切线方程根据位置关系求出20042,2x Q x p ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，分别表示出两个三角形的面积，利
用基本不等式求解最值. 【详解】
（1）设点200,2x P x p ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，由2
2x py =得2,2x x y y p p '==，因为直线PQ 的的斜率为1， 所以01x p =
，且2
0002x x p
--=
解得p =
，所以抛物线方程2x =；
（2）点P 处的切线方程为()200
02x x y x x p p
-
=-，即200220x x py x --=， 切线与圆2
2
:1O x y +=
21=化简得：4220044x x p =+
由方程组200422
022
220144x x py x x x x p y +=⎧--=⎪⎨⎪=+⎩解得20042,2x Q x p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
所以200000
2
22
x PQ x x x x -=-=-=
点0,2p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
到切线的距离d ==
所以2222000100
22124x p x x S PQ d x p x -+-==
=⋅
， 20
122Q p
S OF x x =
= 由4220044x x p =+得242
00440p x x =->即02x >，
所以2220
00012224x p x x p S x p S +-⋅⋅= ()()2
22002
22p x x p
+-=
()()()
4
2220
0004
2
00
44224x x x x x x -+-=
-
()(
)
2220002200244
3324
24x x x x x --=
=++≥--
当且仅当20204424
x x -=-
时等号成立，即204x =+
p = 所以1
2
S S
的最小值为3
所以12
2
2S S
的最小值为17.
【点睛】
此题考查直线与抛物线位置关系，根据直线与曲线相切构造等量关系，表示出三角形的面积利用函数关系或基本不等式求解最值.
22．（1）[]0,1；（2）211
2
e k π
π-≤≤-；（3）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域；
（2）先由题意，将问题转化为(1)x
e k x ≥-对任意02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，恒成立，构造函数
()x g x e kx k =-+，对函数()g x 求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可得出
结果.
（3）令()1
213
()122
x h x e
x -=+--，对函数()h x 求导，用导数方法研究其单调性，求其最小值，只需最小值大于0即可. 【详解】
（1）因为()x
x
f x e e sinx =-，
所以(
)((1sin cos )1)4cos )x
x
x
x
f x e e sinx x e e x x x π'=-+⎡
⎤
--==+⎢⎥⎣
⎦，
∵02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，∴3444x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦
，，
∴42
sin x π⎛⎫
+
≥ ⎪
⎝
⎭，所以()0f x '≤， 故函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上单调递减，函数()f x 的最大值为()1010f =-=；
()f x 的最小值为22022f e e sin ππ
ππ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，
所以函数()f x 的值域为[]0,1．
（2）原不等式可化为)(1)(1sin (1)x
e sinx k x x -≥-- …（*）， 因为1sin 0x -≥恒成立，故（*）式可化为(1)x e k x ≥-． 令()x
g x e kx k =-+，则()x g x e k '=-，
当0k ≤时，()0x g x e k '=->，所以函数()g x 在02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，故
()(0)10g x g k ≥=+≥，所以10k -≤≤；
当0k >时，令()0x g x e k '=-=，得ln x k =，
所以当(0,ln )x k ∈时，()0x
g x e k '=-<；当(ln ,)x k ∈+∞时，()0x
g x e k '=->．
所以当2
lnk π
＜，即20k e π
<<时，函数min ()(ln )2ln 0g x g k k k k ==->成立； 当2lnk π
≥
，即2k e π
≥时，函数()g x 在02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单调递减，2()022min
g x g e k k π
ππ⎛⎫==-+≥ ⎪⎝⎭，解得22
1
2
e e k π
π
π≤≤-
综上，211
2
e k π
π-≤≤-．
（3）令()1
213()122x h x e
x -=+--，则()132
x h x e x -'=+-． 由11
24133100244h e h e --⎛⎫⎛⎫
''=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＜，＞，故存在01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，
即 01
03
2
x e
x -=
-． 所以，当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>． 故当0x x =时，函数()h x 有极小值，且是唯一的极小值， 故函数()01
22min 000013313
()()1()()122222
x h x h x e
x x x -==+--=--+-- 2
2
0013313()12222522x x ⎡⎤⎛
⎫=---=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，
因为01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22015313531
()()022*******
x ----=>>， 故()1
213
()1022x h x e
x -=+-->， 即1
213()122
x e x ---+>．
【点睛】
本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒成立求参数的问题，属于常考题型.。