江苏省南京十八中度第一学期苏科版九年级数学上册_第一章_一元二次方程_单元检测试题

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江苏省南京十八中2021-2021学年度第一学期苏科版九年级数学上册
第一章 一元二次方程 单元检测试题
考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、选择题〔共 10 小题 ，每题 3 分 ，共 30 分 〕 1.以下方程中，是关于x 的一元二次方程的是〔 〕
A.(x +2)(x +1)=x 2
B.1x 2+1
x −2=0 C.x 2=5 D.x 2+2x =x 2−1
2.关于x 的一元二次方程(a −1)x 2+x +a 2−1=0的一个根是0，那么a 的值为〔 〕 A.−1 B.1 C.1或−1
D.0.5 3.假设关于x 的方程(1−k)x 2−2x −1=0有实根，那么k 的取值范围是〔 〕 A.k ≥2 B.k ≤2且k ≠1 C.k ≤2 D.k ≥2且k ≠1
4.方程3x 2+1=6x 的二次项系数和一次项系数分别为〔 〕 A.3和6 B.3和−6 C.3和−1 D.3和1
5.方程(m −2)x 2+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，那么〔 〕 A.m ≠±2 B.m =2 C.m =−2 D.m ≠2
6.关于x 的一元二次方程(a −1)x 2+x +a 2+3a −4=0有一个实数根是x =0，那么a 的值为〔 〕
A.1或−4
B.1
C.−4
D.−1或4
7.一元二次方程ax 2+c =0(a ≠0)，假设方程有解，那么必须有c 等于〔 〕
A.−12
B.−1
C.1
2
D.不能确定 8.解以下方程：①3x 2−27=0；②2x 2−3x −1=0；③2x 2−5x +2=0；④2(3x −1)2=3x −1．较简便的方法是〔 〕
A.依次为：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B.依次为：因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C.①用直接开平方法，②，③用公式法，④用因式分解法
D.①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法 9.用配方法解方程x 2−2
3x −1=0时，应将其变形为〔 〕 A.(x −1
3)2=8
9
B.(x +13)2=
10
9
C.(x −23)2=0
D.(x −1
3)2=10
9
10.将方程x 2+8x +9=0左边变成完全平方式后，方程是〔 〕 A.(x +4)2=7 B.(x +4)2=25 C.(x +4)2=−9 D.(x +4)2=−7 二、填空题〔共 10 小题 ，每题 3 分 ，共 30 分 〕
11.x 1、x 2是方程x 2−7x +8=0的两根，且x 1>x 2，那么2
x
1+3x 2
的值为________．
12.一元二次方程1
2x 2+x =3中，a =________，b =________，c =________，那么方程的根是________．
13.方程(x−3)(x−9)=0的根是________．
14.2x2−3xy−2y2=0，且x>0，y>0，那么x+y
的值为________．
x−y
15.(3x−1)(x+2)=6化成一般形式为________，b2−4ac=________，用求根公
式求得x1=________，x2=________．
16.假设实数x、y满足(x2+y2+2)(x2+y2−1)=0，那么x2+y2=________．
17.假如(m+n)(m+n+5)=6，那么m+n=________．
18.关于x的一元二次方程2x2−3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数
m=________．
19.关于x的方程x2−mx+2=0有两个相等的实数根，那么m的值是________．
20.假设x1，x2是一元二次方程x2−3x−1=0的两个根，那么x1+x2的值是
________；x1⋅x2的值是________．
三、解答题〔共 6 小题，每题 10 分，共 60 分〕
21.解方程：
(1)(1+x)2=9； (2)2(x−1)2=(x−1)；
(3)x2+2x−1=0； (4)x(x+2)=5x+10．
22.关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有两个实数根．
(1)务实数m的取值范围；
(2)假设方程的两个实数根为x1、x2，且x1⋅x2=2m2−1，务实数m的值．
23.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)x m2+2+(m−2)x−1=0提出了以
下问题．
(1)假设使方程为一元二次方程，m是否存在？假设存在，求出m并解此方程．
(2)假设使方程为一元一次方程，m是否存在？假设存在，恳求出．你能解决这
个问题吗？
24.配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学
有很大的帮助，所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一
定要是恒等的，例如：解方程x2−4x+4=0，那么(x−2)2=0，∴x=2x2−
2x+y2+4y+5=0，求x、y．那么有(x2−2x+1)+(y2+4y+4)=0，
∴(x−1)2+(y+2)2=0．解得x=1，y=−2．x2−2x−3=0那么有x2−
2x+1−1−3=0，∴(x−1)2=4．解得x=3或x=−1．
根据以上材料解答以下各题：
(1)假设a2+4a+4=0，求a的值；
(2)x2−4x+y2+6y+13=0，求(x+y)−2011的值；
(3)假设a2−2a−8=0，求a的值；
(4)假设a，b，c表示△ABC的三边，且a2+b2+c2−ac−ab−bc=0，试判
断△ABC的形状，并说明理由．
25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，假如每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，假设商场平均每天要盈
利1 500元，每件衬衫应降价多少元？
26.如下图，△ABC中，∠B=90∘，AB=6cm，BC=8cm．
(1)点P从点A开场沿AB边向B以1cm/s的速度挪动，点Q从B点开场沿BC边向点
C以2cm/s的速度挪动．假如P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC
分成面积相等的两局部？假设能，求出运动时间；假设不能说明理由．(2)假设P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度挪动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度挪动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
答案
1.C
2.A
3.C
4.B
5.D
6.C
7.D
8.D
9.D
10.A
11.−28−2√17
3
1−3x1=−1+√7，x2=−1−√7
12.1
2
13.x1=3，x2=9
14.3
15.3x2+5x−8=01211−8
3
16.1
17.1或−6
18.9
8
19.±2√2
20.3−1
21.解：(1)1+x=±3，
所以x1=2，x2=−4；(2)2(x−1)2−(x−1)=0，
(x−1)(2x−2−1)=0，
x−1=0或2x−2−1=0，
所以x1=1，x2=3
；(3)x2+2x=1，
2
x2+2x+1=2，
(x+1)2=2，
x+1=±√2，
所以x1=−1+√2，x2=−1−√2；(4)x(x+2)−5(x+2)=0，
(x+2)(x−5)=0，
x+2=0或x−5=0，
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所以x1=−2，x2=5．
22.解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有两个实数根，
∴b2−4ac=4+4m≥0，
解得m≥−1；(2)由根与系数的关系可知：x1⋅x2=−m，
∵x1⋅x2=2m2−1，
∴−m=2m2−1，
整理得：2m2+m−1=0，
解得：m=1
2
或m=−1．
∵1
2
，−1都在(1)所求m的取值范围内，
∴所求m的值为1
2
或−1．
23.解：(1)存在．
假设使方程为一元二次方程，那么m+1≠0，即m≠−1且m2+2=2，即m2=0，m=0；
∴m=0，
当m=0时，方程变为x2−2x−1=0，
∵a=1，b=−2，c=−1，
∴△=b2−4ac=(−2)2−4×1×(−1)=8，
∴x=2±√8
2=2±2√2
2
=1±√2，
∴x1=1+√2，x2=1−√2．
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根为x1=1+√2，x2=1−√2；(2)存在．
假设使方程为一元一次方程，要分类讨论：
①当m2+2=1，即m2=−1，无解；
②当m2+2=0，无解；
③当m+1=0，即m=−1时，m−2=−3≠0，
所以m=−1满足题意；
当m=−1时，原方程变为：−3x−1=0，
解得x=−1
3
．
因此，当m=−1时，该方程是一元一次方程，其解为x=−1
3
．
24.解：(1)∵a2+4a+4=(a+2)2=0
∴a+2=0，即a=−2；(2)x2−4x+y2+6y+13=(x−2)2+(y+3)2=0，可得x−2=0，y+3=0，即x=2，y=−3，
那么原式=2−3−2011=−2012；(3)方程变形得：(a−1)2=9，
开方得：a−1=3或a−1=−3，
解得：a=4或a=−2；(4)等式变形得：2a2+2b2+2c2−2ac−2ab−2bc= (a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=0，
可得a−b=0，a−c=0，b−c=0，即a=b=c，
那么△ABC为等边三角形．
25.每件衬衫应降价15元．
26.解：(1)设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两局部由题意知：AP=x，BQ=2x，那么BP=6−x，
∴1 2(6−x)⋅2x=1
2
×1
2
×6×8，
∴x2−6x+12=0，
∵b2−4ac<0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两局部；(2)设t秒后，△PBQ的面积为1①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时
此时0<t≤4
由题意知：1
2
(6−t)(8−2t)=1，
整理得：t2−10t+23=0，
解得：t1=5+√2〔不合题意，应舍去〕，t2=5−√2，
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时
此时4<t≤6，
由题意知：1
2
(6−t)(2t−8)=1，
整理得：t2−10t+25=0，
解得：t1=t2=5，
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时
此时x>6，
由题意知：1
2
(t−6)(2t−8)=1，
整理得：t2−10t+25=0，
解得：t1=5+√2，t2=5−√2，〔不合题意，应舍去〕，
综上所述，经过5−√2秒、5秒或5+√2秒后，△PBQ的面积为1．
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