初中数学解题模型专题讲解39---三角形“垂心”定理的7种证法

C
-2-
则 A、B、D、E 四点共圆， ∴∠1 = ∠2 又 ∠1与 ∠3互余， ∠2 与 ∠4 互余. ∴∠3 = ∠4 又 C、E、H、D 四点共圆， ， 。又 ， ∴∠4 = ∠5 ∴∠3 = ∠5 ∠5 + ∠BHC = 1800
， ∴∠3 + ∠BHC = 1800 ∴C、H、F 三点共线。 即 AB 边上的高 CF 经过 H 点。因而三条高 、 、 AD BE CF 相交于一点.
1.2 预备定理:
B
D
1.塞瓦(Ceva)定理:设 D、E、F 分别是 ∆ABC 三边 、 、 BC CA AB
图（ 1 ）
C
上的点,若
则 交于一点 AF • BD • CE = 1, AD,BE,CF
.
FB DC EA
2.三角形“外心”定理:三角形三边的中垂线相交于一点,此点与三顶点等距,这点叫做 三角形的外心.
、 BE CF 相交于一点.
证法 1.3.3 3 如图（3）连结 ， ， ， DE EF FD
A
则 A、B、D、E 四点共圆，
E
在 和 中， ∴∠1 = ∠2. Rt∆ABE Rt∆ACF
F
易知 ， ∠2 = ∠3 ∴∠1 = ∠3.
又 A、F、D、C 四点共圆，∴∠3 = ∠4 ，∴∠1 = ∠4 . 可平见分，∠AEFDD平.在分∆∠DEEDFF中.同，理可得，BE 平分∠DEF ，CF 由“内心”定理可得，AD，BE，CF 相交于一点.
2 41
B
D
图（ 3 ）
3
C
1如.3图.4（证4法）设4 AB 边上的高 CF 与 BC 边上的高 AD 相交于 H，连结 BH 并延长交 于 AC E. 连结 DF，因 A、F、D、C 四点共圆， ∴∠1 = ∠2又 B、D、H、F 四点共圆， ， ∴∠2 = ∠3 在 ∴∠1 = ∠3 ∆BAE 和中 ∆CAF 中，
可知 ， ∠AEB = ∠AFC = 900
∴∴BBEE为⊥边ACAC，上的高.
由此可见，高 相交于一点.
、 、 AD BE CF
证法 1.3.5 5 如图（5）设边 ， BC AC 上的高 ， AD BE 相交于 H. 连连结结 DCHE，，作 HF ⊥ AB 于 F。
A E
F 5
3H
1
2
4
B
D 图（ 5）
即 ( ) ( ) c − b • a = 0 ∴a • c = a • b，∴b • c = a •b，∴b c − a = 0,Qc − a = AC
∴ HB • AC = 0 可见， BE ⊥ AC ， 即 BE 是 AC 边上的高.∴∆ABC 三边上的 高 、 、 AD BE CF 相交于一点.
C(c,0)
x
H
K K = a − 0 = − a .Q CF ⊥ AB,∴
= b,
AB 0 − b b
CF a
K ∴CF所在直线方程y − 0 =
CF
(x
−
c)即y
=
b a
(x
−
c).令x
=
0, 得y
=
−
bc a
.
∴
点H坐标为H
0，−
bc a
.
K K ∴
BH
=
− bc − a 0−b
0
=
c a
BF CB
CD AC
由塞瓦定理可得 ， AF • BD • CE = AC • AB • BC = 1.即 AF • BD • CE = 1.
AD
， 相交于一点 AE BF CD AB CB AC
BE CF
.
BF CD AE
证法 1.3.2 2 线，使如之图相（交2）成分∆A别'过B'CA'、. B、C 做它们所在高的垂 C'
则 AB // A' B', BC // B'C'
A E
F
B D 图（ 2 ）
B' C
-1-
A'
∴四边形ABCB'为平行四边形 ∴ AB = CB'
同理，四边形 ABA 'C为平行四边形 ,∴ AB = A'C ,∴ A'C = CB ' 可见，CF 为边 A'B'的中垂线。同理可得，BE 为边C' A'的中垂线，AD 为边 B'C' 的中垂线.∴ AD, BE,CF 为 ∆A' B'C'三边上的中垂线.由“外心”定理可知，AD、
初中数学解题模型专题讲解 专题 39 三角形“垂心”定理的 7 种证法
三角形“垂心”定理的证法
1.1 定理：
三角形三条高相交于一点，这点叫做三角形的垂心（该定理俗称三角形“垂心”定理）.
已知，如图分（别1是）边∆ABBCC,C中A,,AABD,上BE的,C高F .
A
E
求证: AD,BE,CF 相交于一点 F
证法 1.3.6 6 如图（6）设 BC 边上的高 AD 与 AB 边上的高 CF 相交于 H，连结 BH 并延长交 AC 于 E.建立如图所示的直角坐标系，并设 A、B、C 三点的坐标分别为： A（0，a），B（b,0），C（c,0）,则
y
A(0,a) E
F
图（ ） B(b,0) D(0,0) 6
-3-
A
E
a
F
H
c
b
B
C
AC 于 E。
D 图（ 7 ）
设 ， ， 则 。 HA = a HB = b HC = c AB = b − a QCF ⊥ AB ∴ AB • HC = 0
即 ( ) ， b − a • c,∴b • c = a • c.又BC = c − b, 且AD ⊥ BC，∴ BC • HA = 0
3. 三角形“内心”定理:三角形三内角平分线交于一点,此点与三边等距,这点叫做三 角形的内心.
1.3
ห้องสมุดไป่ตู้
定理的证法 证法 1.3.1 1
如图（1），由已知可得， ∆CAF ∽ ∆BAE ⇒ AF = AC ∽ ,∆ABD ∆CBF ⇒ AE AB
BD = AB ， ∆ACD ∽ ∆BCE ⇒ CE = BC . 三 式 相 乘 得 ：
上述 7 种证法中，其中证法 2 是由高斯最早发现的，所以此证法又叫做高斯“外心”证 法心。”证证法法。3 是其由余杨证乐法（是我由国后数人学所家创）.最早（读初中时）发现的，所以此证法又叫做杨乐“内
-4-
.又
= a−0 = −a. AC 0 − c c
K K Q
•
= c × (− a ) = −1
BH
AC a
c
∴ BE ⊥ AC
即 BE 为 AC 边上的高。可见高 、 、 AD BE CF 相交于一点.
证法 1.3.7 7 如图（7），设边 BC 上的高 AD 与 AB 边上的高 CF 相交于 H，连结 BH 并延长交