高中数学 2.5 等比数列前n项和(第2课时)学案 新人教A版必修5

第二章 数列
2．5 等比数列的前n 项和（第2课时）17
**学习目标**
1．进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式；
2．了解等比数列的性质，并能利用性质简化求和、求通项的运算；
3．会用函数观点看待数列问题，体会函数思想对解决数列问题的指导作用． **要点精讲** 1．等比性质：
（1）在等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成一个新的等比数列．如在等比数列{}n a 中(公比为q )，2,,,,,m m k m k m nk a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅也依次成等比数列{}
(1)m n k a +-，其首项是m a ，公比是k q ．
（2）若{}n a 为等比数列，则{}
21,n n a a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
也为等比数列，若{}n a 和{}n b 都为等比数列，则{},n n n n a a b b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
也为等比数列。

2．当0,1q q >≠时，等比数列{}n a 的通项公式1
11n n
n a a a q
q q
-==
⋅是关于n 的指数型函数n
n a k q =⋅的形式；前n 项和公式111(1)111n n n a q a a
S q q q q
-==-⋅---是关于n 的函数
n n S A Aq =-的形式．
**范例分析**
例1．（1）已知{}n a 为等比数列，22a =，516a =，则2222
123n
a a a a
+++⋅⋅⋅+等于（ ）
A ．2
)12(-n
B ．
)12(31-n C ．14-n D ．)14(3
1
-n （2）等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，则数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项之和为
（ ） A ．
1S B ．S C ．1n S q
- D ．11n q S - （3）求和：1
222214343434343n
n n n n n ----+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+= 。

例2．{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，数列232,,k k k k k S S S S S --*()k N ∈是否仍成等比数列？
例3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3n n S a =+，这样的等比数列惟一吗？其中a 等于多少？
例4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且,3
1
,111n n S a a ==+1,2,3,n =⋅⋅⋅。

（1）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）求2462n a a a a +++
+的值。

引申：例4中，若111
1,3
n n a a S k +==+，则k 为何值时，数列{}n a 为等比数列？
**规律总结**
1．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当公比1q ≠-时，232,,k k k k k S S S S S --成等比数列，公比是k
q ．
2．在等比数列{}n a 中，前n 项和设为n S ，则{}n S 不成等比数列．当1q =时，{}n S 成
等差数列；当1q ≠时，11n a S q ⎧⎫
-
⎨⎬-⎩⎭
成等比数列； 3．在等比数列{}n a 中，前n 项和设为n S ，当1q =时，n n S na =；当1q ≠时，
11(1)111n n n a q a q
S a q q q
-==-⋅---，具有n n S A B a =-⋅（,A B 为非零常数）。

4．在数列{}n a 中，前n 项和设为n S ，若n n S na =，则{}n a 为常数数列；若n n S A B a =-⋅（,A B 为非零常数，1B ≠-），则{}n a 为等比数列。

**基础训练** 一、选择题
1．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为（ ）
A ．32
B ．313
C ．12
D ．15 2．等比数列的前n 项和32n n
k
S =
+，则k 的值为（ ） A ．3- B ．－1 C ．1 D ．3 3、公比不为1的等比数列{}n a 中，33234122a a a a ⋅⋅⋅
⋅=，若8k a =，则k 等于（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
4．已知等比数列{}n a 中，前n 项和54n S =，260n S =，则3n S 等于（ ）
A ．64
B ．66
C ．2603
D ．2
663
5．设4
7
10
310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ）
A ．
2(81)7n - B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．42
(81)7
n +- 二、填空题
6．已知{}n a 是公比为
2
1
的等比数列，若14797100a a a a +++⋅⋅⋅+=， 则36999a a a a +++⋅⋅⋅+的值是 。

7．在等比数列{}n a 中，设前n 项和为n S ，若3221a S =+，4321a S =+，
则公比q = 。

8．若数列{}n a 满足()
1lg 1lg n n a a n N *
+=+∈，且123100100a a a a +++
+=，则
101102103200lg()a a a a ++++等于 。

三、解答题
9、等比数列{}n a 中，11a =，且有偶数项，若其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求
公比q 及项数。

10．已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且172n n a S -=+(2)n ≥，21=a 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求14732n a a a a -+++⋅⋅⋅+关于n 的表达式子。

**能力提高**
11．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()2
2
223,n n n n n x S S y S S S =+=+的大小关系是
（ ）
A ．x y >
B ．x y =
C ．x y <
D ．不确定
12．已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，且2
1015a a =，12n
n S a a a =+++，
12
111
n n
T a a a =
+++
，求满足n n S T >的最小正整数n ．。