2定轴转动的功能原理

则转过的角度： 则转过的圈数：n

3 J 0
2
4 mg R
2

3R0
2
16 g
8
1、如图所示，在半径为R和r，质量为 M和m的阶梯形滑轮上，反向绕有两 根轻绳，各悬挂质量为 m1 和 m2 的物 体。设 R=0.20m, r=0.10m, M=10kg, m=4kg, m1=m2=2kg。求滑轮转动的 角加速度和两根绳子的张力。
3

Ad


0
Md
三、刚体定轴转动的动能定理
由定轴转动定理有
M J d dt
J
d d d dt
J
d d
Md J d
积分


0
Md


0
J d
1 2
J
2

1 2
J 0
2
刚体转动动能定理：合外力矩对绕定轴转动的 刚体作功的代数和等于刚体转动动能的增量。
mg l 2 1 2 J
2
m ,l
o

mg
mg
l 2

1 2

1 3
ml
2
2
,

3g l
6
dr
解：分割圆盘为圆环
dM
阻
m 2 rdr gr 2 R
M阻

R
0
2 m 2 rdr gr mg R 2 3 R
刚体转动时刚体的动能等于其内各质点动能之和
定轴转动刚体 的功能原理
1
一、刚体定轴转动的动能 刚体转动时，刚体的动能等于其 内各质点动能之和：
Ek

n
1 2
m iv
2 i
i( ri )
2
1 2
( m i ri )
2 2 i 1
n
1 2
J
10
1、如图所示，在半径为R和r，质量为M和m的阶梯形滑轮上， 反向绕有两根轻绳，各悬挂质量为 m1 和 m2 的物体。设 R=0.20m, r=0.10m, M=10kg, m=4kg, m1=m2=2kg。求滑轮转 动的角加速度和两根绳子的张力。
解：m 1 g T1 m 1 a 1
T2 m 2 g m 2 a 2
d i M d ir i soc iF sd i soc i F r d F Ad i i i
i
z
d
i
Fi
所有质元上的外力作的元功的和为： 刚体从0 转到 ，力矩所作总功为：
A
dM d i M
o
ri
ds
P
刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体作的功等于 力矩对刚体角位移的积分来表示。

T2 m2
T1 m1
2、一均匀细棒长L，如图所示悬挂，已知棒的 质量为m，求（1）棒对o的转动惯量I0=？ （2） 将A端悬线剪断瞬间，细棒绕o的角加速度β=？
L
B
4
o
dx
A
x
9
3、一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，绳下端挂 一物体，物体所受重力为P，滑轮的角加速度为 β。若将物体去掉而以与P相等的力直接向下拉 绳子，则滑轮的角加速度β将。 (A)增大 (B)不变 (C)减小 (D)无法确定
P
（A）
13
解： （1）将其分为两个部分,分别列出运动方程：
P T ma (1) TR I 1 ( 2 )
（2）直接以P拉绳子，列出运动方程：
PR I 2 ( 3 )
T
P
由 (1)( 3 ) : P T 由 ( 2 )( 3 ) : 2 1
4
四、刚体的重力势能
刚体的重力势能可按质心携带总质量在重力场中的势 能来计算。
E p mgz
c
五、定轴转动刚体的功能原理
将重力矩作的功用刚体的重力势能差表示为：



0

0
M p d ( mgz
c
mgz
c0
)
除重力矩以外其它力矩所作的功为：
Md ( mgz
c

1 2




7 48
x dm
x
2
2
L
3L 4
m L
B
dx
4
o
dx
A
L 4
x
或用平行轴定理：
I0 1 12 ml
2
mL
2
m(
1 4
l)
2
7 48
ml
2
M mg
L 4
I0

M I0

12 g 7L
12
3、一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，绳下端挂一物体， 物体所受重力为P，滑轮的角加速度为β。若将物体去 掉而以与P相等的力直接向下拉绳子，则滑轮的角加速 度β将。 (A)增大 (B)不变 (C)减小 (D)无法确定
J ) ( mgz
2
c0

1 2
J 0 )
2
重力场中刚体定轴转动的功能原理
M=0 时
mgz
c

1 2
J
2
常量
刚体的机械能守恒
5
例1、一细杆质量为m，长度 为l，一端固定在轴上，静止 从水平位置摆下，求细杆摆 到铅直位置时的角速度。 解： 系统机械能守恒，以杆 在竖直位置的质心位置 为重力势能零点。
T1 R T 2 r ( 1 2 MR
2

1 2
mr )
2

T2 m2
2
a1 R ,

( 1 2
a2 r
( m1 R m 2 r ) g
2
T1 m1
11
M m1 )R (
1 2
m m 2 )r
2、一均匀细棒长L，如图所示悬挂，已知棒的质量为 m，求（1）棒对o的转动惯量I0=？ （2）将A端悬线 剪断瞬间，细棒绕o的角加速度β=？ 解： I 0
2
i 1
由平行轴定理，可得：
Ek 1 2 ( J c md )
2 2
1 2
J c
2
1 2
md
2
2

1 2
J c
2
1 2
mv c
2
刚体绕定轴转动的动能可分成两部分，一是刚 体绕质心转动的动能，二是质心携 带总质量 绕定轴作圆周运动的动能。
2
二、力矩的功
作用在质元 mi 上的外力Fi 作的元功为：
7
r
例2、质量为m、半径为 R 的圆盘，以初角速度 0在摩擦系数为 的水平 面上绕质心轴转动，问： 圆盘转动几圈后静止？
0
m
o
R
A阻 M 阻
2 3
mg R
由动能定理：
2
A Ek Ek0
11 2 2 mg R 0 mR 0 3 22