【名师一号】高考数学一轮总复习 6.4基本不等式练习

第四节 基本不等式
时间：45分钟 分值：100分
基 础 必 做
一、选择题
1．已知a ，b∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab
B.a b ＋b a
≥2 C.⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2
＋b 2
>2ab
解析 当a ，b 都是负数时，A 不成立，当a ，b 一正一负时，B 不成立，当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的．
答案 C
2．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a 2
＋b 2
≤2ab ；命题q ：⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2
2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析 命题p ：(a －b )2
≤0⇔a ＝b ；命题q ：(a －b )2
≥0.显然，由p 可得q 成立，但由
q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件．
答案 B
3．下列不等式：①a 2
＋1>2a ；②
a ＋
b ab
≤2；③x 2
＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2
＋1x 2
＋1＝(x 2
＋1)＋1x 2＋1
－1≥2－1＝1. 答案 B
4．已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．2 2
D ．2 5
解析 当a >0，b >0时，有ab ≤
a ＋b
2
4
＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t
2
时取等号．∵ab 的最
大值为2，∴t 2
4
＝2，t 2
＝8，∴t ＝8＝2 2.
答案 C
5．(2015·湖北黄冈月考)设a >1，b >0，若a ＋b ＝2，则1a －1＋2
b
的最小值为( ) A ．3＋2 2 B ．6 C ．4 2
D ．2 2
解析 由a ＋b ＝2可得，(a －1)＋b ＝1. 因为a >1，b >0，所以1a －1＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋2b (a －1＋b )＝b a －1
＋a －
b
＋3≥22＋3.
当且仅当b
a －1
＝a －b
，即a ＝2，b ＝2－2时取等号．
答案 A
6．(2014·湖北八校联考)若x ，y ∈(0,2]且xy ＝2，使不等式a (2x ＋y )≥(2－x )(4－
y )恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．a ≤12
B ．a ≤2
C ．a ≥2
D ．a ≥12
解析 由x ，y ∈(0,2]且xy ＝2， 得a ≥
－x －y 2x ＋y
＝10－
x ＋y 2x ＋y ＝10
2x ＋y
－2.又由2x ＋y ≥22xy ＝4，∴
a ≥12
.
答案 D 二、填空题
7．已知函数f (x )＝4x ＋a x
(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 解析 由于x >0，a >0，f (x )＝4x ＋a x
≥4a . 此时当4x ＝a x
时，f (x )取得最小值4a ，即a ＝4x 2
. ∴a ＝4×32
＝36. 答案 36
8．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m 3
，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
解析 设容器的底长x 米，宽y 米，则xy ＝4. 所以y ＝4
x
，则总造价为：
f (x )＝20xy ＋2(x ＋y )×1×10＝80＋80
x
＋20x
＝20⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋4x ＋80，x ∈(0，＋∞)．
所以f (x )≥20×2
x ·4
x
＋80＝160，
当且仅当x ＝4
x
，即x ＝2时，等号成立．
所以最低总造价是160元． 答案 160
9．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2
＋b 2
＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2
＋n 2
的最小值为________．
解析 由柯西不等式，可得(a 2
＋b 2
)(m 2
＋n 2
)≥(am ＋bn )2
，所以5(m 2
＋n 2
)≥25. 所以m 2
＋n 2
≥5，即m 2
＋n 2
≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立． 故m 2
＋n 2的最小值为 5. 答案
5
三、解答题
10．(1)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值； (2)已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求z ＝2x ＋5
y
的最小值．
解 (1)∵x >0，a >2x ，
∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2x ＋a －2x 22＝a
2
8，
当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 2
8.
(2)由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy
10
＝2. ∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋5y min ＝2. 当且仅当2y ＝5x ，即x ＝2，y ＝5时等号成立．
11．(2014·新课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1
b
＝ab .
(1)求a 3＋b 3
的最小值；
(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．
解 (1)由ab ＝1a ＋1b
≥2
ab
，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．
故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3
的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.
由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.
培 优 演 练
1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )
A ．1
B ．6
C ．9
D ．16
解析 方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝1，所以1a －1＋9
b －1≥
2
1a －1×9
b －1
＝2×3＝6. 方法二：因为1a ＋1
b
＝1，所以a ＋b ＝ab ，
所以
1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b －10≥16－10＝6. 方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，
所以
1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1
≥29＝2×3＝6. 答案 B
2．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：
(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；
(2)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)． 则函数f (x )＝(e x
)*1e x 的最小值为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
解析 依题意可得f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋e x ＋1e x ＝e x
＋1e x ＋1≥2
e x
·1e
x ＋1＝3，当且
仅当x ＝0时“＝”成立，所以函数f (x )＝(e x
)*1e
x 的最小值为3，选B.
答案 B
3．(2015·山东淄博期末)若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b,2a
＋2b ＋2c ＝2
a ＋
b ＋c
，则c 的
最大值是________．
解析 由基本不等式得2a
＋2b
≥22a 2b
＝2×2a ＋b
2
，即2
a ＋b
≥2×2
a ＋b
2
，所以2
a ＋b
≥4.
令t ＝2a ＋b
，由2a ＋2b ＋2c ＝2
a ＋
b ＋c
可得2
a ＋b
＋2c ＝2
a ＋b
·2c ，所以2c
＝
t
t －1＝1＋1
t －1
，由t ≥4，得1<
t
t －1≤43，即1<2c
≤43，所以0<c ≤log 243
＝2－log 23，故答案为2－log 23. 答案 2－log 23
4．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批社会用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．
(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；
(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？
解 (1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72(万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高 20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x 层楼房的建筑费用为 72＋(x －1)×2＝2x ＋70(万元)， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为
y ＝f (x )＝72x ＋
x x －2
×2＋100＝x 2
＋71x ＋100，
综上可知y ＝f (x )＝x 2
＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )． (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝
f x
1 000x
＝
10f x
x
＝
x 2＋71x ＋
x
＝10x ＋1 000
x
＋710≥2
10x ·1 000
x
＋710＝910.
当且仅当10x ＝1 000
x
，即x ＝10时等号成立．
综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．。