周期为2p的二元序列的2—adic复杂度

周期为2p的二元序列的2—adic复杂度
文章提出了一個快速算法确定周期为2p的二元序列的2-adic复杂度，给出了具体确定其序列2-adic复杂度的一个有效上界。

标签：2-adic复杂度；周期序列；FCSR序列
引言
流密码是私钥密码中一类非常重要的密码体制，流密码的安全性取决于密钥流的安全性，要求密钥流序列尽可能具有随机序列的某些特性。

根据不同的攻击方法，人们提出了很多衡量序列安全性的指标，2-adic复杂度及线性复杂度是其中两个重要指标。

它们分别是针对带进位反馈移位寄存器（FCSR）和线性反馈移位寄存器（LFSR）两种序列发生器而提出来的。

较高的2-adic复杂度和线性复杂度使得密钥流序列可以有效抵抗有理逼近算法[1]和B-M算法[4]的攻击。

1994年，Klapper和Goredky提出了带进位反馈移位寄存器模型[3]。

设q为奇数，则连接数为q的FCSR结构图如图1：
其中
q+1=q1·2+…+qr·2r，qr=1，qi，an-i∈{0，1}，1？燮i？燮r，mn-1∈Z。

具体实施过程如下：
（ⅰ）计算；
（ⅱ）右移一位，输出寄存器最右端的an-r；
（ⅲ）令an=？滓n（mod2）放入寄存器的最左端；
注：称m是记忆。

FCSR的一个状态是指记忆m和寄存器的比特，即（mn-1，an-1，...，an-r）是FCSR的一个状态。

若这个状态以后还出现，则称该状态是周期的。

1 基础知识
定义1 设=（s0，s1，s2，…）表示一条二元周期序列，称能够生成的最短的带进位反馈移位寄存器的长度为的2-adic复杂度，并记为？准2（），而称其连接数q为的最小生成数。

引理1 令=（s0，s1，s2，…）为一条二元周期序列，且其可被以q为连接数的带进位反馈移位寄存器生成，则有？琢（）=？撞si2i=s0+s12+s222+…=-r/q，
其中满足-q？燮r？燮0，gcd（r，q）=1。

则此带进位移位寄存器是生成的最短的带进位的反馈移位寄存器。

因此，？准2（）=log2|q|。

令22p-1=（2p+1）（2p-1），L=2p+1，M=2p-1，S=（s0，s1，...，s2p-1）
记S（2）=s0+2s1+…+22p-1s2p-1。

则
引理2 设n？叟2为整数，A0，A1，...，Ak-1都是长度为n的0，1向量，d为2n-1的因子，则有
定理1 设p为奇素数，=（s0，s1，s2，…）是周期为T=2p的二元序列，将S=（s0，s1，...，s2p-1）等分为2个长度为p的向量，S=（S0||S1），其中S0=（s0，s1，...，sp-1），S1=（sp，sp+1，...，s2p-1），则
证明：由T=2p可知
又因为
所以
因为
所以
显然，S0（2）=S1（2）和S0=S1等价。

所以
定理2 设p为奇素数，=（s0，s1，s2，…）是周期为T=2p的二元序列，将S=（s0，s1，...，s2p-1）等分为2个长度为p的向量，S=（S0||S1），
其中S0=（s0，s1，...，sp-1），S1=（sp，sp+1，...，s2p-1）。

记
则
即
证明：因为M=2p-1，所以
因此
由引理1可知
所以
定理3 设p为奇素数，=（s0，s1，s2，…）是周期为T=2p的二元序列，将S=（s0，s1，...，s2p-1）等分为2个长度为p的向量，S=（S0||S1），
其中S0=（s0，s1，...，sp-1），S1=（sp，sp+1，...，s2p-1）。

记
则
证明：由定理2可知
由于N为长度为p的向量，
所以或
即或
因而。

2 计算周期为2p的序列的2-adic复杂度上界的算法
依据定理1、定理2和定理3，给出如下算法
算法：
输入：周期为T=2p的二元序列=（s0，s1，s2，…）；
输出：序列的一个连接数q和它所对应的2-adic复杂度的上界？渍。

初值：q=1，？渍=0。

（1）设B0=（s0，s1，...，sT-1），T=2p，？滋=T/2=p。

将B0等分为2个长度为？滋=p的向量，
其中
a. 若B0，0=B0，1，取B=B0，0
b. 若B0，0≠B0，1，計算B1=B0，0？茌B0，1，q=qL，？渍=？渍+p
（2）将上述B1=B0，0？茌B0，1=（b0，b1，...，bp-1）等分为p个长度为l的向量，
其中。

a. 若，取C=B1，0；
b. 否则，计算
注：
参考文献：
[1]Klapper A and Goresky M. Cryptanalysis Based on 2-Adic Rational Approximation.in Advances in Cryptology-CRYPTO’95，vol. 963，pp. 262-273，1995.
[2]Klapper A and Goresky M. Feedback Shift Registers，2-Adic Span，and Combiners with Memory. J. Cryptology，vol. 10，pp. 111-147，1997.
[3]Klapper A and Goresky M. 2-Adic Shift Register. in Fast Software Encryption，vol. 809，pp. 174-178，1993.
[4]Berlekamp S. R.，Algebraic coding theory，New York：McGraw-Hill，1968.。