北京市高三数学理科测试与参考答案10

北京市高三数学理科测试与参考答案10
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，满足的集合B的个数是（）
A．3个B．6个C．7个D．8
2．若点M（a，b）在函数y=（-1≤x≤0）的图像上，则下列哪个函数的图象一定经过点N（b，a）（）
A．y=（-1≤x≤0）B．y= -（0≤x≤1）
C．y= -（-1≤x≤0）D．y=（0≤x≤1）
3．设等差数列{}的前n项和为，、是方程-x-2=0的两个根，则=（）
A．B．5C．
D．－5
4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）
A．24种B．48种C．96种 D．144种
5．已知直线，平面，则// 的一个充分条件
是（）
A．B．
C．//D．，
6．函数的图象的大致形状是（）
7．在中，分别为三个内角A、B、C所对的边,设向量m n ，若向量m⊥n，则角A 的大小为（）
A．B．C．
D．
8．函数的导函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A．B．y=log a x
C．D．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．=________．
10．____________．
11．将函数的图象沿向量a平移后，得到函数的图象，则函数 ___.
12．函数的值域是．
13．已知函数,则函数的最小正周期是，函数对称轴的方程是．
14．在平面直角坐标系中，过点的直线与椭圆交于、两
点，点是线段的中点．设直线的斜率为，直线的斜率为，则
= ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分12分）记关于的不等式（）的解集为A，关于的方程0的解集为B，且.
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）求实数m的取值范围.
16．（本小题满分14分）如图：在三棱锥中，是直角三角形，，，点、分别为、的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角的正切值．
17．（本小题满分13分）在某次趣味运动会中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比
赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
（Ⅰ）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；
（Ⅱ）求三人得分相同的概率；
（Ⅲ）设在该小组比赛中甲得分数为，求Eξ．
18．（本小题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，一个焦点是F（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）直线过点F交椭圆于A、B两点，且点F分向量所成的比为2，求直线的方程．
19．（本小题满分14分）数列中，=1，（n=1,2,3…）．（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）求数列的前n项和；
（Ⅲ）设=log2，存在数列{}使得= 1+ n(n+1)(n+2)，试求数列{}的前n项和．
20．(本小题满分14分)已知函数和．其中．（Ⅰ）若函数与的图像的一个公共点恰好在x轴上，求的值；
（Ⅱ）若函数与图像相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB 的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的的值；如果没有，请说明理由．
（Ⅲ）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D 2． B 3．A 4． C 5．D 6． D 7．B 8．D
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9． 10．11．
12．（0,+) 13．； 14．－
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）
又，∴A={1，2}；…………………………5分
（Ⅱ）集合A={1，2}的子集有、{1}、{2}、{1，2}.
B A，∴B＝；B={1}或{2}；B={1，2}.
当时，，解得.………………7分
当B={1}或{2}时，，则m无解.……9分
当B={1，2}时，……11分综上所述，实数m的取值范围是或m=3.………………12分16．（本小题满分14分）解法一:（Ⅰ）连结BD．在中，. ∵，点为AC的中点，∴．………1分
又∵即BD为PD在平面ABC内的射影，∴．…………………………2分
∵分别为的中点,∴, ∴．………………………………………………4分
（Ⅱ）∵∴．
连结交于点，∵，,∴，
∴为直线与平面所成的角，.…………………6分
.∵∴，，又∵，
∴.∵，∴，
∴在Rt△中，，∴．……………8分
（Ⅲ）过点作于点F，连结，∵
∴即BM为EM在平面PBC内的射影，
∴∴为二面角的平面角．……………………11分
∵中，,∴．…………………13分
解法二：建立空间直角坐标系B?xyz,如图，
则，，，，. （Ⅰ）∵，，
∴∴.……………………4分
（Ⅱ）由已知可得，为平面的法向量，, ∴，
∴直线与面所成角的正弦值为.
∴直线与面所成的角为.………………9分
（Ⅲ）设平面PEF的一个法向量为a，∵，
∴a，a，令，∴a
由已知可得，向量为平面PBF的一个法向量，
∴a，∴ a.
∴二面角的正切值为.………………………14分
17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设甲获小组第一且丙获小组第二为事件A,
(A)=；……………………………4分
（Ⅱ）设三场比赛结束后，三人得分相同为事件B,
即每人胜一场输两场,有以下两种情形：
甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，概率为=,………………6分
甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲，概率为=,………………8分
三人得分相同的概率为=+==．…………………9分（Ⅲ）可能的取值为0、1、2,
P（=0）=,P（=1）=+=,
P（=2）=,……………………………………12分
0 1 2
P
E=0+1+2=．………………………13分
18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆方程为（>b>0）．………………1分
依题意，, c=1，，，……………2分
∴所求椭圆方程为．………………………4分
（Ⅱ）若直线的斜率k不存在，则不满足．
当直线的斜率k存在时，设直线的方程为．因为直线过椭圆的焦点F（0，1），所以取任何实数, 直线与椭圆均有两个交点A、B．
设A
联立方程消去y，得．………………6分
，①
，②
由F（0，1），A，则，
，∴，得．…………8分
将代入①、②，得，③，④ (10)
分
由③、④得，，化简得，
解得，.∴直线的方程为：．…………13分
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵，，∴，∴=，= (3)
分
（Ⅱ）∵==,∴2=,=2，……………………5分
∴{}是首项为，公比为2的等比数列.
∴==.…………………………7分
（Ⅲ）（理）=()=，=n-2，= n+1，= n+2，
∵=1+ n(n+1)(n+2)，∴= 1+ n(n+1)(n+2)，
即= + n.……………………………9分
令A=++…+=-++…+
=-．…………………11分
令B=+++＋…+n，①
2B= +++…++n，②
②—①得
B=n…= n=(n-1)+，…13分
∴=-+(n-1)+= (n-1)+． (14)
分
20．(本小题满分14分)
解：（Ⅰ）设函数图像与x轴的交点坐标为（，0），
又∵点（，0）也在函数的图像上，∴．
而，∴．………………2分
（Ⅱ）依题意，，即，
整理，得，①
∵，函数与图像相交于不同的两点A、B，
∴，即△==＝(3-1)(--1)>0.
∴-1<<且.……………………4分
设A(，)，B(，)，且<，由①得，=1>0, . 设点o到直线的距离为d，
则，.
∴＝
=. ………………7分
∵-1<<且,∴当时，有最大值，无最小值.……10分（Ⅲ）由题意可知．
,∴,∴当时，
即．……………………12分
又,
∴<0, ∴, 综上可知，．………………14分。