高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例课件 新人教B版必修3

v0＝an
vk＝vk－1x＋an－k
，其中 k＝1,2，…，n.
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(2)计算P(x0)的方法(fāngfǎ) 先 计 算 __最__内__层__(n_è_i_c_é_n_ɡ_)的_ ，括然号由后内__向__(n_è_i_x_i_àn_ɡ逐)外层 计 算 ， 直 到___最_外__层__括__号__，然后加上___常_数__项__．
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6．已知f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1，求f(3)的值． [解析(jiě xī)] f(x)＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1， v1＝1×3＋0＝3， v2＝3×3＋1＝10， v3＝10×3＋1＝31， v4＝31×3＋1＝94， v5＝94×3＋1＝283， ∴f(3)＝((((3＋0)×3＋1)×3＋1)×3＋1)×3＋1＝283.
[正解] 34 f(x)＝3x5－2x2－5x4＋3x3＋x ＝3x5－5x4＋3x3－2x2＋x ＝((((3x－5)x＋3)x－2)x＋1)x，
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v0＝3， v1＝3×2－5＝1， v2＝1×2＋3＝5， v3＝5×2－2＝8， v4＝8×2＋1＝17， v5＝17×2＝34. ∴当x＝2时，多项式的值为34.
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求324,243和135的最大公约数．
[
解
析
(jiě
xī)]
(324,243)―→(81,243)―→(81,162)―→(81,81)则324与243最大公
约数为81.
又(81,135)―→(81,54)―→(27,54)―→(27,27)，则81与135的
最大公约数为27，
2．用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是
________π的实际值．( )
A．大于等于
B．小于等于
C．等于
D．小于
[答案(dáàn)] D
[解析] 用割圆术法求出的是π的不足近似值，故选D.
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3 ． 用 更 相 减 损 (jiǎn sǔn) 之 术 求 88 与 24 的 最 大 公 约 数 为
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求三个正整数的最大公约数
求三个数 324、243、270 的最大公约数． [解析] 324＝243×1＋81,243＝81×3＋0，则324与243的最 大公约数为a＝81. 又270＝81×3＋27,81＝27×3＋0，则324,243,270的最大公 约数为27. [点评] 求三个数的最大公约数，可先求两数的最大公约数 a，然后求a与第三个数的最大公约数b，则b为所求的三数(sān shù)的最大公约数．该题解法可推广到求多个数的最大公约数．
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5．用秦九韶算法计算f(x)＝9x6＋3x5＋4x4＋6x3＋x2＋8x ＋1，当x＝3时的值，需要进行________次乘法和________次加 法运算．
[答案(dáàn)] 6 6 [解析] ∵f(x)＝(((((9x＋3)x＋4)x＋6)x＋1)x＋8)x＋1， ∴乘法及加法运算都是6次．
成才之路 ·数学 (shùxué)
人教B版 ·必修 (bìxiū)3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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算法(suàn fǎ)初步
第一章
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1．3 中国古代数学(shùxué)中的算法 案例
第一章
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1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 思想方法技巧
3 易错疑难辨析
D．秦九韶算法避免对自变量x单独做幂的计算，而是与系 数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度
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[答案(dáàn)] C [解析] 对于一元 n 次多项式使用秦九韶算法仅需做乘法 n 次，加法 n 次，而直接求和法需做nn2＋1次乘法，n 次加法， 所以是加快了计算的速度．
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v0＝1， v1＝v0×0.3＋0＝0.3， v2＝v1×0.3＋0.11＝0.2， v3＝v2×0.3＋0＝0.06， v4＝v3×0.3－0.15＝－0.132， v5＝v4×0.3－0.04＝－0.079 6， 所以(suǒyǐ)当x＝0.3时，多项式的值为－0.079 6.
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课堂典例讲练
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用更相减损(jiǎn sǔn)术求两个正整数的最大公约数
求 80 和 36 的最大公约数． [解析(jiě xī)] 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. ∴80和36的最大公约数是4.
() A．2
B．7
C．8 [答案] C
D．12
[解析] (88,24)→(64,24)→(40,24)→(24,16)→(16,8)→ (8,8)， 故88与24的最大公约数为8.
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4．三个数72,120,168的最大公约数是________． [答案(dáàn)] 24 [ 解 析 ] (72,120,168)→(72,120,168 － 120)→(72,120,48)→ (72,120 － 72,48)→(72,48,48)→ (72 － 48,48,48)→ (24,48,48)→ (24,48－24,48)→(24,24,48)→(24,24,48－24)→(24,24,24)．
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思想方法技巧
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方程思想 盈不足术是我国古代数学中的优秀算法《九章算
术》卷七——盈不足，有下列问题： (1)今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人
数、物价各几何？ (2)今有人买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问
5 课后强化作业
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课前自主预习
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我国古代数学有着辉煌的成就，如祖冲之、刘徽、秦九韶 等，他们对我国古代数学的发展作出了很大贡献，本节我们学习 计算求两个正整数的最大公约数和求多项式值的简便(jiǎnbiàn)算 法——更相减损之术和秦九韶算法.
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1．求两个正整数最大公约数的算法 (1)更相减损之术(等值算法) 用 两 数 中 较 大 的 数 减 去 较 小 的 数 ， 再 用 差__数___(c_h和ā shù) __较__小__的__数__构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一 直做下去，直到产生___一__对_(_y_ī _d_uì_)相__等__的_，数这个(zhè ge)数就是最 大公约数．
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用辗转相除法(chúfǎ)求两个正整数的最大公约 数 用辗转相除法求 546 与 429 的最大公约数.
[解析] 546＝1×429＋117， 429＝3×117＋78， 117＝1×78＋39， 78＝2×39， 故546与429的最大公约数为39. [点评] 用辗转相除法求最大公约数步骤较少，而更相减损 术虽然步骤较长，但运算(yùn suàn)简单．
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1．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是 ()
A．秦九韶算法与直接计算相比，大大节省乘法的次数，使 计算量减少，并且逻辑结构简单
B．秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就加快了 计算的速度
C．秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就降低 (jiàngdī)了计算的速度
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[点评] (1)用秦九韶算法求多项式的值，首先要将多项式改 写，然后(ránhòu)由内向外逐次计算. 由于下一次计算要用到上一 次的结果，故应认真、细心，确保每个中间结果的准确性．
(2)当多项式中有几项不存在时，可将这几项的系数看成是 0，即0×xn.
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∴324、243、135的最大公约数为27.
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求两个(liǎnɡ ɡè)正整数的最小公倍数
求 375、85 的最小公倍数 [解析] 先求最大公约数，375＝85×4＋35,85＝35×2＋ 15,35＝15×2＋5,15＝5×3＋0. ∴375 与 85 的 最 大 公 约 数 是 5 ， ∴ 375 与 85 的 最 小 公 倍 数 是 (375×85)÷5＝6 375. [点评] 求两个正整数的最小公倍数，即利用它们(tā men) 的积除以它们(tā men)的最大公约数．本题求法可推广到求多个 数的情况．
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用辗转相除法求288和123的最大公约数． [解析(jiě xī)] 288＝2×123＋42， 123＝2×42＋39， 42＝1×39＋3， 39＝13×3， 故3就是288和123的最大公约数.
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用秦九韶算法(suàn fǎ)求多项式的值 用秦九韶算法求多项式 f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x －0.04 当 x＝0.3 时的值． [解析] 将f(x)写为： f(x)＝x5＋0×x4＋0.11x3＋0×x2－0.15x－0.04. 由秦九韶算法(suàn fǎ)的递推公式，得
已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，用秦九韶算法(suàn fǎ)求 f(10)的值．
[解析] 由秦九韶法，得 f(x)＝x3－2x2－5x＋6 ＝(x2－2x－5)x＋6 ＝((x－2)x－5)x＋6，
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当x＝10时， f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6 ＝(8×10－5)×10＋6 ＝75×10＋6 ＝756.
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求80与36的最小公倍数． [解析(jiě xī)] 先求最大公约数． 80＝36×2＋8 36＝8×4＋4＝8＝4×2＋0 ∴80与36的最大公约数为4. ∴80与36的最小公倍数是(80×36)÷4＝720.
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易错疑难辨析
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已知多项式 f(x)＝3x5－2x2－5x4＋3x3＋x，则 f(2) ＝________.
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3．秦九韶算法
(1)把一元 n 次多项式 P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 改 写为
P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0， 令 vk＝(…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k， 则递推公] 当大数减小数的差等于小数时停止(tíngzhǐ)减法， 较小的数就是两数的最大公约数．
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用更相减损之术分别(fēnbié)求下列两组数的最大公约数： (1)78与36； (2)1 515与600. [ 解 析 ] (1)(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18) →(6,12)→(6,6)，故78与36的最大公约数为6. (2)1 515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285,315－ 285＝30,285－30＝255,255－30＝225,225－30＝195,195－30＝ 165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝45,45－ 30＝15,30－15＝15，故1 515与600的最大公约数是15.
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(2)用“等值算法(suàn fǎ)”求最大公约数的程序
while a＝a－b
b＝b－a
end
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2．割圆术 用 圆 内 接 正 多 边 形 (zhèngduōbi圆ān的xín面g)积面(m积iàn逐jī)渐 逼 近 __________的算法是计算圆周率的一种方法．
[错解] 38 f(x)＝((((3x－2)x－5)x＋3)x＋1)x， v0＝3； v1＝3×2－2＝4， v2＝4×2－5＝3， v3＝3×2＋3＝9， v4＝9×2＋1＝19， v5＝19×2＝38. ∴当x＝2时，多项式的值为38.
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[辨析] 错解中对多项式f(x)的改写不正确(zhèngquè)，没有 将f(x)按x的降幂排列以后再进行改写，导致结果错误．