江苏省张家港市第一中学2024-2025学年九上数学开学综合测试模拟试题【含答案】

江苏省张家港市第一中学2024-2025学年九上数学开学综合测试模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列式子为最简二次根式的是（）A ．B C D ．2、（4分）下列等式中，计算正确的是()A ．109a a a ÷=B ．326x x x ⋅=C ．32x x x -=D ．222(3)6xy x y -=3、（4分）一元二次方程x 2﹣2x=0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2为（）A ．﹣2B ．1C ．2D ．04、（4分）下面四个手机的应用图标中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5、（4分）若点Α()m,n 在一次函数y=3x+b 的图象上,且3m-n>2,则b 的取值范围为()A ．b>2B ．b>-2C ．b<2D ．b<-2
6、（4分）如图，将△ABC 沿着水平方向向右平移后得到△DEF ，若BC =3，CE =2，则平移的距离为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．47、（4分）在四边形ABCD 中，AC BD ⊥，再补充一个条件使得四边形ABCD 为菱形，这个条件可以是（）A ．AC BD =B ．90ABC ∠=︒C ．AB BC =D ．AC 与BD 互相平分8、（4分）在如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系式所对应的图象是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一
丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈10=尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x 尺，根据题意，可列方程为__________．
10、（4分）如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA ＝3OD ，OB ＝3OC ），然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段l 的两端上，若CD ＝2，则AB 的长是_________.11、（4分）平面直角坐标系内点P （﹣2，0），与点Q （0，3）之间的距离是_____．12、（4分）若分式1x x +值为0，则x 的值为__________．13、（4分）在盒子里放有三张分别写有整式a+1、a+2、2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）先化简，再求值:22244242x x x x x x -+-÷-+，其中x=15、（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图1摆放时，都可以用“面
积法”来证明，请你利用图1或图1证明勾股定理（其中∠DAB ＝90°）
求证：a 1+b 1＝c 1．
16、（8分）以下是八（1）班学生身高的统计表和扇形统计图，请回答以下问题：（1）求出统计表和统计图缺的数据．（2）八（1）班学生身高这组数据的中位数落在第几组？（3）如果现在八（1）班学生的平均身高是1.63m ，已确定新学期班级转来两名新同学，新同学的身高分别是1.54m 和1.77m ，那么这组新数据的中位数落在第几组？17、（10分）如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至R ，使EF =DE ,连接BF .(1)求证:四边形ABFD 是平行四边形；(2)求证:BF =DC .18、（10分）解不等式组：()240
210x x x -<⎧-+≤⎨⎩，并把解集在数轴上表示出来．
B 卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）关于x 的方程2233++=--x m
x x 有增根，则m 的值为_____
20、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AC 为对角线，点E 为BC 上一点，连接AE,若∠CAD ＝2∠BAE,CD=CE=9，则AE
的长为_____________.21、（4分）=________________．22、（4分）如图，已知矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC
，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 的周长等于_____cm 。

23、（4分）如图，矩形ABCD 的面积为20cm 2，对角线交于点O ，以AB 、AO 为邻边作平行四边形AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB 、AO 1为邻边作平行四边形AO 1C 2B 2；…；依此类推，则平行四边形AO 4C 5B 的面积为________，平行四边形AO n C n +1B 的面积为________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（1）解不等式组：324
21
2x x
x x -<⎧⎪⎨-≤+⎪⎩（2）解分式方程：22
111x x x =---.
25、（10分）某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给
他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB 、OB 分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程S （米）与所用时间t （分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：（1）求点B 的坐标和AB 所在直线的函数关系式（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆26、（12分）解不等式组：3561162x x x x <+⎧⎪+-⎨≥⎪⎩，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】
解：最简二次根式被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，
根据条件只有C满足题意，
故选C.
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2、A
【解析】
根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】
A、a10÷a9=a，正确；
B、x3•x2=x5，故错误；
C、x3-x2不是同类项不能合并，故错误；
D、（-3xy）2=9x2y2，故错误；
故选A．
本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
3、D
【解析】
分析：根据根与系数的关系可得出x1x2=1，此题得解．
详解：∵一元二次方程x 2﹣2x=1的两根分别为x 1和x 2，∴x 1x 2=1．故选D ．点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于c a 是解题的关键．4、D 【解析】根据中心对称图形的定义即可求解.【详解】由图可知D 为中心对称图形，故选D.此题主要考查中心对称图形的定义，解题的关键是熟知中心对称图形的特点.5、D 【解析】分析：由点（m,n ）在一次函数3y x b =+的图像上，可得出3m+b=n ，再由3m-n ＞1，即可得出b ＜-1，此题得解．详解：∵点A （m ，n ）在一次函数y=3x+b 的图象上，∴3m+b=n ．∵3m-n ＞1，∴3m-(3m+b)＞1，即-b>1,∴b ＜-1．故选D ．点睛：考查了一次函数图象上点的坐标特征:点的坐标满足函数的解析式，根据一次函数图象上点的坐标特征，再结合3m-n ＞1，得出-b ＞1是解题的关键．
6、A
【解析】
根据图形可得：线段BE 的长度即是平移的距离，又BC=3，EC=2，
∴BE=3−2=1.
故选A.7、D 【解析】由在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相平分，可得四边形ABCD 是平行四边形，又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案．【详解】解：∵在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形，故选：D ．此题考查了平行四边形的判定以及菱形的判定．此题比较简单，注意掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形定理的应用．8、A 【解析】根据程序得到函数关系式，即可判断图像.【详解】解：根据程序框图可得y ＝﹣x×2+3＝﹣2x+3，y ＝2x+3的图象与y 轴的交点为（0，3），与x 轴的交点为（1.5，0）．故选：A ．此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是根据程序得到函数解析式.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、222
5(1)x x +=+【解析】
试题解析：设由题意可得：2225(1)x x +=+．
故答案为2225(1)x x +=+．
10、6
【解析】
∵OA =3OD ，OB =3OC ，∴3OA OB OD OC ==，∵AD 与BC 相交于点O ，∴∠AOB =∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ，∴3AB OA DC OD ==，∵CD =2，∴3326AB DC ==⨯=.故本题应填写：6.【解析】依题意得OP=2，OQ=3，在直角三角形OPQ 中，由勾股定理得．【详解】解：在直角坐标系中设原点为O ，三角形OPQ 为直角三角形，则OP=2，OQ=3，∴=．．12、-1【解析】根据分式值为0的条件进行求解即可.【详解】由题意得，x+1=0，
解得x=-1，
故答案为：-1.
本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0时，分子为0且分母不为0是解题的关键.
13、23．
【解析】
解：画树状图得：∴一共有6种等可能的结果，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，能组成分式的有4个，∴能组成分式的概率是4263=故答案为23．此题考查了列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、1x ，2【解析】将原式进行因式分解化成最简结果，将x 代入其中，计算得到结果.【详解】解：原式=2(2)(2)(2)(2)2x x x x x x --÷+-+=(2)2(2)(2)x x x x x -+⨯+-=1
x
因为x=，所以原式=
2=.
考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
15、见解析.
【解析】
图1，根据三个直角三角形的面积和等于梯形的面积列式化简即可得证；
图1，连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF ＝EC ＝b ﹣a ，表示出S 四边形ADCB ＝S △ACD +S △ABC ，S 四边形ADCB ＝S △ADB +S △DCB ，两者相等，整理即可得证．【详解】利用图1进行证明：证明：∵∠DAB ＝90°，点C ，A ，E 在一条直线上，BC ∥DE ，则CE ＝a +b ，∵S 四边形BCED ＝S △ABC +S △ABD +S △AED ＝12ab +12c 1+12ab ，又∵S 四边形BCED ＝12（a +b ）1，∴12ab +12c 1+12ab ＝12（a +b ）1，∴a 1+b 1＝c 1．利用图1进行证明：证明：如图，连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF ＝EC ＝b ﹣a ，∵S 四边形ADCB ＝S △ACD +S △ABC ＝12b 1+12ab ．又∵S 四边形ADCB ＝S △ADB +S △DCB ＝12c 1+12a （b ﹣a ），∴12b 1+12ab ＝12c 1+12a （b ﹣a ），∴a 1+b 1＝c 1．本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.16、（1）第二组4，第四组18，第三组38%，第五组16%，（2）中位数落在第四组；（3）
中位数落在第四组.
【解析】
（1）先用第三、五组的人数和除以对应的百分比求出总人数，再用总人数分别乘以第二、四组的百分比求得其人数，根据百分比的概念求出第三、五组的百分比可得答案；（2）根据中位数的概念求解可得；
（3）根据中位数的概念求解可得．【详解】（1）由图知，第一组占2%，所以，总人数：12%＝50，第二组：8%×50＝4，第四组：50－1－4－19－8＝18，第三组：1950＝38%，第五组：850＝16%，（2）八（1）班学生身高这组数据的中位数落在第四组；（3）转来两名新同学后，共有52名同学，中位数是第26、27名的平均数，所以，中位数落在第四组。

本题考查了扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由三角形中位线定理可得//DE AB ，2AB DE =，由EF DE =，可得DF AB =，即可证四边形ABFD 是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得AD BF =，可得BF CD =．
【详解】
证明：（1）DE 是ABC ∆的中位线，
//DE AB ∴，2AB DE =，AD CD
=EF DE
=
2DF DE ∴=AB DF ∴=，且//AB DF ∴
四边形ABFD 是平行四边形；（2）四边形ABFD 是平行四边形AD BF ∴=，且AD CD =BF DC ∴=本题主要考查了平行四边形的判定和性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．18、22x -≤<【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【详解】解不等式240x -<，得：2x <，解不等式()210x x -+≤，得：2x ≥-，将不等式的解集表示在数轴上如下：则不等式组的解集为22x -≤<，本题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、-1【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．
【详解】
方程两边都乘（x−3），得2−x−m ＝2（x−3）
∵原方程增根为x ＝3，
∴把x ＝3代入整式方程，得2−3−m ＝0，解得m ＝−1．故答案为：−1．此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20、【解析】如图，作AM 平分∠DAC ，交CD 于点M ，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，证明△ABE ∽△ADM ，根据相似三角形的性质可得AB ：AD=BE ：DM ，证明△ADM ≌△ANM ，根据全等三角形的性质可得AN=AD ，MN=DM ，设BE=m ，DM=n ，则AN=AD=BC=9+m ，MN=n ，CM=9-n ，由此可得99m m n =+，即9n=m(9+m)，根据勾股定理可得，从而可得CN=-（9+m ）,在Rt △CMN 中，根据勾股定理则可得（9-n ）2=n 2-（9+m ）]2，继而由9n=m(9+m)，可得-2m(9+m)=2(9+m)2，=9+2m ，两边同时平方后整理得m 2+6m-27=0，求得m=3或m=-9（舍去），再根据勾股定理即可求得答案.【详解】如图，作AM 平分∠DAC ，交CD 于点M ，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，则∠CAD=2∠DAM=2∠NAM ，∠ANM=∠MNC=90°，∵∠CAD ＝2∠BAE ，∴∠BAE=∠DAM ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=9，∠B=∠D=90°，AD=BC ，
∴△ABE ∽△ADM ，
∴AB ：AD=BE ：DM ，
又∵AM=AM ，
∴△ADM ≌△ANM ，
∴AN=AD ，MN=DM ，
设BE=m ，DM=n ，则AN=AD=BC=CE+BE=9+m ，MN=n ，CM=CD-DM=9-n ，∵AB ：AD=BE ：DM ，∴99m m n =+，即9n=m(9+m)，∵∠B=90°，∴=，∴-（9+m ）,在Rt △CMN 中，CM 2=CN 2+MN 2，即（9-n ）2=n 2+[-（9+m ）]2，∴81-18n+n 2=n 2+92+(9+m)2+(9+m)2，又∵9n=m(9+m)，∴81-2m(9+m)+n 2=n 2+92+(9+m)2+(9+m)2，即-2m(9+m)=2(9+m)2，=9+2m ，∴92+(9+m)2=(9+2m)2，即m 2+6m-27=0，解得m=3或m=-9（舍去），∴==，故答案为：.
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用等，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识，准确计算是解题的关键.
21、
二次根式相乘时，根号不变，直接把根号里面的数相乘，最后化简.二次根式相加减时，只有同类的二次根式才能相加减，根号部分不变，把整数部分相加减.【详解】原式=故答案为本题考察了二次根式的乘法和减法，这里需要注意的是，无论加减乘除，最后都要化为最简二次根式.22、20【解析】连接AC 、BD ，根据三角形的中位线求出HG ，GF ，EF ，EH 的长，再求出四边形EFGH 的周长即可.【详解】如图，连接AC 、BD ，四边形ABCD 是矩形，AC ＝BD ＝8cm ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，
HG ＝EF ＝1
2AC ＝4cm ，EH ＝FG ＝1
2BD ＝4cm ，
四边形EFGH 的周长等于
4＋4＋4＋4＝16cm.
本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
【解析】根据矩形的性质求出△AOB 的面积等于矩形ABCD 的面积的，求出△AOB 的面积，再分别求出△ABO 1、△ABO 2、△ABO 3、△ABO 4的面积，即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AO =CO ，BO =DO ，DC ∥AB ，DC =AB ，∴S △ADC =S △ABC =S 矩形ABCD =×20=10，∴S △AOB =S △BCO =S △ABC =×10=5，∴S △ABO1=S △AOB =×5=，∴S △ABO2=S △ABO1=，S △ABO3=S △ABO2=，S △ABO4=S △ABO3=，∴S 平行四边形AO4C5B =2S △ABO4=2×=，
平行四边形AO n C n +1B 的面积为，
故答案为：；.
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）-2≤x ＜1；（2）x=-1．【解析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）324212x x x x -<⎧⎪⎨-≤+⎪⎩①②，由①得：x ＜1，由②得：x≥-2，则不等式组的解集为-2≤x ＜1；（2）去分母得：x 2+x=x 2-1-2，解得：x=-1，经检验x=-1是分式方程的解．故答案为：（1）-2≤x ＜1；（2）x=-1．本题考查解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键，解分式方程注意要检验．25、(1)点B 的坐标为（15，900），直线AB 的函数关系式为：1803600S t =-+．（2）小明能在比赛开始前到达体育馆.【解析】（1）从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟，设小明步行的速度为x 米/分，则小明父亲骑车的速度为3x 米/分，则路程和为1，即可列出方程求出小明的速度，再
根据A ，B 两点坐标用待定系数法确定函数关系式；（2）直接利用一次函数的性质即可求出小明的父亲从出发到体育馆花费的时间，经过比较即可得出是否能赶上.
【详解】
（1）从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟
设小明步行的速度为x 米/分，则小明父亲骑车的速度为3x 米/分
依题意得：15x+45x=1．
解得：x=2．所以两人相遇处离体育馆的距离为2×15=900米．所以点B 的坐标为（15，900）．设直线AB 的函数关系式为s=kt+b （k≠0）．由题意，直线AB 经过点A （0，1）、B （15，900）得：360015900b k b =⎧⎨+=⎩，解之，得1803600k b =-⎧⎨=⎩，．∴直线AB 的函数关系式为：1803600S t =-+．（2）在1803600S t =-+中，令S=0，得01803600t =-+．解得：t=3．即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为3分钟，因而小明取票的时间也为3分钟．∵3<25，∴小明能在比赛开始前到达体育馆．26、32x -<
≤，x 的整数解为﹣1，﹣1，0，1，1．【解析】先对不等式组中的两个不等式进行分别求解，求得解集，再将解集表示在数轴上.【详解】解：3561162x x x x <+⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①②解不等式①，3x >-，解不等式②，2x ≤，∴32x -<≤，解集在数轴上表示如下：
∴x 的整数解为﹣1，﹣1，0，1，1．
本题考查不等式组和数轴，解题的关键是熟练掌握不等式组的求解和有理数在数轴上的表示.
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