上海市普陀区2019-2020学年第五次中考模拟考试数学试卷含解析

上海市普陀区2019-2020学年第五次中考模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在函数y=x x +-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥0
B ．x≤0
C ．x=0
D ．任意实数
2．一次函数()()y m 1x m 2=-+-的图象上有点()11M x ,y 和点()22N x ,y ，且12x x >，下列叙述正确的是( )
A ．若该函数图象交y 轴于正半轴，则12y y <
B ．该函数图象必经过点()1,1--
C ．无论m 为何值，该函数图象一定过第四象限
D ．该函数图象向上平移一个单位后，会与x 轴正半轴有交点
3．如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ．若BF=8，AB=5，则AE 的长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．12
4．如图，⊙O 的半径为1，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为（ ）
A ．3
B ．23
C ．33
D ．1.53
5．若一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过点（-3,2a ）和点（8a ，-3），则a 的值为（ ）
A．B．C．D．±
6．已知一元二次方程2310
--=的两个实数根分别是x1、x2则x12 x2+ x1 x22的值为（）
x x
A．-6 B．- 3 C．3 D．6
7．下列判断正确的是（）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
8．工信部发布《中国数字经济发展与就业白皮书（2018）》）显示，2017年湖北数字经济总量1.21万亿元，列全国第七位、中部第一位．“1.21万”用科学记数法表示为（）
A．1.21×103B．12.1×103C．1.21×104D．0.121×105
9．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（）
A．30°B．35°C．40°D．50°
10．下列各类数中，与数轴上的点存在一一对应关系的是（）
A．有理数B．实数C．分数D．整数
11．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密后传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a，b对应的密文为a＋2b，2a－b，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是()
A．3，－1 B．1，－3 C．－3，1 D．－1，3
12．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（）
A．31°B．28°C．62°D．56°
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是_____．
14．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是_______.
15．比较大小：4 17（填入“＞”或“＜”号）
16．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，点E，F分别是BD，DC的中点．若AB＝4，BC＝3，则AE+EF的长为_____．
17．某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A，B两款魔方.社长发现若购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同. 求每款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，依题意可列方程组为_______. 18．如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为a、b、c，点C是线段AB的中点，若原点O是线段AC 上的任意一点，那么a+b-2c= ______ ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数
k
y
x
（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
20．（6分）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．
21．（6分）已知边长为2a 的正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点Q ，对于平面内的点P 与正方形ABCD ，给出如下定义：如果2a PQ a <<
，则称点P 为正方形ABCD 的“关联点”.在平面直角坐标系xOy 中，
若A （﹣1，1），B （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），D （1，1）.
（1）在11,02P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，213,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，()
30,2P 中，正方形ABCD 的“关联点”有_____； （2）已知点E 的横坐标是m ，若点E 在直线3y x =上，并且E 是正方形ABCD 的“关联点”，求m 的取值范围；
（3）若将正方形ABCD 沿x 轴平移，设该正方形对角线交点Q 的横坐标是n ，直线31y x =+与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点.如果线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，求n 的取值范围. 22．（8分）已知抛物线F ：y=x 1+bx+c 的图象经过坐标原点O ，且与x 轴另一交点为（﹣，0）．
（1）求抛物线F 的解析式；
（1）如图1，直线l ：y=x+m （m ＞0）与抛物线F 相交于点A （x 1，y 1）和点B （x 1，y 1）（点A 在第二象限），求y 1﹣y 1的值（用含m 的式子表示）；
（3）在（1）中，若m=，设点A′是点A 关于原点O 的对称点，如图1． ①判断△AA′B 的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点P ，使得以点A 、B 、A′、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（8分）26?32-⨯+--（
12
）-1
+3tan60°
24．（10分）如图1，在圆O 中，OC 垂直于AB 弦，C 为垂足，作BAD BOC ∠=∠，AD 与OB 的延长线交于D .
（1）求证：AD 是圆O 的切线；
（2）如图2，延长BO ，交圆O 于点E ，点P 是劣弧AE 的中点，5AB =，13
2
OB =
，求PB 的长 .
25．（10分）某企业为杭州计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y 1（元）与月份x （1≤x≤9，且x 取整数）之间的函数关系如下表： 月份x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格y 1（元/件）
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y 2（元）与月份x （10≤x≤12，且x 取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y 1 与x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y 2与x 之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p 1（万件）与月份x 满足关系式p 1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x 取整数），10至12月的销售量p 2（万件）p 2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x 取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润．
26．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E是对角线AC上一点，且AC·CE=AD·BC. （1）求证：∠DCA=∠EBC；
（2）延长BE交AD于F，求证：AB2=AF·AD．
27．（12分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O 的切线，BF交AC的延长线于F．
（1）求证：∠CBF=1
2
∠CAB．（2）若AB=5，sin∠
5
，求BC和BF的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
【分析】
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．据此可得．
【详解】
解：根据题意知
x
x
≥
⎧
⎨
-≥
⎩
，
解得：x=0，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 2．B 【解析】 【分析】
利用一次函数的性质逐一进行判断后即可得到正确的结论． 【详解】
解：一次函数()()y m 1x m 2=-+-的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，则m 10->，m 20->，若12x x >，则12y y >，故A 错误；
把x 1=-代入()()y m 1x m 2=-+-得，y 1=-，则该函数图象必经过点()1,1--，故B 正确； 当m 2>时，m 10->，m 20->，函数图象过一二三象限，不过第四象限，故C 错误；
函数图象向上平移一个单位后，函数变为()()y m 1x m 1=-+-，所以当y 0=时，x 1=-，故函数图象向上平移一个单位后，会与x 轴负半轴有交点，故D 错误， 故选B ． 【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 3．B 【解析】
试题分析：由基本作图得到AB=AF ，AG 平分∠BAD ，故可得出四边形ABEF 是菱形，由菱形的性质可知AE ⊥BF ，故可得出OB=4，再由勾股定理即可得出OA=3，进而得出AE=2AO=1． 故选B ．
考点：1、作图﹣基本作图，2、平行四边形的性质，3、勾股定理，4、平行线的性质 4．A 【解析】
分析：作OH⊥BC于H，首先证明∠BOC=120，在Rt△BOH中，BH=OB•sin60°=1×
3
2
，即可推出
BC=2BH=3，
详解：作OH⊥BC于H．
∵∠BOC=2∠BAC，∠BOC+∠BAC=180°，∴∠BOC=120°，
∵OH⊥BC，OB=OC，
∴BH=HC，∠BOH=∠HOC=60°，
在Rt△BOH中，BH=OB•sin60°=1×3
＝
3
，
∴BC=2BH=3.
故选A．
点睛：本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
5．D
【解析】
【分析】
根据一次函数的图象过原点得出一次函数式正比例函数，设一次函数的解析式为y＝kx，把点（−3，2a）与点（8a，−3）代入得出方程组，求出方程组的解即可．
【详解】
解：设一次函数的解析式为：y＝kx，
把点（−3，2a）与点（8a，−3）代入得出方程组，
由①得：，
把③代入②得：，
解得：.
故选：D.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，主要考查学生运用性质进行计算的能力．
6．B
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=﹣1，再把x12x2+x1x22变形为x1•x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】
根据题意得：x1+x2=1，x1•x2=﹣1，所以原式=x1•x2（x1+x2）=﹣1×1=－1．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2
b
a =-，
x1•x2
c
a =．
7．C
【解析】
【分析】
直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．
【详解】
A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
8．C
【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
详解：1.21万=1.21×104，
故选：C．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．C
【解析】
分析：欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．
解答：解：∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD=∠C+∠A；
∵∠A=30°，∠APD=70°，
∴∠C=∠APD-∠A=40°；
∴∠B=∠C=40°；
故选C．
10．B
【解析】
【分析】
根据实数与数轴上的点存在一一对应关系解答．
【详解】
实数与数轴上的点存在一一对应关系，
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴上点的关系，每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示，反过来，数轴上的每个点都表示一个唯一的实数，也就是说实数与数轴上的点一一对应.
11．A
【解析】
【分析】
根据题意可得方程组
21
27
a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，再解方程组即可．
【详解】
由题意得：
21 27 a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
解得：
3
1 a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
12．D
【解析】
【分析】
先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得
∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∵∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠FDB=28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD=∠CBD=28°，
∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．m≤1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】
解：由题意知，△＝4﹣4（m﹣1）≥0，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
【点睛】
此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0，方程有两个不相等的实数根；△＝0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根是本题的关键．
14．1 6
【解析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是：
2
12
=
1
6
.
故答案为：1 6 .
【点睛】
本题考查用树状图法求概率，解题的关键是掌握用树状图法求概率.
15．＞
【解析】
【分析】
1617
∴417．
考点：实数的大小比较．
【详解】
请在此输入详解！
16．1
【解析】
【分析】
先根据三角形中位线定理得到EF的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到AE的长，进而得出计算结果．
【详解】
解：∵点E，F分别是BD DC
，的中点，
∴FE是△BCD的中位线，
1 1.5290,3,4
5EF BC BAD AD BC AB BD ︒∴=
=∠====∴=Q . 又∵E 是BD 的中点，
∴Rt △ABD 中，1 2.52
AE BD ==， AE EF 2.5 1.54∴++＝＝，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
17．26170{?38x y x y
+== 【解析】
分析：设A 款魔方的单价为x 元，B 魔方单价为y 元，根据“购买两个A 款魔方和6个B 款魔方共需170元，购买3个A 款魔方和购买8个B 款魔方所需费用相同”，即可得出关于x,y 的二元一次方程组，此题得解．
解：设A 魔方的单价为x 元，B 款魔方的单价为y 元，根据题意得：2617038x y x y +=⎧⎨=⎩
故答案为2617038x y x y +=⎧⎨=⎩
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 18．1
【解析】
∵点A 、B 、C 所表示的数分别为a 、b 、c ，点C 是线段AB 的中点，
∴由中点公式得：c=
2a b +， ∴a+b=2c ，
∴a+b-2c=1．
故答案为1．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）y ＝3x
-
；（2）P （0，2）或（－3，5）；（3）M
（1-，0
）或（3+0）． 【解析】
【分析】
（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出S△ACP＝1
2
×3×|n＋1|，S△BDP＝
1
2
×1×|3−n|，进而建立方程
求解即可得出结论；
（3）设出点M坐标，表示出MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．
【详解】
（1）∵直线y＝－x＋2与反比例函数y＝k
x
（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，∴－a＋2
＝3，－3＋2＝b，
∴a＝－1，b＝－1，
∴A（－1，3），B（3，－1），
∵点A（－1，3）在反比例函数y＝k
x
上，
∴k＝－1×3＝－3，
∴反比例函数解析式为y＝
3
x ；
（2）设点P（n，－n＋2），∵A（－1，3），
∴C（－1，0），
∵B（3，－1），
∴D（3，0），
∴S△ACP＝1
2
AC×|x P−x A|＝
1
2
×3×|n＋1|，S△BDP＝
1
2
BD×|x B−x P|＝
1
2
×1×|3−n|，
∵S△ACP＝S△BDP，
∴1
2
×3×|n＋1|＝
1
2
×1×|3−n|，
∴n＝0或n＝−3，
∴P（0，2）或（−3，5）；
（3）设M（m，0）（m＞0），
∵A（−1，3），B（3，−1），
∴MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝（3＋1）2＋（−1−3）2＝32，∵△MAB是等腰三角形，
∴①当MA＝MB时，
∴（m＋1）2＋9＝（m−3）2＋1，
∴m＝0，（舍）
②当MA ＝AB 时，
∴（m ＋1）2＋9＝32，
∴m ＝−1
m ＝
，
∴M （−1
0）
③当MB ＝AB 时，（m−3）2＋1＝32，
∴m ＝3
m ＝
，
∴M （3
0）
即：满足条件的M （−1
0）或（3
0）．
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
20．证明过程见解析
【解析】
【分析】
要证明BE=CD ，只要证明AB=AC 即可，由条件可以求得△AEC 和△ADB 全等，从而可以证得结论．
【详解】
∵BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ADB 和△AEC 中，
ADB AEC AD AE
A A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADB ≌△AEC （ASA ）
∴AB=AC ，
又∵AD=AE ，
∴BE=CD ．
考点：全等三角形的判定与性质．
21．（1）正方形ABCD 的“关联点”为P 2，P 3；（2
）12m ≤≤
12m ≤≤-；（3
n ≤≤【解析】
【分析】
（1）正方形ABCD 的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），由此画出图形即
可判断；
（2）因为E 是正方形ABCD 的“关联点”，所以E 在正方形ABCD 的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），因为E 在直线3y x =上，推出点E 在线段FG 上，求出点F 、G 的横坐标，再根据对称性即可解决问题；
（3）因为线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，分两种情形：
①如图3中，MN 与小⊙Q 相切于点F ，求出此时点Q 的横坐标；②M 如图4中，落在大⊙Q 上，求出点Q 的横坐标即可解决问题；
【详解】
（1）由题意正方形ABCD 的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），
观察图象可知：正方形ABCD 的“关联点”为P 2，P 3；
（2）作正方形ABCD 的内切圆和外接圆，
∴OF ＝1，2OG =.
∵E 是正方形ABCD 的“关联点”，
∴E 在正方形ABCD 的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），
∵点E 在直线3y x =上，
∴点E 在线段FG 上.
分别作FF’⊥x 轴，GG’⊥x 轴，
∵OF ＝1，2OG =
∴12OF '=，22
OG '=.
∴12 22
m
≤≤.
根据对称性，可以得出
21
22
m
-≤≤-.
∴12
2
m
≤≤或
21
2
m
-≤≤-.
（3）∵
3
,0
3
M
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
、N（0，1），
∴
3
3
OM=，ON＝1.
∴∠OMN＝60°.
∵线段MN上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，
①MN与小⊙Q相切于点F，如图3中，
∵QF＝1，∠OMN＝60°，
∴
2
3
3 QM=
∵
3 OM=
∴
3 OQ=
∴
1
3 3
Q ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
②M落在大⊙Q上，如图4中，
∵2QM =，33
OM =， ∴32OQ =-. ∴232,0Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎭
. 综上：332n ≤≤-. 【点睛】
本题考查一次函数综合题、正方形的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题.
22．（1）y=x 1+x ；（1）y 1﹣y 1=；（3）①△AA′B 为等边三角形，理由见解析；②平面内存在点P ，使得以点A 、B 、A′、P 为顶点的四边形是菱形，点P 的坐标为（1
，）、（﹣ ）和（﹣，﹣1）
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F 的解析式； （1）将直线l 的解析式代入抛物线F 的解析式中，可求出x 1、x 1的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y 1、y 1的值，做差后即可得出y 1-y 1的值；
（3）根据m 的值可得出点A 、B 的坐标，利用对称性求出点A′的坐标．
①利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB 、AA′、A′B 的值，由三者相等即可得出△AA′B 为等边三角形；
②根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P ，设点P 的坐标为（x ，y ），分三种情况考虑：（i ）当A′B 为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标；（ii ）当AB 为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标；（iii ）当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标．综上即可得出结论．
【详解】
（1）∵抛物线y=x1+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣，0），
∴，解得：，
∴抛物线F的解析式为y=x1+x．
（1）将y=x+m代入y=x1+x，得：x1=m，
解得：x1=﹣，x1=，
∴y1=﹣+m，y1=+m，
∴y1﹣y1=（+m）﹣（﹣+m）=（m＞0）．
（3）∵m=，
∴点A的坐标为（﹣，），点B的坐标为（，1）．
∵点A′是点A关于原点O的对称点，
∴点A′的坐标为（，﹣）．
①△AA′B为等边三角形，理由如下：
∵A（﹣，），B（，1），A′（，﹣），
∴AA′=，AB=，A′B=，
∴AA′=AB=A′B，
∴△AA′B为等边三角形．
②∵△AA′B为等边三角形，
∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．（i）当A′B为对角线时，有，
解得，
∴点P的坐标为（1，）；
（ii）当AB为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣，）；
（iii）当AA′为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣，﹣1）．
综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（1，）、（﹣）和（﹣，﹣1）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（1）将一次函数解析式代入二次函数解析式中求出x1、x1的值；（3）①利用勾股定理（两点间的距离公式）求出AB、AA′、A′B的值；②分A′B为对角线、AB为对角线及AA′为对角线三种情况求出点P的坐标．23．0
【解析】
【分析】
根据二次根式的乘法、绝对值、负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算，然后进行加减运算．
【详解】
原式=-23+2-3-2+33=0.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．
24．（1）详见解析；（2）313
PB
【解析】
【分析】
（1）连接OA，利用切线的判定证明即可；
（2）分别连结OP、PE、AE，OP交AE于F点，根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）如图，连结OA，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC，
又∠BAD=∠BOC，
∴∠BAD=∠AOC
∵∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠BAD+∠OAC=90°，
∴OA⊥AD，
即：直线AD是⊙O的切线；
（2）分别连结OP、PE、AE，OP交AE于F点，
∵BE是直径，
∴∠EAB=90°，
∴OC∥AE，
∵OB=13
2
，
∴BE=13
∵AB=5，在直角△ABE中，AE=12，EF=6，FP=OP-OF=13
2
-
5
2
=4
在直角△PEF中，FP=4，EF=6，PE2=16+36=52，
在直角△PEB中，BE=13，PB2=BE2-PE2，
PB=2
1352
-＝313．
【点睛】
本题考查了切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（1）y1=20x+540，y2=10x+1；（2）去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，结合图象上点的坐标求出一次函数解析式即可；
（2）根据生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，以及售价销量进而求出最大利润．【详解】
（1）利用表格得出函数关系是一次函数关系：
设y1=kx+b，
∴
560 2580, k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得：
20
540, k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
∴y1=20x+540，
利用图象得出函数关系是一次函数关系：设y2=ax+c，
∴
10730 12750,
a c
a c
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得：
10
630, a
c
=
⎧
⎨
=
⎩
∴y2=10x+1．
（2）去年1至9月时，销售该配件的利润w=p1（1000﹣50﹣30﹣y1），=（0.1x+1.1）（1000﹣50﹣30﹣20x﹣540）=﹣2x2+16x+418，
=﹣2（x﹣4）2+450，（1≤x≤9，且x取整数）
∵﹣2＜0，1≤x≤9，∴当x=4时，w最大=450（万元）；
去年10至12月时，销售该配件的利润w=p2（1000﹣50﹣30﹣y2）
=（﹣0.1x+2.9）（1000﹣50﹣30﹣10x﹣1），
=（x﹣29）2，（10≤x≤12，且x取整数），
∵10≤x≤12时，∴当x=10时，w最大=361（万元），
∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用，根据已知得出函数关系式以及利用函数增减性得出函数最值是解题关键．
26．(1)见解析；(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由AD∥BC得∠DAC=∠BCA, 又∵AC·CE=AD·BC∴AC AD
BC CE
=，∴△ACD∽△CBE ,
∴∠DCA=∠EBC,
（2）由题中条件易证得△ABF∽△DAC∴AB AF
AD DC
=，又∵AB=DC，∴2
AB AF AD
=⋅
【详解】
证明：
（1）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA, ∵AC·CE=AD·BC，
∴AC AD BC CE
=,
∴△ACD∽△CBE , ∴∠DCA=∠EBC, （2）∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBC,
∵∠DCA=∠EBC，∴∠AFB=∠DCA,
∵AD∥BC，AB=DC, ∴∠BAD=∠ADC,
∴△ABF∽△DAC,
∴AB AF AD DC
=,
∵AB=DC，
∴2AB AF AD =⋅.
【点睛】
本题重点考查了平行线的性质和三角形相似的判定，灵活运用所学知识是解题的关键.
27．（1）证明略；（2）BC=52，BF=
3
20. 【解析】
试题分析：（1）连结AE.有AB 是⊙O 的直径可得∠AEB=90°再有BF 是⊙O 的切线可得BF ⊥AB ，利用同角的余角相等即可证明；
（2）在Rt △ABE 中有三角函数可以求出BE ，又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,
过点C 作CG ⊥AB 于点G .可求出AE,再在Rt △ABE 中，求出sin ∠2，cos ∠2.然后再在Rt △CGB 中求出CG ，最后证出△AGC ∽△ABF 有相似的性质求出BF 即可.
试题解析：
（1）证明：连结AE.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°.
∵BF 是⊙O 的切线，∴BF ⊥AB ， ∴∠CBF +∠2=90°.∴∠CBF =∠1.
∵AB=AC ，∠AEB=90°， ∴∠1=
2
1∠CAB. ∴∠CBF=21∠CAB.
（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于点G .∵sin ∠CBF=
55，∠1=∠CBF ， ∴sin ∠1=5
5. ∵∠AEB=90°，AB=5. ∴BE=AB·sin ∠1=5.
∵AB=AC ，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=52.
在Rt △ABE 中，由勾股定理得5222=-=BE AB AE .
∴sin ∠2=552，cos ∠2=55. 在Rt △CBG 中，可求得GC=4，GB=2. ∴AG=3.
∵GC ∥BF ， ∴△AGC ∽△ABF. ∴AB
AG BF GC =， ∴320=⋅=AG AB GC BF . 考点：切线的性质，相似的性质，勾股定理.。