高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第七节 数学归纳法教师用书 理-人教版高三全册数学试

第七节数学归纳法
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求真题举例命题角度
1.了解数学归纳法的原理；
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

全国卷Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ无
2015某某，23,10分(数学归纳
法)
2014，某某，21,13分(数学归
纳法)
2014，某某，21,14分(数学归
纳法)
数学归纳法在近年的全国卷高考
中还未出现过，只是在个别的自主命
题的省份有所考查。

由此可见数学归
纳法不是高考的热点内容，我们做一
般地认识就可以了，不必搞得过深过
难。

微知识小题练
自|主|排|查
数学归纳法的定义及框图表示
(1)定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是归纳奠基。

②假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这一步是归纳递推。

完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

(2)框图表示：
微点提醒
1．数学归纳法证题时，不要误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n－2)π
时，初始值n 0＝3。

2．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意： (1)必须利用归纳假设作基础。

(2)证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法。

(3)解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了哪些项或减少了哪些项。

小|题|快|练
一 、走进教材
1．(选修2－2P 96B 组T 1改编)在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为1
2n (n －3)条时，
第一步检验n 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n ＝3。

【答案】 C
2．(选修2－2P 94例1改编)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2
＝n 4＋n 2
2
，则当n ＝k ＋1
时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )
A ．k 2
＋1 B ．(k ＋1)2
C.
k ＋1
4
＋k ＋1
2
2
D ．(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
【解析】 当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2。

当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋
k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)
＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2。

故选D 。

【答案】 D 二、双基查验
1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2
＋…＋a n ＋1
＝1－a n ＋2
1－a
(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等式
左边的项是( )
A ．1
B ．1＋a
C ．1＋a ＋a 2
D ．1＋a ＋a 2
＋a 3
【答案】 C
2．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *
)成立，其初始值至少应取
( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【解析】 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－1
2n
1－12＝2－1
2
n －1，代入验证可知n 的最小值是8。

故选B 。

【答案】 B
3．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n 2，则( )
A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
C ．f (n )中共有n 2
－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13
D ．f (n )中共有n 2
－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14
【答案】 D
4．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋1
2n ，则S n ＋1－S n ＝________。

【解析】∵S n ＋1＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋12n ＋1＋…＋1
2n ＋2
n ，
S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12
n ，
∴S n ＋1－S n ＝
12n
＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2
n 。

【答案】12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋1
2n ＋2
n
5．已知{a n }满足a n ＋1＝a 2
n －na n ＋1，n ∈N *
，且a 1＝2，则a 2＝________，a 3＝________，
a 4＝________，猜想a n ＝________。

【答案】 3 4 5 n ＋1
考点例析
微考点大课堂
对点微练
考点一用数学归纳法证明等式
222222n∈N*)。

【证明】①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立。

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k ＋1)。

当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立。

由①②得，等式对任何n∈N*都成立。

反思归纳数学归纳法证明等式的思路和注意点
1．思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少。

2．注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法。

【变式训练】设f(n)＝1＋1
2
＋
1
3
＋…＋
1
n
(n∈N*)。

求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝
n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)。

【证明】 (1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，
右边＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12－1＝1， 左边＝右边，等式成立。

(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *
)时，结论成立， 即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时，
f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋
1)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f
k ＋1－
1
k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立。

由(1)(2)可知，f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *
)。

考点二
用数学归纳法证明不等式
n n 12
n ＋1n ＋12
n *
时，a n ＜a n
＋1。

【证明】 (1)当n ＝1时，
因为a 2是方程a 2
2＋a 2－1＝0的正根， 所以a 1＜a 2。

(2)假设当n ＝k (k ∈N *
)时，0≤a k ＜a k ＋1， 则由a 2
k ＋1－a 2
k ＝(a 2
k ＋2＋a k ＋2－1)－(a 2
k ＋1＋a k ＋1－1) ＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)＞0，
得a k ＋1＜a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，a n ＜a n ＋1也成立。

根据(1)和(2)，可知a n ＜a n ＋1对任何n ∈N *
都成立。

反思归纳 1.当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考
虑应用数学归纳法。

2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明。

【变式训练】 用数学归纳法证明：
1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12
＋n (n ∈N *
)。

【证明】 (1)当n ＝1时， 左边＝1＋12，右边＝1
2＋1，
∴32≤1＋12≤3
2
，即命题成立。

(2)假设当n ＝k (k ∈N *
)时命题成立，即
1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤1
2
＋k ， 则当n ＝k ＋1时，
1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋2k ＝1＋k ＋12。

又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，
即n ＝k ＋1时，命题成立。

由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N *
都成立。

考点三
归纳—猜想—证明
【典例3】 设a ＞0，f (x )＝
ax a ＋x
，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *。

(1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论。

【解析】 (1)∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a
1＋a
；
a 3＝f (a 2)＝
a 2＋a
；a 4＝f (a 3)＝
a
3＋a。

猜想a n ＝
a
n －1＋a
(n ∈N *
)。

(2)证明：①易知，n ＝1时，猜想正确。

②假设n ＝k (k ∈N *
)时猜想正确， 即a k ＝
a
k －1＋a
，
则a k ＋1＝f (a k )＝
a ·a k a ＋a k ＝a ·
a
k －1＋a a ＋
a k －1＋a
＝a k －1＋a ＋1＝a
[k ＋1－1]＋a。

这说明，n ＝k ＋1时猜想正确。

由①②知，对于任何n∈N*，都有a n＝
a
n－1＋a。

【答案】见解析
反思归纳“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式。

其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明。

这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用。

其关键是归纳、猜想出公式。

【变式训练】将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明。

S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
……
【解析】由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44；
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4。

下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立。

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，
即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，
那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立。

根据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N*，
S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立。

【答案】见解析
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随堂自测
1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解析∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立。

∴n的第一个取值应是3。

故选C。

答案 C
2．用数学归纳法证明“1＋1
2
＋
1
3
＋
1
4
＋…＋
1
2n－1
<n(n∈N*，n≥2)时，由n＝k(k>1)不等式
成立，推证n＝k＋1时不等式成立，左边应增加的项数为( ) A．k B．k＋1
C．2k D．2k＋1
解析 当n ＝k 时，不等式左侧是1＋12＋13＋14＋…＋1
2k －1，分母各项依次增加1，故当n
＝k ＋1时，不等式左侧变为1＋12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋1
2k ＋1－1，左边应增加的
项数为(2
k ＋1
－1)－(2k －1)＝2
k ＋1
－2k ＝2k
，故选C 。

答案 C
3．(2016·某某月考)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1
n ＝
2⎝
⎛⎭
⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假
设再证( )
A ．n ＝k ＋1时等式成立
B ．n ＝k ＋2时等式成立
C ．n ＝2k ＋2时等式成立
D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立
解析 k 为偶数，则k ＋2为下一个偶数，故选B 。

答案 B
4．(2017·潍坊模拟)某个命题与正整数有关，若当n ＝k (k ∈N *
)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝4时该命题不成立，那么可推得( )
A ．当n ＝5时，该命题不成立
B ．当n ＝5时，该命题成立
C ．当n ＝3时，该命题成立
D ．当n ＝3时，该命题不成立
解析 由数学归纳法的特点可以知道，当n ＝4时该命题不成立，可知当n ＝3时，该命题不成立。

故选D 。

答案 D
5．(2016·某某模拟)在数列{a n }中，a 1＝1
3
，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想
a n 的表达式为( )
A ．a n ＝1
n －1
n ＋1
B ．a n ＝
1
2n
2n ＋1
C ．a n ＝
1
2n －1
2n ＋1
D ．a n ＝
1
2n ＋1
2n ＋2
解析 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝1
7×9。

猜
想a n ＝
1
2n －1
2n ＋1。

故选C 。

答案 C。