高三数学下学期平面向量多选题单元 易错题综合模拟测评学能测试试题

高三数学下学期平面向量多选题单元 易错题综合模拟测评学能测试试题
一、平面向量多选题
1．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是
（ ） A ．21
2
AO AB AB ⋅
=
B ．OA OB OA O
C OB OC ⋅=⋅=⋅
C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则
1
1
3λ
μ
+
=
D ．AH 与
cos cos AB AC AB B
AC C
+
共线
【答案】ACD 【分析】
根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC =即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与BC 垂直，从而说明D 正确.
【详解】
如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM ∴∠=
()
21
·cos cos ?22
AB
AO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正
确；
··OAOB OAOC =等价于()
·0OA OB OC -=等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，
对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中， 若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；
设BC 的中点为D ,
则()
2111111
33333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλ
μ⎛⎫=
=+=+=+ ⎪⎝⎭， ∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴
+=，即11
3λμ
+=,故C 正确； cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+
⋅=+ ⎪⎝⎭
()
cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B
AC C
π⋅-⋅=
+
0BC BC =-+=,
∴
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与BC 垂直,又AH BC ⊥,∴
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与AH
共线，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.
2．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（ ） A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ = C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ =，则12I I =
【答案】ABD 【分析】
作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案. 【详解】
根据题意，在直线AB 上取点,P Q '
'
，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q '
'
分别作直线AB 的
垂线，交曲线x
y e =于1P ，2P ，交曲线
ln y x =于12,Q Q ，在曲线x
y e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：
1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，
2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，
若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，
若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，
但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；
对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且
Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；
对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确. 故选：ABD 【点睛】
关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.
3．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ）
A ．()a b a +⊥
B ．|2|5a b +=
C ．向量a 在向量b 上的投影是2
D ．向量a 的单位向量是⎝⎭
【答案】ABD 【分析】
多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断； 对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的计算公式； 对于D:直接求单位向量即可． 【详解】
(2,1),(3,1)a b ==-
对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；
对于B:
222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；
对于C: 向量a 在向量b 上的投影是
2||(3)a b b ⋅==--，故C 错误；
对于D: 向量a 的单位向量是55⎛ ⎝⎭
，故D 正确．
故选：ABD ． 【点睛】
多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
4．下列说法中错误的为（ ）
A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底
C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a
D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，
∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++
142350λλλ=+++=+>，
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以5
3
λ>-
且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；
对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则2
23
()||||2
a a
b a a b a ⋅+=+⋅=
， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，
故2
3||()32cos ,2
||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===
+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.
5．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．12
33
BE BA BC =
+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14n
n n a a +-=
【答案】BD 【分析】 证明12
33
BE BA BC =
+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}
是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14n
n n a a +-=，所以选项D 正确，易得
321a =，选项C 不正确.
【详解】
因为2
AE EC
=，所以
2
3 AE AC
=，
所以
2
()
3
AB BE AB BC
+=+,
所以
12
33
BE BA BC
=+，所以选项B正确；
设BD tBE
=（0
t>），
则当n≥2时，由()()
11
23
n n n n
BD tBE a a BA a a BC
-+
==-+-，所以
()()
11
11
23
n n n n
BE a a BA a a BC
t t
-+
=-+-，
所以()1
11
2
3
n n
a a
t-
-=，()
1
12
3
3
n n
a a
t+
-=，
所以()
11
322
n n n n
a a a a
+-
-=-，
易得()
11
4
n n n n
a a a a
+-
-=-，
显然1
n n
a a
-
-不是同一常数，所以选项A错误；
因为2a-1a=4，1
1
4
n n
n n
a a
a a
+
-
-
=
-，
所以数列{1
n n
a a
-
-}是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以
1
4n
n n
a a
+
-=，所以选项D正确，
易得321
a=，显然选项C不正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．已知,,
a b c是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）
A．||||||
a b a b
⋅≤
B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即
22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得5
3
λ>-
， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
7．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ） A ．-2 B ．
12
C ．1
D ．-1
【答案】ABD 【分析】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解
【详解】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-， 故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.
8．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-
【答案】AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A
选项正确，D 选项错误；
若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
9．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）
A ．1-
B ．
113
C ．
313
+ D ．
313
2
- 【答案】BCD 【分析】
由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】
若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=
230k ∴+=解得23
k =-
若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=
()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--
2390k ∴-+-=解得113
k =
若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=
()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--
()130k k ∴-+-=解得313k ±=
综合可得，k 的值可能为211313313
,,,
3322
+-- 故选：BCD 【点睛】
本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.
10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）
A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个
B ．满足10OA OB -=的格点B 共有3个
C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+
D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 【答案】BCD 【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=，
所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．
若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。