一次函数和面积的知识

面积与一次函数
将一次函数与面积综合在一起进行考查，是目前比较热点的一类题型，充分体现了数形结合思想的具体应用，现举例加以说明．
一、由一次函数图象求面积
例1 已知直线y=kx+b过点A（－1，5），且平行于直线y=－x+2．
（1）求直线y=kx+b的关系式；
（2）若B（m，－5）在这条直线上，O
二、由面积关系求一次函数关系式 例2 如图2，直线PA 是一次函数y=x+n(n ＞0)＞n) 的图象．
（1）用m 、n 表示A 、B 、P 的坐标；
（2）设PA 交y 轴于点Q ，若AB=2，四边形 PQOB 的面积为
6
5
，求P 点坐标和直线PA 、PB 分析：（1）分别令y=0，代入两个一次函数，可求出
A 、
B 两点的坐标；要求P 的坐标，只要把y=x+n 与一次方程组，可求得含有m 、n 的x 、y 值，即可得P 点的坐标；（2）由四边形PQOB 的面积等于△PAB 的面积减去△AOQ 的面积，可求出m 、n ，从而求出P 点坐标和直线PA 、PB 的关系式．
解：（1）在y=x+ n 中，令y=0，得x=－n ，所以A （－n ，0）；在y=－2x+m 中，令y=0，
得x=21m ，所以B （21m ，0）；由⎩⎨⎧+-=+=m x y n x y 2，解得⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=-=323n m y n m x ，所以P （3n m -，3
2n
m +）． （2）由y=x+ n ，得Q （0，n ），所以QO=n 。

因为A （－n ，0），所以OA=n -= n 。

所以PQOB S 四边形=PAB S ∆－AO Q S ∆=21×2×32n m +－21n 2=6
5
，即2m+4n －3n 2=5。

又OA+OB= n+
2
1
m=2，即m=4－2n 。

所以2（4－2n ）+4n －3n 2=5，所以n 2=1，所以n=1（负值舍去），所以m=4－2×1=2，所以P （31，3
4
）。

所以直线PA 的关系式为y=x+1；PB 的关系式为y=
－2x+2．
点评：对于不规则的几何图形的面积，可以通过转化的思想，化不规则为规则，如本题中将四边形PQOB 的面积，转化为两个规则图形△PAB 与△AOQ 面积的差去解决的．
通过以上两道例题可以看出，解决一次函数与面积问题的基本步骤是：（1）确定交点坐标（有时可用待定系数表示）；（2）求出有关线段的长度；（3）将有关图形的面积化归为与坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后根据题目特点利用图象与面积间的关系综合求解．。