微积分2-5

4
故a 6, b 7.
例12 设 lim( x2＋2＋ax b) 2,求a、b. x x 1
解 左边 lim x2 2 axx 1 bx 1
x
x1
1 ax2 a bx 2 b
lim
x
x1
商的极限存在，必须
1a 0， ab 2
解得 a 1 ， b 3 .
例13
§2.5 极限的运算法则
一、极限的运算法则 二、求极限方法举例
多项式与分式函数代入法求极限; 消去零因子法求极限; 无穷小因子分出法求极限; 利用无穷小量运算性质求极限; 利用左右极限求分段函数极限.
一、极限的运算法则
定理:在某一变化过程中，如果变量 x 和变量 y 分别以
A 与 B 为极限，则变量 x y 以 A B 为极限，即
x2
321 7 0
所以
2x2 lim
x5
x2 3x 1
lim(2x2 x 5)
x2
5
lim(3x 1) 7
x2
练习
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
练习
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解
lim( x 2 3 x 5) x2
lim x 2 lim 3x lim 5
x4 x 4 x4 ( x 4)( x 2)
lim
x4
x4 ( x 4)( x 2)
lim 1 1 x4 x 2 4
(消去零因子法)
例9
求
lim (
x 2
1 x
2
12 x3
) 8
解：
1
12
x2 2x 4 12
lim ( x2 x
2
x3
) 8
lim
x2
x3 8
( x 2)( x 4)
5 1
.
(型)
练习
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
(型)
解 先用x3去除3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
例5
求
lim
x
4
x
3 3x
2x 4
2
1
1
(型)
解：将分子、分母同除以 x4，得
x2 1
( x 1)( x 1)
lim
x1
x2
2x
3
lim
x1
(x
3)( x
1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
例8 求 lim x 2 x4 x 4
解 x 4时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
x 2
( x 2)( x 2)
lim
lim
4
练习
求
lim
x1
x
2
4x 1 2x
3
.
练习
求
lim
x1
x
2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x 2 2 x 3) 0, x1 又lim(4x 1) 3 0, x1
商的法则不能用
lim x2 2x 3 0 0. x1 4x 1 3
由无穷小量与无穷大量的关系,得
4x 1
解 x 0是函数的分段点,两个单侧极限为
lim
x0
f (x)
lim (1
x0
x)
1,
y y 1 x
lim f ( x) lim ( x2 1) 1,
x0
x0
左右极限存在且相等,
1
o
故 lim f ( x) 1. x0
y x2 1 x
求
lim
4x3
2x2
1
lim
4 x
2 x2
1 x4
x 3x4 1
n
3
1 x4
000 0
30
例6
2x3 1
lim
x
8
x2
7
x
(型)
解：将分子、分母同除以 x3，得
lim
x
8x2 7x 2x3 1
lim
n
8 x 2
7 x2 1 x3
于是有
2x3 1
lim
x
8x2
7x
00 0
20
小结 当a0 0,b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x2
(
x
2)(
x2
2x
4)
lim
x2
x2
x4 2x
4
1 2
(消去零因子法)
例10 已知
f
(
x)
x2
x
1 3x
1
x3 1
x0 x0
求 lim f ( x), lim f ( x), lim f ( x)
x0
x
x
解 x 0是函数的分段点,两个单侧极限为
lim f ( x) lim( x 1) 1
x0
x0
x2 3x 1
lim f ( x) lim(
x0
x0
x3 1
) 1
左右极限存在且相等, 故 lim f (x) 1. x0
lim
x
f
(x)
lim (
x
x2
3x x3 1
1)
0
lim f ( x) lim ( x 1)
x
x
例11
设
lim
x 1
x2＋ax b x2 2x 3
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0n
a1
x n1 0
an
f ( x0 ).
2. 设
f (x)
P( Q(
x x
) )
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
P(x0 ) Q(x0 )
x1
x1
3(lim x)2 2 1 x1
321 2
例2 求 lim 2x2 x 5 x2 3x 1
解：因为
lim(2x2 x 5) 2(lim x)2 lim x lim5
x2
x2
x2
x2
2 22 2 5 5
lim(3x 1) 3lim x lim1
x2
x2
lim xy lim x lim y
推论1 两个无穷小量的乘积为无穷小量.
推论2 常数因子可以提到极限符号外面,即 lim cy c lim y
推论3 如果n是正整数， 则 lim xn (lim x)n
以后可以证明，如果n是正整数， 则
1
1
lim x n (lim x)n
定理:在某一变化过程中，如果变量 x 和变量 y 分别以 A 与 B 为极
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2 )
lim 1
n
2 n2
n
1
n(n 1)
lim 2
n
n2
1 lim (1 n 2
1) n
1. 2
例14
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
x
0 ,
求
lim
f ( x).
x 0 x0
先约去不为零的无穷小因子 x 3 后再求极限.
x3
x3
lim
x3
x2
9
lim
x3
(x
3)(
x
3)
lim 1 1 x3 x 3 6
(消去零因子法)
练习
求
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
练习
求
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子 x 1 后再求极限.
2, 求a、b.
解 x 1时,分母的极限是零,而商的极限存在.
则 lim( x 2 ax b) 1 a b 0, x 1
b (a 1)
于是 lim x1
x 2＋ax x2 2x
b 3
lim
x1
(
x (
x
a
1)( 3)( x
x
1) 1)
x1a 2a
lim
2.
x1 x 3
lim( x y) lim x lim y
推论：两个无穷小量的代数和仍为无穷小量.
注意 无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量.
例如, n 时, 1 是无穷小量， n
但n个 1 之和为1不是无穷小量. n
定理：在某个变化过程中，如果变量 x 和变量 y 分别以 A 与 B 为极限，则变量 xy 以 AB 为极限，即
xA 限，且 B 0 ,则变量 y 以 B 为极限，即
lim x lim x (lim y 0) y lim y
二、求极限方法举例
例1 求 lim(3x2 2x 1) x1
解： lim(3x2 2x 1) x1
lim3x2 lim2x lim1
x1
x1
x1
3lim x2 2lim x 1
lim
x
a0 xm b0 xn
a1 x m1 b1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m, m,
,当n m,
无穷小因子分出法:以分母中自变量的最高次幂 除分子、分母,以分出无穷小量,然后再求极限.
(留高去低)
例7
求
lim
x3
x3 x2 9
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x2
x3 1 3x
5
lim x 3 lim 1
x2
x2
lim( x 2 3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
小结 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有
lim
x1
x2
2x
3
.
例4
2n2 2n 3
lim
n
3n2 1
.
(型)
解：将分子、分母同除以 n2，得
lim
n
2n2 2n 3 3n2 1
23
lim
n
2
3
2 n
3 n2
1
n2
lim(2
n
n
n2
)
lim(3
n
1 n2
)
200
30
2 3
练习
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
f ( x0 ).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例3
求
lim
x2
5x x2
4
解：因为 lim( x2 4) 0, 商的法则不能用 x2 又lim5x 10 0, x2
所以可求出lim x2 4 0 0.
x2 5x
10
由无穷小量与无穷大量的关系,得
求
lim
x2
5x x2