绍兴市2022届数学高二下期末学业水平测试试题含解析

绍兴市2022届数学高二(下)期末学业水平测试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设集合{
}
{}
2
120,66A x x x B x Z x =-->=∈-≤≤，则A B I 的元素的个数为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3:5:7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n =（）． A ．70
B ．90
C ．40
D ．60
3．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个白球；都是白球 B ．至少有一个白球；至少有一个红球 C ．至少有一个白球；红、黑球各一个
D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球
4．已知某产品连续4个月的广告费用()1,2,3,4i x i =（千元）与销售额()1,2,3,4i y i =（万元），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：
①广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系； ②
4
4
1
1
18,14i
i i i x
y ====∑∑；
③回归直线方程y bx a =+$$$中的b
$＝0.8（用最小二乘法求得）； 那么，广告费用为8千元时，可预测销售额约为（ ） A ．4.5万元
B ．4.9万元
C ．6.3万元
D ．6.5万元
5．已知向量a v 、b v 、c v 满足a b c +=v v v ，且::a b c =v v v a v 、b v 夹角为（ ）
A ．
4
π
B ．
34
π C ．
2
π D ．
23
π 6．函数f(x)=x 3-x 2+mx+1不是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．1,3⎛+∞⎫
⎪⎝⎭
7．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，23i
e π
表示的复数位于复平面中的（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是2
3
，没有平局.若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于（ ） A ．
49
B ．
2027
C ．
827
D ．
1627
9．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．恰有一个红球与恰有二个红球 D ．至少有一个红球与至少有一个白球
10．已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ） A ．2[1,]3
-
B ．1[1,]3
-
C ．[1,1]-
D ．1[,1]3
11．命题“320,0x x x ∀>+>”的否定是（） A ．3
2
0000,0x x x ∃>+≤ B ．32
0000,0x x x ∃≤+≤ C ．320,0x x x ∃>+≤
D ．320,0x x x ∃≤+≤
12．用反证法证明“方程()2
00++=≠ax bx c a 至多有两个解”的假设中，正确的是（ ） A ．至少有两个解 B ．有且只有两个解 C ．至少有三个解
D ．至多有一个解
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知椭圆22
221x y a b
+=（a>b>0）的离心率为e ，1F ，2F 分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P
使得∠12F PF 是钝角，则满足条件的一个e 的值为____________
14．科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称.假设甲每次通过科目二的概率均为
3
4
，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为__________． 15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和
等于30的概率是_______.
16．函数 ()2sin 36f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的最小正周期为__________．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
(1)若2z az b 1i,a,b R ++=+∈,求,a b .
(2)设复数1(,)z x yi x y R =+∈满足11z z -=，试求复数1z 平面内对应的点(,)x y 到原点距离的最大值. 18．（理科学生做）某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X ,其概率分布如下表，数学期望()2E X =.
（1）求a 和b 的值；
（2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X 大于0的次数为Y ，求Y 的概率分布与数学期望. X
3
6
P
1
2
a b
19．（6分）设函数221()ln ,(0)f x x a x a a x x ⎛
⎫=----> ⎪⎝
⎭, （1）求函数()f x 的单调区间：
（2）记()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值．
20．（6分）某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为A 、B 、C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.
（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；
（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 21．（6分）某机构对某市工薪阶层的收入情况与超前消费行为进行调查，随机抽查了200人，将他们的月收入（单位：百元）频数分布及超前消费的认同人数整理得到如下表格： 月收入（百元） [)50,60
[)60,70
[)70,80
[)80,90
[)90,100
[)100,110
频数
20
40
60
40
20
20
认同超前消费的人
数
8
16
28
21
13
16
（1）根据以上统计数据填写下面22⨯列联表，并回答是否有99%的把握认为当月收入以8000元为分界点时，该市的工薪阶层对“超前消费”的态度有差异； 月收入不低于8000元 月收入低于8000元 总计 认同 不认同 总计
（2）若从月收入在[)60,70的被调查对象中随机选取2人进行调查，求至少有1个人不认同“超前消费”的概率. 参考公式：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.
附表：
()20P K k ≥
0.10 0.05 0.025 0.010
0k
2.706
3.841 5.024 6.635
22．（8分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点M 是BC 的中点．
（1）求异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值； （2）求直线1AC 与平面1A DM 所成角的正弦值．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】
分析：分别求出A 和B ，再利用交集计算即可.
详解：{}
43A x x x =<-或，{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6B =------， 则{}6,5,4,5,6A B ⋂=---，交集中元素的个数是5. 故选：C.
点睛：本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2．B 【解析】 【分析】
用18除以甲的频率，由此求得样本容量. 【详解】 甲的频率为313575=++，故1
18905
n =÷=，故选B.
【点睛】
本小题主要考查分层抽样的知识，考查频率与样本容量的计算，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】
由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果. 【详解】
袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项： 在A 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立． 在B 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B 不成立； 在C 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生， 是互斥而不对立的两个事件，故C 成立；
在D 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D 不成立； 本题选择C 选项. 【点睛】
事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． 4．C 【解析】 【分析】
由已知可求出,x y ，进而可求出$a
，即可得到回归方程，令8x =，可求出答案. 【详解】
由题意，44
11
114.5, 3.544i i i i x x y y ======∑∑，
因为0.8b =$，所以 3.50.8 4.50.1a y bx =-=-⨯=-$$，
则回归直线方程为$0.80.1y x =-. 当8x =时，0.880.1 6.3y =⨯-=. 故选C. 【点睛】
本题考查了线性回归方程的求法，考查了计算能力，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】
对等式a b c +=r r r 两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出0a b ⋅=r r ，由此可求出a r 、b r
的夹角. 【详解】
等式a b c +=r r r 两边平方得222
2a a b b c +⋅+=r r r r r ，即2222cos a b b c a θ+⋅+=r r r r r ，
又::a b c =r r r 0a b ⋅=r r ，a b ∴⊥r r ，因此，a r 、b r 夹角为2
π
，故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量夹角的计算，同时也考查平面向量数量积的运算律以及平面向量数量积的定义，考查计算能力，属于中等题. 6．C 【解析】 【分析】
求出导函数()2
'32f x x x m =-+，转化为2320x x m -+=有两个不同的实数根即可求解.
【详解】
因为f(x)=x 3-x 2+mx+1，
所以()2
'32f x x x m =-+，
又因为函数f(x)=x 3-x 2+mx+1不是R 上的单调函数, 所以2320x x m -+=有两个不同的实数解， 可得141203m m ∆=->⇒<
， 即实数m 的取值范围是1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想的应用，属于基础题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将单调性问题转化为方程问题是解题的关键 7．B 【解析】
2πi 3
2π2π13cos
isin i 332e
=+=-+ ,对应点13(,)2- ,位于第二象限,选B. 8．B 【解析】
试题分析：实验女排要获胜必须赢得其中两局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故获胜的概率为:
,故选B.
考点：独立事件概率计算. 9．C 【解析】 【详解】
从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种： 3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球. 选项A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件； 选项B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；
选项D 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；
选项C 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C. 10．B
()f x Q 是定义在[]21b b -+，上的偶函数， ()()210b b ∴-++=，即10b -+=，1b = 则函数的定义域为[]
22，
- Q 函数在[]20-，上为增函数，
()()12f x f x -≤
故12x x -≥两边同时平方解得113
x -≤≤， 故选B 11．A 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定形式书写. 【详解】
根据全称命题的否定形式可知“32
0,0x x x ∀>+>”的否定是“3200,0x x x ∃>+≤”.
故选A. 【点睛】
本题考查全称命题的否定形式，属于简单题型. 12．C 【解析】
分析：把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即为所求． 详解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，
命题：“方程ax 2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”， 故选C ．
点睛：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．
2（答案不唯一，
2
<e<1） 【解析】 【分析】
当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大，因此满足题意时，此角必为钝角．
由题意当P 为短轴端点时，12F PF ∠为钝角，∴1c b ≥，∴2222c b a c ≥=-，222c a >，212
e >，∴
2
12
e <<． 答案可为3． 【点睛】
本题考查椭圆的几何性质．解题中注意性质：P 是椭圆上任意一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大． 14．
364
【解析】
甲第3次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第3次通过，故所求概率为2
33314464
⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭.填364。

15．
【解析】 【分析】
利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可． 【详解】
在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个， 从中选2个不同的数有
45种，
和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种， 则对应的概率P
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 16．
23
π
【解析】 【分析】
【详解】
由题得函数的最小正周期22|-3|3
T ππ=
=. 故答案为23
π 【点睛】
本题主要考查正弦型函数的最小正周期的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）3
4a b =-⎧⎨=⎩
（21
【解析】 【分析】
（1）复数相等时，实部分别相等，虚部分别相等；（2）由11z z -=判断出1z 对应的轨迹，然后分析轨迹上的点到原点距离最大值. 【详解】
解：（1）21z az b i ++=+Q ，
21i a ai b i ∴-+-+=+，
(2)1a b a i i ∴+-+=+
1
(2)1a b a +=⎧∴⎨-+=⎩， 34a b =-⎧∴⎨=⎩
；
(2)设1,(,)z x yi x y =+∈R ，
|()(1)|1x yi i ∴+--=
即|(1)(1)|1x y i -++=，
22(1)(1)1x y ∴-++=
即1z 在平面对应点的轨迹为以(1,1)-为圆心，以1为半径的圆，
max 11d ∴==
【点睛】
本题考查复数相等以及复数方程对应的轨迹问题，难度一般.以复数0z 对应的点为圆心，以r 为半径的圆
18． (1) 11,36
a b =
=. (2)分布列见解析，3
()2
E Y =. 【解析】
分析：（1）根据分布列的性可知所有的概率之和为1然后再根据期望的公式得到第二个方程联立求解即可；（2）根据二项分布求解即可. 详解：(1)因为()2E X =，所以1
03622
a b ⨯
+⨯+⨯=， 即362a b +=．①
又
112a b ++=，得1
2
a b +=．② 联立①，②解得13a =，1
6
b =．
(2)1(0)2P X >=
，依题意知13,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
， 故()3
11028P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2
131131228
P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2
23
1132228P Y C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()3
11
328
P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．
故Y 的概率分布为
Y 的数学期望为()012388882
E Y =⨯+⨯+⨯+⨯
=． 点睛：考查分布列的性质，二项分布，认真审题，仔细计算是解题关键，属于基础题. 19．（1）()f x 单减区间为(0,)a ，单增区间(,)a +∞ （2）1- 【解析】 【分析】 （1）求出导函数
'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；
（2）由（1）可得()f x 的最小值()g a ，作为a 的函数，对a 求导，同样利用导数与单调性的关系确实单调性后得最大值，只是确定'()g a 的零点时，要先确定'()g a 的单调性，然后才能说明零点的唯一性． 【详解】 （1）0x >，
23212()1f x a x x x ⎛⎫=+
-+ ⎝'⎪⎭
323
22x x ax a
x
+--= ()()
223
22x x a x x
+-+=
()
23
()20x a x x a x
-+=
>⇒>
()f x ∴单减区间为(0,)a ，单增区间(,)a +∞．
（2）由（1）min 221()()ln f x f a a a a a a a ⎛
⎫==-
--- ⎪⎝
⎭ 211
()ln ,()ln 1g a a a g a a a a
'∴=--=--，容易得到()g a '在(0,)+∞上单调递减，
(1)0,(0,1)g a '=∴∈Q 时，()0g a '>，
(1,)∈+∞a 时，()0g a '<，所以()g a 在(0,1)单增，(1,)+∞单减， max ()(1)1g a g ∴==-
【点睛】
本题考查用导数研究函数的单调性．函数()f x 的导函数是
'()f x ，一般由'()0f x >确定增区间，由
'()0f x <确定减区间．要注意有时函数'()f x 的零点不易确定，可能还要对'()f x 求导，以确定'()f x 的
单调性及零点有存在性．
20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）55000元.
【解析】试题分析：（I ）设工种A 每份保单的保费，则需赔付时，收入为450100a -⨯<，根据概率分布可计算出保费的期望值为5a -，令50.2a a -≤解得 6.25a ≤.同理可求得工种,B C 保费的期望值；（II ）按照每个工种的人数计算出份数然后乘以（1）得到的期望值，即为总的利润. 试题解析：
（Ⅰ）设工种A 的每份保单保费为a 元，设保险公司每单的收益为随机变量X ，则X 的分布列为
保险公司期望收益为51110EX a ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭ ()
4
5
1501010
a -⨯⨯ 5a =- 根据规则50.2a a -≤
解得 6.25a ≤元，
设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45
50102
1010
⨯⨯=元，则保险公司期望利润为10b -元，根据规则100.2b b -≤，解得12.5b ≤元，
设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为
4
4
50105010⨯=元，则保险公司期望利润为50c -元，根据规则500.2c c -≤，解得62.5c ≤元.
（Ⅱ）购买A 类产品的份数为2000060%12000⨯=份， 购买B 类产品的份数为2000030%6000⨯=份， 购买C 类产品的份数为2000010%2000⨯=份，
企业支付的总保费为12000 6.25⨯+ 600012.5⨯+ 200062.5275000⨯=元， 保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=元. 21．（1）见解析；（2）11
13
【解析】 【分析】
（1）利用22⨯列联表进行计算即可
（2）已知收入在[)60,70的共有40人，16人认同，24人不认同，据此，直接计算求至少有1个人不认同“超前消费”的概率即可 【详解】
解：（1）22⨯列联表为
因为2
K 的观测值()2
200506830527.056 6.6358012098102
k ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯，
所以有99%的把握认为当月收入以8000元为分界点时，该市的工薪阶层对“超前消费”的态度有差异. （2）已知收入在[)60,70的共有40人，16人认同，24人不认同，设至少有一个人不认同“超前消费”
为事件A ，则()21624011
113
C P A C =-=.
【点睛】
本题考查卡方检验和概率的应用，属于基础题 22． (1)
30. (2)
56
. 【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）直接建立空间直角坐标系，求出1A C ，，D ，M 四点的坐标写出对于的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求解即可；（2）先根据坐标系求出平面1A DM 的法向量，然后写出1AC 向量，在根据向量夹角公式即可求解. 详解：
在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系D xyz -．
因为()1,2,0M ，()2,0,0A ，()10,2,4C ，
所以()1,2,0DM =u u u u v ，()12,2,4AC =-u u u u v
，
所以()11222222112220430cos ,120224
DM AC DM AC DM AC u u u u v u u u u v
u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ⨯-+⨯+⨯⋅===⨯++⨯-++， 所以异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值为
30
30
． (2)()12,0,4DA =u u u u v ，设平面1A DM 的一个法向量为(),,n x y z =v
． 则100
DA n DM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v
u u u u v v ，得240
20x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1y =，得2x =-，1z =，
故平面1A DM 的一个法向量为()2,1,1n =-v
．
于是
111
2221415cos ,6n AC n AC n AC -⨯-+⨯+⨯⋅===
⨯u u u u v v u u u u v v
u u u u v v ，
所以直线1AC 与平面1A DM 所成角的正弦值为
5
6
． 点睛：考查线线角，线面角对于好建空间坐标系的立体几何题则首选向量做法，直接根据向量求解解题思路会比较简单，但要注意坐标的准确性和向量夹角公式的熟悉，属于基础题.。