四川省邻水实验学校2021-2022学年高一上学期第三次月考数学试题及答案

邻水实验学校2021年秋季高一第三次月考数学试卷
考试时间：120分钟 试卷分值:150分 一、单选题（60分）
1．已知集合{}290A x x =-<，()ln 13x B x y x ⎧⎫
-==⎨⎬-⎩⎭
，则A B =（ ） A ．()91,33,
2⎛
⎫⋃ ⎪⎝⎭
B ．[)91,33,
2⎛
⎫⋃ ⎪⎝⎭
C ．91,2⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．91,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
2．下列每组函数是同一函数的是（ ） A ．0
()1,()f x g x x == B ．
24
(),()22
x f x g x x x -==+-
C ．2()|3|,()(3)f x x g x x =-=-
D ．()(1)(3),()13f x x x g x x x =
--=--
3．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．若0.60.5
90.5,0.6,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c
<< B ．
c a b
<< C ．
c b a <<
D ．b c a <<
5．将函数()sin 34f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向左平移3π
个单位长度，再将得到的图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），最后得到函数
()g x 的图象，则()g x =（ ）
A ．3sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
B ．sin 612x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
C ．3
3sin 2
4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
D ．3sin 64x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭ 6．若()tan 20192πα-+=，则22sin cos sin cos αααα+⋅-=（ ） A ．
3
5
B ．4
5
C ．2
5
D ．1
7．函数的零点所在区间是( )
A ．()2,1--
B ．()1,0-
C ．()0,1
D ．()1,2
8. 如图，在中，
，是线段上
一点， 若
，则实数的值为
( )
A. B. C. D.
9．下列结论中正确的是（ ）
①若//a b 且||||a b =，则a b =； ②若a b =，则//a b 且||||a b =； ③若a 与b 方向相同且||||a b =，则a b =；④若a b ≠，则a 与b 方向相反且||||a b ≠.
A ．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 10．函数
()2
1
||
x x x f =-的图象大致为（ ） A ．B ．C ．
D ．
11．设函数()()()
()221122x
a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的
取值范围为( ) A ．(),2-∞
B ．13,8⎛
⎤-∞
⎥⎝
⎦ C ．()0,2
D ．13,28⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
12．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤+-->+=0
,120
,ln 22
x x x x x x f 存在互不相等实数a ，b ，c ，d ，
有
()()()()f a f b f c f d m ====．现给出三个结论：
（1）[1,2)m ∈；（2）3
1
4
[2,1)a b c d e e e ---+++∈+--，其中e 为自然对数的底数；
（3）关于x 的方程()f x x m =+恰有三个不等实根．正确结论的个数为 A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题（20分） 13．不等式1
cos 2
x >
的解集是___________ 14．2
4
4
3
2(3)(3)log 6427π-+-+-=__________.
15．已知函数()_______
2021,
5)2021()(4sin )(=-=++=f f n m x n mx x f 则，且是常数、其中
16．已知函数()e e x x f x -=-，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号）
①()f x 是奇函数；②()f x 在R 上是单调递增函数；
③方程2()2f x x x =+有且仅有1个实数根；④如果对任意，(0)x ∈+∞，
都有
三、解答题
17．（10分）（1）化简向量:
（2）已知，是平面内两个不共线的非零向量，
，
，
，且，，三点共线，求实数 的
值。

18．（12分）已知：{}2{1,2},20,A B x
x ax a a R ==+++<∈∣. （1）若A B ⊆，求a 的取值范围； （2）若A B ⋂≠∅，求a 的取值范围.
19．（12分）已知函数()f x 在定义域()0,∞+上为增函数，且满足
()()()y f x f xy f +=,()13=f
(1) 求()()9,27f f 的值; (2) 解不等式()()82f x f x +-<. 20．（12分）已知函数
()π2sin 6f x a x ωϕ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，x ∈R 其中0a ≠，0>ω，
π
02
ϕ<≤
，若()f x 的图像相邻两最高点的距离为π
2
，且有一个对称中心为π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （1）求ω和ϕ的值；（2）求()f x 的单调递增区间；
（3）若1a =，且方程()ππ0,312f x k x ⎛⎫
⎡⎤-=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭有解，求k 的取值范围． 21．（12分）今年中国“芯”掀起研究热潮，某公司已成功研发A 、B 两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与
预测，生产A 芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.25千万元；生产B 芯片的净收入y （千万元）是关于投入的资金x （千万元）的幂函数，其图象如图所示. （1）试分别求出生产A 、B 两种芯片的净收入y （千万元）与投入的
资金x （千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A 、
B 两种芯片.设投入x 千万元生产B 芯片，用()f x 表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B 芯片投入的资金.（利润=A 芯片净收入+B 芯片净收入-研发耗费资金）
22．（12分）已知a R ∈，当0x >时，()21log f x a x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
.
（Ⅰ）若函数()f x 过点()1,1，求此时函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）设0a >，若对任意实数1
,13t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，函数()f x 在[],1t t +上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a 的取值范围.
参考答案 1．A 2．C 3．B 4．B 5．C 6．D 7．C 8． 9．B 10．D 11．B 12．C
13．2,233⎛⎫
-++
⎪⎝⎭
k k π
π
ππ，k Z ∈ 14．1 15． 3 16．①②④ 17． 解：
． (3分)
（1）解：
，
因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
即，
得，
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以
解得，.（7分）
18．
（1）2
a<-
（2）3
a<-
2
【分析】
（1）根据集合子集的概念，建立不等式求解即可;
（2）先考虑A B=∅时a的取值范围，即可得出A B
⋂≠∅时a的取值范围.
（1）
因为A B
⊆，
所以120
4220a a a a +++<⎧⎨+++<⎩
，
解得2a <-. （2） 若A
B =∅，
则120
4220a a a a +++≥⎧⎨+++≥⎩
， 解得3
2
a ≥-
， 所以A B ⋂≠∅时，3
2a <-.
19．（1）()()92,273f f == （2）(8,9). 【详解】
（1）()()()()()()9332,27933f f f f f f =+==+= （2）
()()()()889f x f x f x x f +-=-<⎡⎤⎣⎦
而函数f(x)是定义在()0,∞+上为增函数
即原不等式的解集为(8,9)
20．（1）4ω=；π
2ϕ=；（2）答案见解析；（3）22k -≤≤ 【分析】
（1）利用周期求ω，把π
,03⎛⎫
⎪⎝⎭
代入求出ϕ； （2）对a 分类讨论，利用复合函数单调性法则列不等式，求出单增区间；
（3）先求出若1a =时，()f x 的值域，即可求出k 的范围. 【详解】
（1）依题可得：∵2π
π
2
T ω
=
=
，∴4ω= 又函数图像的一个对称中心为π
,03⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以4π
π02sin 3
6a ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴4πππ36k ϕ++=，k Z ∈， 又π02ϕ<≤，∴π
2ϕ=
（2）由（1）知()π
ππ2sin 42cos 4266f x a x a x ⎛
⎫
⎛
⎫
=++=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 当0a >时，由π
2ππ42π6k x k -≤+≤，k Z ∈得
π7πππ
224224
k k x -≤≤-，k Z ∈ 得函数单调递增区间为()πππ5π,224224k k k Z ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦ 当0a <时，由π
2π4π2π6k x k ≤+≤+，k Z ∈得
πππ5π
224224
k k x -≤≤+，k Z ∈ 得函数单调递增区间为()πππ5π,224224k k k Z ⎡⎤
-+∈⎢
⎥⎣⎦
（3）若1a =，()π2cos 46f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ 由πππ7ππ,4,312662x x ⎡⎤
⎡⎤∈-⇒+∈-⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦得()max 2f x =，()min 2f x =-， 要()0f x k -=在ππ,312x ⎡⎤
∈-⎢
⎥⎣⎦
时有解，则22k -≤≤． 21．
（1）0.25y x =；1
2y x =.
（2）公司最大利润为9千万，此时生产B 芯片投入的资金为4千万. 【分析】
(1)结合已知条件和图像分别求解即可；(2)根据已知条件写出()f x 的解析式，并利用二次函数性质求解即可. （1）
(i)不妨设生产A 芯片的净收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系式为：y kx =， 从而0.25k =，故0.25y x =；
(ii)A 、B 两种芯片的净收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系式y x α=，
由图像可知，y x α=的图像过点(4,2)，即24α=，解得1
2
α=， 故所求函数关系式为1
2y x =. （2）
由题意可知，1
1122
22
()0.25(40)20.2580.25(2)9f x x x x x x =-+-=-+=--+，
由二次函数性质可知，当12
2x
=时，即4x =时，
()f x 有最大值
9.
22．（Ⅰ）()()21
log 10f x x x ⎛⎫
=+> ⎪⎝⎭
；（Ⅱ）0a =或14-；（Ⅲ）3
[,)2+∞ 【详解】
试题分析：（Ⅰ）将点()1,1 代入可得函数的解析式；（Ⅱ）函数有一个零点，即()22log 0f x x += ，根据对数运算后可得210ax x +-= ，将问题转化为方程有一个实根，分0a = 和0,0a ≠∆= 两种情况，得到a 值，最后再代入验证函数的定义域；（Ⅲ）首先根据单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的最大值减最小值()()11f t f t -+≤ 整理为
()2110at a t ++-≥ ，对任意1,13t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，0a > 时，区间为函数的单
调递增区间，所以只需最小值大于等于0，求解a 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）函数
()21log f x a x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
过点()1,1，
()()21log 11f a ∴=+=， 1a ∴=，
∴此时函数()21log 1(0)f x x x ⎛⎫
=+>
⎪⎝⎭
（Ⅱ）任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <，则210x x x ∆=->，
()()112
212222121212112212112
212
11log log log ,
0,0,
0,
01,
x ax x y f x f x a a x x x ax x x x a x ax x x ax x x ax x x ax x ⎛⎫⎛⎫+∆=-=+-+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭<∴<+<++∴<
<+
112
2
212
log 0x ax x x ax x +∴<+，即0y ∆<，
()f x ∴在()0,+∞上单调递减.
∴函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +，
()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫
∴-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
，
整理得()2
110at a t ++-≥对任意1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
恒成立， 令()()2
11h t at a t =++-，
0,a >∴函数()h t 在区间1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
103h ⎛⎫
∴≥ ⎪⎝⎭
，即11093a a ++
-≥，解得32a ≥， 故实数a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.。