【走向高考】高考数学一轮总复习 2-8函数的图像及其变换课后强化作业 北师大版

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-8函数的图像及其变换
课后强化作业 北师大版 "
基础达标检测
一、选择题
1．若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围为( ) A ．a <－1 B ．a >1 C ．－1<a <1 D ．0≤a <1
[答案] B
[解析] f (x )＝2ax 2－x －1， ∵f (0)＝－1<0 f (1)＝2a －2， ∴由f (1)>0得a >1.故选B.
2．(文)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根 [答案] C [解析]
本题考查了方程、函数图像、性质．可用数形结合解决． 画出函数图像，易知有两个交点，即|x |＝cos x 有两个根．
(理)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
lg x (x >0)，－1x
(x <0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为( ) A ．5 B ．7 C ．8 D ．10
[答案] C
[解析] 如图所示，因为函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为方程f (x )－g (x )＝0根的个数，即函数f (x )和g (x )图像交点的个数，所以画出图像可知有8个交点，故
选C.
3．函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为( ) A ．1,2 B ．±1，－2 C ．1，－2 D ．±1,2
[答案] C
[解析] 由f (x )＝x 3－3x ＋2＝0得x 3－x －(2x －2)＝0，∴(x －1)(x 2＋x －2)＝0，∴(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x ＝1或x ＝－2，选C.
4．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞)
[答案] A
[解析] 本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f (x )是连续的，故只需两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，则x ＝±1，只需f (－1)f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)．
5．(2013·重庆高考)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )
A ．(a ，b )和(b ，c )内
B ．(－∞，a )和(a ，b )内
C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内
D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 [答案] A
[解析] 因为a <b <c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A.
6．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2x －3，x ≤0
－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )
A ．3
B ．2
C ．7
D ．0
[答案] B
[解析] 由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧
x >0，
－2＋ln x ＝0，
解得x ＝－3，或x ＝e 2. 因此函数f (x )共有两个零点． 二、填空题
7．已知方程x 2＋(a －1)x ＋(a －2)＝0的根一个比1大，另一个比1小，则a 的取值范围是________．
[答案] (－∞，1)
[解析] 函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋(a －2)的大致图像如图所示，于是有f (1)<0，即1＋(a －1)＋(a －2)<0，解得a <1.
8．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，x ≤1，
1＋log 2x ，x >1，，则函数f (x )的零点为________．
[答案] 0
[解析] 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0； 当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝1
2，
又因为x >1，所以此时方程无解． 综上函数f (x )的零点只有0.
9．(文)若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．
[答案] 0，－1
2
[解析] 由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， g (x )＝－2ax 2－ax ＝－2ax (x ＋1
2)，
则g (x )的零点是x ＝0，x ＝－1
2
.
(理)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．
[答案] ⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |－32<x <1
[解析] 由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3.
因此⎩
⎪⎨⎪⎧
－2＋3＝－a ，－2·3＝b ，解得a ＝－1，b ＝－6，
故f (x )＝x 2－x －6.
所以不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0， 解得－3
2<x <1.
三、解答题
10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间 [0,2]上有解，求实数m 的取值范围． [解析] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)≤0，
又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32.
②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥00≤－m －12≤2f (2)≥0
，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
(m －1)2
－4≥0－3≤m ≤1
4＋(m －1)×2＋1≥0
，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
m ≥3或m ≤－1－3≤m ≤1m ≥－32
，∴－3
2
≤m ≤－1，
由①②可知m ≤－1.
能力强化训练
一、选择题
1．(2013·天津高考)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[答案] B
[解析] 本题考查了绝对值的意义、指数函数、对数函数的图像与性质、函数的零点等
知识．
函数f (x )的零点个数，即方程f (x )＝0的实数根个数， 令f (x )＝0得，2x |log 0.5x |＝1，
∴|log 12
x |＝(1
2)x ，
令g (x )＝(1
2
)x ，h (x )＝|log 12
x |，
在同一坐标系中画出两函数的图像易知有两个交点，故f (x )有两个零点．
2．已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a <b )，m ，n 是f (x )的零点，且m <n ，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系是( )
A ．m <a <b <n
B ．a <m <n <b
C ．a <m <b <n
D ．m <a <n <b
[答案] A
[解析] 本题考查函数性质，主要是函数的零点、单调性．如图， f (a )＝f (b )＝1，f (m )＝f (n )＝0，结合图形知，选A.
二、填空题
3．(文)(2014·西安五校联考)函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是________．
[答案] (－∞，0]∪{1}
[解析] 当m ＝0时，x ＝1
2
为函数的零点；
当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，
若Δ≠0，显然函数x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx 2－2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf (0)<0，即m <0.
(理)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． [答案] (－∞，2ln2－2]
[解析] 本题考查了用函数与方程的思想方法来对题目进行转化变形的能力． 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，
也就是a ＝－e x ＋2x 有解，令g (x )＝－e x ＋2x ， g (x )的值域就是a 的取值范围． ∵g ′(x )＝－e x ＋2＝0的根为x ＝ln2，
且当x ∈(－∞，ln2)时，g ′(x )>0，g (x )是增函数， 当x ∈(ln2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数， ∴g (x )max ＝g (ln2)＝2ln2－2， ∴a 的取值范围是(－∞，2ln2－2]．
4．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．
[答案] 7
[解析] 设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.4
2n
<0.001，即2n >100，由26＝64,27＝128知n ＝7.
三、解答题
5．(2014·岳阳模拟)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．
[分析] 由题意可知，方程4x ＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解． [解析] ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根， 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，
∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0时，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，
即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．
综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.
[点评] 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题．
6．(文)对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点．已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋(b －1)(a ≠0)．
(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的不动点；
(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝x 2－x －3，因为x 0为不动点， 因此有f (x 0)＝x 20－x 0－3＝x 0，所以x 0＝－1或x 0＝3. 所以3和－1为f (x )的不动点． (2)因为f (x )恒有两个不动点， f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋(b －1)＝x ， ax 2＋bx ＋(b －1)＝0，
由题设知b 2－4a (b －1)>0恒成立，
即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0.所以0<a <1.
(理)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．
[解析] ∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)>0，
∴若存在实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可． f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1) ＝4(1－a )(5a ＋1)≤0.
所以a ≤－1
5或a ≥1.检验：①当f (－1)＝0时，a ＝1.
所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0， 即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. ②当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －6
5，
令f (x )＝0，即x 2－135x －6
5＝0，
解之得x ＝－2
5
或x ＝3.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－1
5.
综上所述，a <－1
5
或a >1.。