浙江省绍兴市高三下学期4月适应性考试数学试题(解析版)

浙江省绍兴市高三下学期4月适应性考试数学试题
一、单项选择题
1．集合{
0A x x =≤或}2x ≥，{}|11B x x =-<<，那么A B =〔 〕
A ．()1,-+∞
B ．()1,1-
C ．(]1,0-
D ．[)0,1
【答案】C
【分析】直接根据交集的运算计算即可.
【详解】由题可知：集合{
0A x x =≤或}2x ≥，{}|11B x x =-<< 所以(]1,0A B =-
应选：C
2．i
是虚数，假设1
22=-
+z i ，那么2z =〔 〕 A
．12-
+ B
．12-
C
．
12 D
．
122
- 【答案】D
【分析】直接按照平方式公式计算即可. 【详解】
由题可知：12
=z i
所以2
2213112442z i i ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭
应选：D
3．假设实数x ，y 满足约束条件2
301x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，那么2x y +的最大值是〔 〕
A ．
73
B ．3
C ．
72
D ．4
【答案】C
【分析】由约束条件作出可行域，令2z x y =+，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入得答案． 【详解】由约束条件作出可行域如图，
联立302
x y x y -=⎧⎨
+=⎩，解得3(2A ，1
)2，
令2z x y =+，得2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为7
2
． 应选：C ．
【点睛】求解时注意根据直线截距的几何意义，考查数形结合思想的应用.
4．函数()()log 1a a f x x a x ⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭的图象可能是〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】根据根本不等式以及排除法可得结果. 【详解】由+
≥a x a x
a
x x =时，取等号
又1a >，所以22a x a x +≥>，故()log log 10a a a f x x x ⎛
⎫=+>= ⎪⎝
⎭
所以只有A 正确 应选：A
5．某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成，其三视图如下列图，那么该几何体的体积是〔 〕
A ．8π+
B ．
8
3
π+ C ．83
π
+
D ．
83
π
+ 【答案】B
【分析】画出该几何体的直观图，然后根据三视图的数据以及锥体体积公式以及圆柱的体积公式计算即可. 【详解】如图
所以四棱锥的体积为：2
18223
3
⨯⨯=
半个圆柱的体积为：21
122ππ⨯⨯⨯= 故该几何体的体积为：8
3
π+
应选：B
6．设m R ∈，那么“12m ≤≤〞是“直线:0l x y m +-=和圆
22:2420C x y x y m +--++=有公共点〞的〔 〕
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据条件先求m 的取值范围，再比较集合的包含关系，判断充分必要条件. 【详解】圆()()2
2
:123C x y m -+-=-，圆心()1,2
，半径r =
假设直线l 与圆C 有公共点， 那么圆心()1,2
到直线的距离d =
≤13m ≤<，
{}12m m ≤≤ {}13m m ≤<，所以“12m ≤≤〞是“直线:0l x y m +-=和圆
22:2420C x y x y m +--++=有公共点〞的充分不必要条件.
应选：A
7．无穷数列{}n a 是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n 项和为,n S n N *
∈，
那么〔 〕 A ．数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
不可能是等差数列 B ．数列2n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
不可能是等差数列 C ．数列n n S a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
不可能是等差数列 D ．数列n n a S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
不可能是等差数列 【答案】D
【分析】计算等差数列的n S 和n a ，然后逐项进行判断即可. 【详解】由题可知：()112
n n n d
S a n -=+
，()11n a a n d +-=，其中10,0a d >> 对A ，
112n S n a d n -=+⋅，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是公差为2d 等差数列，故A 错 对B ，1
121222n d a S a n d d n n n n
⎛
⎫- ⎪-⎝⎭=+⋅=+，当12d a =时，2
2n S d n =， 所以数列2n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
可能是等差数列，故B 错 对C ，()()11121n n n n d
a n S a a n d
-+
=+-，当1a d =时，12
n n S n a +=， 所以数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
可能是等差数列，故C 错
()()11112
n
n
a n d n n d a n a S +-=
-+
，n n a S 不可能转化为关于n 的一次函数形式， 故数列n n a S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
不可能是等差数列，故D 正确 应选：D
8．2222
0,0,3,3a b a b ab a b >>+-=-≤，那么a b +的最小值是〔 〕
A
．B ．3
C
．D ．4
【答案】B
【分析】将223a b ab +-=，变形为22
3324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，令2b
a θθ
⎧-=⎪⎪=，根据0,0a b >>确定203θπ<<
，得到22a b
-23πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，然后由
223a b -≤，，进一步确定
62
π
π
θ≤≤
，然后由
3sin 6a b πθθθ⎛
⎫+=+=+ ⎪⎝
⎭，利用三角函数性质求解.
【详解】因为22
2
2
2
2
344
b b a b ab a b ab +-=+-++
， 2
23324b b a ⎛
⎫=-+= ⎪⎝
⎭，
令2b
a θθ⎧-=⎪⎪=，
那么sin 2sin 32sin a b πθθθθ⎧⎛⎫=+=+⎪ ⎪
⎝
⎭⎨⎪=⎩
， 因为0,0a b >>，
所以sin 03sin 0πθθ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪
⎝⎭⎨⎪>⎩
，即03
0πθπθπ⎧<+<⎪⎨⎪<<⎩，
解得2
03
θπ<<
，
所以)
()2
2
22sin 2sin a b θθ
θ-=
+-，
2223cos cos sin 4sin θθθθθ=++-，
()
223cos sin cos θθθθ=-+
3cos22θθ=+，
23πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
因为2
03
θπ<<
， 所以5
2333
ππθπ<+<，
因为22
3a b -≤，
所以sin 23πθ⎛
⎫≤+≤
⎪⎝⎭
解得24
2333
ππθπ≤+≤， 所以
6
2
π
π
θ≤≤
，那么
23
6
3
π
π
π
θ≤+
≤
，
所以3sin 6a b πθθθ⎛⎫⎡
+=+=+∈ ⎪⎣⎝
⎭
，
所以a b +的最小值是3， 应选：B
【点睛】关键点点睛：此题关键是将2
2
3a b ab +-=，变形为2
23324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭，利
用三角换元，转化为三角函数求解.
9．椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>和点22,0a b M a ⎛⎫-
⎪⎝⎭，假设存在过点M 的直线交C 于P ，Q 两点，满足102PM MQ λλ⎛
⎫=<< ⎪⎝
⎭，
那么椭圆C 的离心率取值范围是〔 〕
A ．⎛ ⎝⎭
B ．⎝⎭
C ．⎫
⎪⎪⎝⎭
D ．⎫
⎪⎪⎝⎭
【答案】C
【分析】设(,)T x y 是椭圆上的任一点，求出2||TM ，根据其单调性，将问题转化为
21
12
A M MA <
，其中()()1,0,,0a A A a -，得出,a c 不等量关系，即可求解. 【详解】设(,)T x y 是椭圆上的任一点，
2
2
2242
2
22222||c c c c TM x y x x b a a a a ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝
⎭，
对称轴为x a =，所以2||TM 在[,]x a a ∈-上单调递减， 设()()1,0,,0a A A a -，由题知：只要
21
1
2
A M MA <
即可， 22222111
322c a A M a a c c MA a a
-<⇔<⇔<+
，所以13e <<.
应选：C.
【点睛】关键点点睛：把问题转化
21
1
2
A M MA <
是解题的关键. 10．a ，b ，R c ∈，假设关于x 不等式01a c
x b x x
≤+
+≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，那么〔 〕
A ．不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=
B ．存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=
C ．有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=
D ．存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= 【答案】D
【分析】根据1>0x ，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．
【详解】由题意不等式20x bx a c x ≤++≤-的解集为
[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，
即220x bx a x bx a c x
⎧++≥⎨++≤-⎩的解集是[]{}123,x x x ⋃， 那么不等式20x bx a ++≥的解是{|x 2x x ≤或3x x ≥}，不等式2x bx a c x ++≤-的解集是13{|}x x x x ≤≤，
设1x m =，21x m =+，3x n =(1)m n +<， 所以0c n -=，n c =，
1m +和n 是方程20x bx a ++=的两根，
那么11b m n m c -=++=++，(1)a m n mc c =+=+， 又22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-， 所以m 是2x bx a c x ++=-的一根， 所以存在无数对(,,)a b c ，使得211x x -=． 应选：D ．
【点睛】关键点点睛：此题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．
二、填空题
11．《九章算术》中的“两鼠穿墙题〞是我国数学的古典名题：“今有垣厚假设干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？〞题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，那么3S =___________尺.
【答案】
35
4
【分析】大、小老鼠每天打洞的距离符合等比数列，分别计算大、小老鼠打洞长度之和，然后简单计算即可.
【详解】由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,
所以大老鼠前n 天打洞长度之和为12
2112
n
n -=--,
同理小老鼠前n 天打洞长度之和为1
11()1221212
n
n --=--, 所以11112122122n n
n n n S --=-+-=-+
所以33
131512324
S -=-+=
故答案为：
354
12．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1A A 上的动点，N 是棱
BC 1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角最小时，1A M =___________.
【答案】
8
5
【分析】建立空间直角坐标系，分别得到平面1D MN 、平面ABCD 的法向量，然后按照公式计算进行判断即可. 【详解】如图
设()()4,0,04M a a ≤≤，()()12,4,0,0,0,4N D
()()12,4,,2,4,4MN a D N =--=-
设平面1D MN 的一个法向量为(),,n x y z =
()(
)1424004
2440048a z x x y az n MN x y z n D N a z y ⎧-=
⎪⎧-+-=⋅=⎧⎪⎪⇒⇒⎨
⎨⎨+-=⋅=+⎪⎩⎩⎪=⎪⎩
令8z =，82,4x a y a =-=+，那么()82,4,8n a a =-+ 平面ABCD 的法向量的一个法向量为()10,0,1n = 设平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角为θ
所以
(11
cos 8n n n n θ⋅=
=
=
当2412105a =
=时，cos θ有最大，那么θ有最小，所以18
5
A M = 故答案为：
8
5
13．平面向量,,a b c 满足：12,1,,02a a b b c c
b b ⎛
⎫=-==-⋅= ⎪⎝⎭，那么1
2
a c -的最大值是___________. 1 【分析】先得到,3
b c π
=
，然后假设坐标，得到b 的终点坐标满足的方程，同时得到
c 的终点的轨迹方程，最后使用参数方程进行求解，计算即可.
【详解】由2110022c b b c b b ⎛
⎫-
⋅=⇒⋅-= ⎪⎝⎭，又b c =，所以可知1cos ,2
b c = 又[],0,b c π∈，所以,3
b c π
=
设()2,0,a =b 的终点为(),B x y ，c 的终点为(
),C m n
，其中0,0n y ≥≥ 由()2
2
121a b x y -=⇒-+=①，设BOx θ∠=，
那么cos θθ=
=
所以
322
32
x m
m y x
y
n x y
π
θ
π
θ
⎧⎧
⎛⎫+
=+=
⎪=
⎪⎪
⎪⎝⎭⎪
⇒
⎨⎨
⎛⎫
⎪⎪
=+=+=
⎪
⎪⎪⎩
⎝⎭
⎩
②
将②代入①并化简可得(
)(2
2
11
m n
-+=
令设
1cos
sin
m
n
ϕ
ϕ
=+
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
，
所以2
1
cos
2
a c
-==
当sin
1
ϕ=
时，
max
1
41
2
a c
-==
=
1
【点睛】关键点睛：利用坐标求解并得到c的终点轨迹方程()(2
2
11
m n
-+=是关键.
三、双空题
14．函数()
()2
2
17,1
log3,1
x x
f x
x x
⎧-++≤
⎪
=⎨
+>
⎪⎩
，那么()0
f=___________；关于x的不等式()7
f x>的解集是___________.
【答案】6 ()
16,+∞
【分析】根据分段函数直接计算可得()0
f，然后分类讨论计算可得不等式的解集. 【详解】由题可知：()
()2
2
17,1
log3,1
x x
f x
x x
⎧-++≤
⎪
=⎨
+>
⎪⎩
，所以()()2
00176
f=-++=
①
()2
1
177
x
x
x
≤
⎧⎪
⇒∈∅
⎨
-++>
⎪⎩
，②
2
1
16
log37
x
x
x
>
⎧
⇒>
⎨
+>
⎩
所以()7
f x>的解集是()
16,+∞
故答案为：6，()
16,+∞
15．二项展开式(1+x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，那么a0=___________；
a1+a2+a3+a4=___________.(用数字作答)
【答案】1 130
【分析】根据题意，令x =0，即可求导0a ，根据9(1)x +展开式的通项公式，即可求得答案.
【详解】因为二项展开式(1+x )9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9， 令x =0，可得a 0=1.
又9(1)x +展开式的通项公式为：91991
k k
k k k
k T C x C x -+==，
所以a 1+a 2+a 3+a 4=0123
9999C C C C +++=1+9+36+84=130，
故答案为：1；130.
16．在锐角ABC 中，内角A ，B 所对的边分别为a ，b ，假设2,2A B b ==，那么
cos a
B
=___________；边长a 的取值范围是___________. 【答案】4
(
【分析】依据题意可知()sin sin 2A B =，然后结合正弦定理可知cos a
B
，然后得到角B 的范围，简单计算即可.
【详解】由题可知：2,2A B b ==，所以()sin sin 22sin cos A B B B == 所以
sin 2sin cos A B B =，由正弦定理可知24cos a
b B
==,那么4cos a B =， 由ABC 为锐角三角形，所以020202C A B πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即0320226402B B B B ππππππ⎧
<-<⎪⎪
⎪
<<
⇒<<⎨⎪⎪
<<⎪⎩
所以
cos 22
B <<
，那么(4cos a B =∈ 故答案为：
4, (
17．袋中装有大小相同的1个白球和2个黑球，现分两步从中摸球：第一步从袋中随机摸取2个球后全部放回袋中(假设摸得白球那么涂成黑球，假设摸得黑球那么不变色)；第二步再从袋中随机摸取2个球，记第二步所摸取的2个球中白球的个数为ξ，那么
()0P ξ==___________；()E ξ=___________.
【答案】
79
2
9
【分析】得到ξ的所有值，并计算相应的概率，然后简单计算即可.
【详解】ξ所有可能结果为1，0
()2112122233219
C C C P C C ξ==⋅=，所以()()7
0119P P ξξ==-==
所以()272
10999
E ξ=⨯+⨯= 故答案为：
79，29
四、解答题
18．已领函数(
)2
2sin cos f x x x x =-〔1〕求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值； 〔2〕求()f x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值. 【答案】〔1〕1；〔2〕最大值2
，最小值【分析】〔1〕根据两角和的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简()f x ，然后代入计算即可.
〔2〕根据〔1〕的条件，以及正弦函数的性质进行计算和判断即可. 【详解】解：〔1〕因为(
)2
2sin cos f x x x x =-+
1cos 2sin 22
x
x +=-
sin 222sin 23x x x π⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭，
所以2sin 2sin 14236f ππππ⎛⎫⎛⎫
=-== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
. 〔2〕因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
，
所以sin 23π⎡⎤⎛
⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦x ， 所以，当23
2
x π
π
-=
，即512
x π
=
时，()f x 取到最大值2； 当23
3
x π
π
-
=-
，即0x =时，()f x
取到最小值
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，
11
14,2,23,,60AB AA BC AC AC BC A AB ====⊥∠=︒.
〔1〕证明：BC ⊥平面11ACC A ；
〔2〕设点D 为1CC 的中点，求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕
3
3
. 【分析】〔1〕根据勾股定理逆定理可知1BC AC ⊥，然后利用线面垂直的判定定理可知结果.
〔2〕解法1通过作辅助线，找到直线1A D 与平面11ABB A 所成角，然后根据三角函数的知识进行求解即可；解法2利用建系，求得平面11ABB A 的一个法向量，然后按公式计算即可.
【详解】〔1〕 证明：如图，连接1A B
由11,60AB AA A AB =∠=︒，所以1ABA △为等边三角形 因为1
12324AC BC A B ===，，， 所以22
211
A B AC BC =+，所以1BC AC ⊥，
又11
BC AC AC AC C AC AC ⊥⋂=⊂，，，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A .
〔2〕解法1：如图，设E 为1BB 的中点，连结1A E DE ，，作1DF A
E ⊥于
F .
因为BC ⊥平面11ACC A ，//DE BC ，所以DE ⊥平面11ACC A ， 又1CC ⊂平面11ACC A ，所以1DE CC ⊥.
在11ACC △中，111AC
AC =， D 为1CC 的中点，所以11A D CC ⊥，又1A D DE D ⋂=，所以1CC ⊥平面1A DE . 因为11//BB CC ，所以1BB ⊥平面1A DE ，所以1BB
DF ⊥， 又因为11111,DF A E BB A E E BB A E ⊥⋂=⊂，，平面11ABB A ，所以DF ⊥平面
11ABB A ，
所以直线1A D 与平面11ABB A 所成角为1DA E ∠. 在1DA E 中，2
2111
2222A D DE A D AC DE BC ⊥=-===，，， 所以221123A E A D DE =
+=113
sin 3
DE DA E A E ∠=
=
. 因此，直线1A D 与平面11ABB
A 3. 解法2：如图，以C 为原点，以射线CA C
B ，分别为x ，y 轴正半轴，建立空间直角坐标系
C xyz -，
那么()()
()123460,0,0,23,0,0,0,2,0,C A B A ⎝⎭
143462326,C D ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭ 因此14326A D ⎛= ⎝⎭
，
()
1434623,2,0,AB AA ⎛=-=- ⎝⎭
.
设平面11ABB A 的法向量为,,n x y z =（）， 由100n AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30
20
x y x z ⎧-=⎪⎨
=⎪⎩ 可取(
)
2,6,1n =
.
设直线1A D 与平面11ABB A 所成角为θ， 那么1113
sin cos ,3
A D n A D n A D n
θ⋅==
=
⋅. 因此，直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值是33
. 【点睛】方法点睛：
证明线面平行的方法：〔1〕根据线线平行得到线面平行〔线面平行判定定理〕；〔2〕根据面面平行得到线面平行；〔3〕向量法；
线面角的一般求法；〔1〕根据定义找到线面角；〔2〕向量法.
20．等差数列{a n }的公差不为零，a 4=1，且a 4，a 5，a 7成等比数列，数列{b n }的前n 项和为S n ，满足S n =2b n ﹣4(n ∈N ). 〔1〕求数列{a n }和{b n }的通项公式；
〔2〕假设数列{c n }满足112
c =-，c n +1=c n ﹣n n a b (n ∈N )，求使得2
16n n c ->成立的所有n
值.
【答案】〔1〕a n =n ﹣3，b n =2n +1；〔2〕n 的值为3，4.
【分析】〔1〕根据条件求得d ，由此求得n a ；先求得1b ，然后利用1n n S S --求得n b . 〔2〕利用累加法，结合错位相减求和法求得n c ，由此解不等式6
22
12n n
n c n ->-=，求得n 的所有可能取值.
【详解】〔1〕设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由题意得2
5a =a 4a 7， 即(1+d )2=1+3d ，整理得d 2=d ，解得d =1， 所以a n =a 4+(n ﹣4)d =n ﹣3， 因为b 1=S 1=2b 1﹣4，所以b 1=4，
当n ≥2时，由b n =S n ﹣S n ﹣1，得b n =2b n ﹣2b n ﹣1，即b n =2b n ﹣1， 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列，所以b n =2n +1. 〔2〕由c n +1=c n ﹣
n n a b ，得c n +1﹣c n =﹣13
2
n n +-， 所以c n =(c n ﹣c n ﹣1)+(c n ﹣1﹣c n ﹣2)+…+(c 2﹣c 1)+c 1=﹣1
2﹣(232122--++……+42
n n -)， 设T n =
232122--++……+42n n -，那么1
2T n
=342122--++……+1
42n n +-， 两式相减得
1
2T n =232122-++412+ (12)
﹣142n n +-=﹣3111
1221212
n +-+-﹣142n n +-=﹣14﹣122n n +-， 所以T n =﹣12﹣22n n -，所以c n =﹣1
2﹣T n =22n n -，
因为6
22
12n n
n c n ->-=，所以(n ﹣2)(24﹣n ﹣1)> 0， 当n =1时，不满足题意； 当n =2时，不满足题意；
当n ≥3时，24﹣n ﹣1≥0，解得3≤n ≤4， 所以满足题意的所有n 的值为3，4.
【点睛】当1n n a a --不是常数时，可利用累加法来求数列的通项公式.
21．抛物线2
1:4C x y =和椭圆22
2:143
x y C +=如图，经过抛物线1C 焦点F 的直线l
分别交抛物线1C 和椭圆2C 于A ，B ，C ，D 四点，抛物线1C 在点A ，B 处的切线交于点P .
〔1〕求点P 的纵坐标；
〔2〕设M 为线段AB 的中点，PM 交1C 于点Q ，BQ 交AP 于点T .记TCD QBP ，
的面积分别为12S S ，.
〔i 〕求证：Q 为线段PM 的中点；
〔ii 〕假设
128
7
S S =，求直线l 的方程. 【答案】〔1〕1-；〔2〕〔i 〕证明见解析；〔ii 〕1y x =+或1y x =-+.
【分析】〔1〕假设点,A B 坐标并得到直线l 的方程，同时得到点A ，B 处的切线方程，然后得到点P 的坐标，根据直线l 与抛物线联立方程，使用韦达定理可知结果. 〔2〕〔i 〕得到,,P M Q 的坐标，然后根据中点坐标公式可得结果; 〔ii 〕依据
2
3
TAB
PAB S
S =
，得到
1283CD S S AB
=⋅，然后利用弦长公式计算,CD AB ，最后根据等式进行计算即可.
【详解】〔1〕解：设点22
1212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，直线l 的方程为1y kx =+.
22
442
x x
x y y y =⇒=⇒'=
，可知抛物线在点A ，B 处的切线的斜率分别为12,22x x 抛物线1C 在点A ，B 处的切线方程分别为22
1122
,2424
x x x x y x y x =-=-，
联立方程组，解得点P 的坐标为1212,2
4x x x x +⎛⎫
⎪⎝⎭. 由2
14y kx x y
=+⎧⎨
=⎩，得22
144016(1)0x kx k --=∆=+>，， 所以12144x x k x x +==-2，，所以点P 的坐标为(21)k -，
， 即点P 的纵坐标为1-.
〔2〕〔i 〕证明：由〔1〕得()()()
22212,21,2,P k M k k Q k k -+，
,， 因为22(21)(1)2k k ++-=， 所以，点Q 是线段PM 的中点.
〔ii 〕解：因为M ，Q 分别为线段AB PM ，的中点，所以2AT TP = 所以2
3
TAB
PAB S
S =
，所以21132
4
8
QBP
MBP
PAB
TAB S S
S S S ==
=
=，
所以12883338
TCD TCD TAB TAB CD S S S S S AB
S ==⋅=⋅
. 设点C ，D 的横坐标分别为34x x ，，
由22
134120
y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，得()()222243880,96210k x kx k ++-=∆=+>， 所以343422
88
,4
343
k x x x x
k k +=-
=-++，
所以CD
==由〔1〕得()241AB
k ==+.
所以，
128
3CD S S
AB =⋅= =设()()()
()2
21
0431x f x x x x +=
≥++，那么()()()
232
16205
0431x x f x x x ---
'=
<++，
所以()f x 在[)0,+∞上单调递减.
因为
1287
S S ==，所以()22327f k =⨯，所以2
1k =，即1k =±，
经检验，符合条件，所以直线l 的方程为1y x =+或1y x =-+.
【点睛】思路点睛：第〔1〕问，①假设直线l 的方程并与抛物线方程联立，使用韦达定理；②得到在A,B 处切线方程并联立得到点P 坐标；③计算即可.第〔2〕问，①得到
面积的比值1283CD S S AB
=⋅；②利用弦长公式得到,CD AB ；③计算得到k . 22．函数(
)(x
f x ax e -=(其中02a <<，e 为自然对数的底数).
〔1〕求函数()f x 的单调区间；
〔2〕设函数()f x 的极小值点为m ，极大值点为n ，证明：当(,)x m n ∈时，
()1
ln a f x x x e
--<
. 【答案】〔1〕递减区间的2112,1,,22a ⎛⎫⎛⎫
++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，递增区间的2121,2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；〔2〕证明见
解析.
【分析】〔1〕首先确定函数的定义域，接着求导，求解()0f x '>得到函数单调增区间，求解()0f x '<得到函数的单调减区间；〔2〕由〔1〕知212
12m n a
==
+，，构造函数(
)(1
ln x a g x ax e x x e
--=--
，经过推导判断()0g x '<得到()()10g x g <=，所以原不等式得证.
【详解】〔1〕解：由得1
2
x ≥
(
)(
x x
x f x a e ax e a ax e ---⎛⎛'=-=- ⎝⎝
(
)1x x
a ax e x a e --⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭
由()0f x '>解得2
12
12x a <<
+ 所以()f x 的递减区间的2112,1,,22a ⎛⎫⎛⎫
++∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，递增区间的2121,2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.
〔2〕证明：由〔1〕可知21212m n a ==
+，，即2121,2x a ⎛⎫
∈+ ⎪⎝⎭. 设(
)(1
ln x
a g x ax e x x e
--=---
，
那么()()1ln 1
x g x x a e x -⎫'=----⎪⎭
. 当
2121,2x a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，因为022a a <-<-<， 所以()()21ln 1x g x x e
x -'<---. 设()()21ln x h x x e x -=--，那么()2
42x x e x x h x xe
-+'=- 当(),x m n ∈时，因为()()22
421421210x e x x x x x x x -+>+-+=-->， 所以()0h x '<，所以()()10h x h <=，所以()0g x '<，
所以()()10g x g <=，
所以，当(),x m n ∈时，()1ln a f x x x e
--<. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增〔或递减〕区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.。