2024学年江苏省大丰市南阳中学高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024学年江苏省大丰市南阳中学高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x >
D ．x R ∀∈，sin 1x >
2．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知向量()3,2AB =，()5,1AC =-，则向量AB 与BC 的夹角为（ ） A ．45︒ B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
4．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21
B ．22
C ．11
D ．12
6．已知复数z 满足
1
1i z
=+，则z 的值为（ ）
A ．
12
B ．2
C ．
22
D ．2
7．设复数z 满足i
(i i
2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．
13i 22
- B ．13
i 22+ C ．13i 22
--
D ．13
i 22
-
+ 8．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．
π
3
B ．
π6
C ．
π2
D ．
π4
9．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A ．51-
B ．
51
2
- C ．51+
D ．
51
2
+ 10．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ） A ．29
B ．2932-
C ．1923-
D ．5
11．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036
g g π
⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移
3
π
个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）
A ．()2sin 2f x x =
B ．()2sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．()2sin f x x =-
D ．()2sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
12．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.
A ．5.45
B ．4.55
C ．4.2
D ．5.8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若0a b +≠，则()
22
2
1
a b a b ++
+的最小值为________.
14．已知实数x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则32x y z -+=的最大值是__________.
15．在()5
2x -的展开式中，3x 项的系数是__________（用数字作答）．
16．点P 是△ABC 所在平面内一点且,PB PC AP +=在△ABC 内任取一点，则此点取自△PBC 内的概率是____ 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年的相关数据如下表所示： 年份
2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年生产台数（万台） 2 3 4 5 6 7 10 11 该产品的年利润（百万元） 2.1 2.75 3.5 3.25 3 4.9 6 6.5 年返修台数（台）
21
22
28
65
80
65
84
88
部分计算结果：81168i i x x ===∑，81148i i y y ===∑，()8
2
172i i x x =-=∑，
8
2
1
()
18.045i
i y y =-=∑，()8
1
()34.5i i i x x y y =--=∑
注：年返修率=
年返修台数
年生产台数
（1）从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以ξ表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y （百万元）关于年生产台数x （万台）的线性回归方程（精确到0.01）.
附：线性回归方程ˆˆy bx
a =+中，()12
1(ˆ)()n
i i i n
i i x x y y b x x ==--=-∑∑
12
2
1n
i i i n
i
i x y n x y x n x
==-⋅⋅=
-⋅∑∑，ˆˆa y bx
=-. 18．（12分）如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 为CD 的中点，G 在线段BC 上，且3BG CG =。

将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到1A 的位置（如图2所示），且1A F CD ⊥。

（1）证明：//BE 平面1A FG ；
（2）求平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值
19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD △为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.
（1）求证:OE
平面PAB ；
（2）求证:CD PA ⊥.
20．（12分）设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <). （i ）求a 的取值范围；
（ii ）求证:12x x ⋅随着2
1
x x 的增大而增大.
21．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD AB CD ===，4BC =，M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点，以AC 为折痕将ACD 折起，使点D 到达点P 位置（P ∉平面ABC ）
．
（1）若H 为直线QN 上任意一点，证明：MH ∥平面ABP ； （2）若直线AB 与直线MN 所成角为
4
π
，求二面角A PC B --的余弦值． 22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ++=. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解题分析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【题目详解】
全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，
00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.
故选：C . 【题目点拨】
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 2、B 【解题分析】
根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案． 【题目详解】
解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示， 56846∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B 中的．
故选：B ． 【题目点拨】
本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题． 3、C 【解题分析】
求出()2,3BC AC AB =-=-，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=,即能求出向量夹角. 【题目详解】
解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-= 所以AB BC ⊥，则向量AB 与BC 的夹角为90︒. 故选:C. 【题目点拨】
本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b
⋅= 进行计算.
4、C 【解题分析】
分析：根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案． 详解：由题意，复数
，则
所以复数在复平面内对应的点的坐标为
，位于复平面内的第三象限，故选C ．
点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 5、A 【解题分析】
由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【题目详解】
解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，
所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【题目点拨】
本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少. 6、C 【解题分析】
由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模. 【题目详解】
因为21111111122i i z i z i i -=+⇒===-+-，所以2z == 故选：C 【题目点拨】
本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题. 7、B 【解题分析】 易得2i
1i
z +=
-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【题目详解】
由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13
i 1i 2222
z ++++====+-. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 8、A 【解题分析】
由正弦定理化简已知等式可得sin tan 2sin sin A B B A =，结合sin 0A >，可得tan 2sin B B =，结合范围()0,B π∈，可
得sin 0B >，可得1
cos 2
B =，即可得解B 的值． 【题目详解】
解：∵()tan 2sin 2sin a B b B C b A =+=， ∴由正弦定理可得：sin tan 2sin sin A B B A =， ∵sin 0A >， ∴tan 2sin B B =， ∵()0,B π∈，sin 0B >， ∴1cos 2
B =， ∴3
B π
=
．
故选A ． 【题目点拨】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 9、C 【解题分析】
由复数的几何意义可得12z z -表示复数12z i =+，2cos sin z i αα=+对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解. 【题目详解】
由复数的几何意义可得，复数12z i =+对应的点为()2,1，复数2cos sin z i αα=+对应的点为()cos ,sin αα，所以
121z z -=，其中tan φ2=，
故选C 【题目点拨】
本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将12z z -转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型. 10、A 【解题分析】
由于a b ⊥，且为单位向量，所以可令()1,0a =，()0,1b =，再设出单位向量c 的坐标，再将坐标代入232a c a b c
+++-中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果． 【题目详解】
解：设(),c x y =，()1,0a =，()0,1b =，则2
2
1x y +=，从而
(2322x +++-=
+a c a b c
=
=
=
故选：A 【题目点拨】
此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题． 11、A 【解题分析】
由图根据三角函数图像的对称性可得522662T πππ=
-⨯=，利用周期公式可得ω，再根据图像过(,0,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
，即可求出,A ϕ，再利用三角函数的平移变换即可求解. 【题目详解】 由图像可知522662
T πππ
=-⨯=，即T π=， 所以2T π
ω
=，解得2ω=，
又sin 2066g A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以
()3
k k ϕπ
+=π∈Z ，由02ϕπ<<， 所以23
ϕπ=或53π
，
又()0g =
所以sin A ϕ=()0A >， 所以23
ϕπ
=
，2A =， 即()22sin 23g x x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
， 因为函数()y f x =的图象由()y g x =图象向右平移3
π
个单位长度而得到， 所以()22sin 22sin 233y f x x x ππ⎡⎤
⎛⎫==-
+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
.
故选：A 【题目点拨】
本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题. 12、B 【解题分析】
如图，已知10AC AB +=，3BC =，2229AB AC BC -== ∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -= ，
∴100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨
=⎩
. ∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

132 【解题分析】
由基本不等式，可得到2222222
2
2
()()2()222
≥a b a b a b ab a b a b +++++++==
，然后利用22
2
22
1()11
2()2()2
a b a b a b a b +++≥+≥++，可得到最小值，要注意等号取得的条件。

【题目详解】
由题意，2222222
2
2
()()2()222
≥a b a b a b ab a b a b +++++++==
，当且仅当a b =时等号成立， 所以22
2
22
1()11
22()2()2
≥≥a b a b a b a b ++++=++22()12()a b a b +=+时取等号， 所以当3
4
2a b -
==时，22
2
1
()a b a b ++
+2
【题目点拨】
利用基本不等式求最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③等号取得的条件。

14、14
【解题分析】
令3x y t -+=，所求问题的最大值为max 2t ,只需求出max t 即可，作出可行域，利用几何意义即可解决.
【题目详解】
作出可行域，如图
令3x y t -+=，则3y x t =+，显然当直线经过(1,1)B 时，t 最大，且max 2t =-，
故32x y z -+=的最大值为212
4-=. 故答案为：14
. 【题目点拨】
本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题. 15、40-
【解题分析】
()52x -的展开式的通项为：552
()r r r C x --. 令3r =，得5352
()40r r r C x x --=-.
答案为：-40. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求
出其参数.
16、13 【解题分析】 设D 是BC 中点，根据已知条件判断出,,A P D 三点共线且P 是线段AD 靠近D 的三等分点，由此求得
13
PBC ABC S S =，结合几何概型求得点取自三角形PBC 的概率.
【题目详解】
设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=，所以2PD AP =，所以A P D 、、三点共线且点P 是线段AD 靠近D 的三等分点， 故13PBC
ABC S S =，所以此点取自PBC 内的概率是13
． 故答案为：13
【题目点拨】
本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2）0.4817ˆ.2y
x =+ 【解题分析】
（1）先判断得到随机变量ξ的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分
布列和期望．（2）由于去掉2015年的数据后不影响ˆb
的值，可根据表中数据求出ˆb ；然后再根据去掉2015年的数据后所剩数据求出ˆa
即可得到回归直线方程． 【题目详解】
（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀．
由题意ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
()0353381056
C C P C ξ===， ()12533815156
C C P C ξ===， ()215338301525628
C C P C ξ====， ()30533810535628
C C P C ξ====． 故ξ的分布列为：
所以0123565628288E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）因为56x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响ˆb 的值， 所以()81821()34.50.487ˆ2()
i i i i i x x y y b x x ==--==≈-∑∑． 又去掉2015年的数据之后68
667x ⨯-==，4832977
y ⨯-== 所以2934.ˆˆ56 1.27772
a y bx =-=-⨯≈， 从而回归方程为：0.4817ˆ.2y
x =+． 【题目点拨】
求线性回归方程时要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意运算的合理性和正确性，对于题目中给出的中间数据要合理利用．本题考查概率和统计的结合，这也是高考中常出现的题型，属于基础题．
18、（1）证明见解析
（2【解题分析】
（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取BC 的中点M ，连接DM ，根据条件证明//,//DM BE DM FG ，即//BE FG ；
（2）以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.
【题目详解】
（1）证明：取BC 的中点M ，连接DM .
∵3BG CG =，∴G 为CM 的中点.
又F 为CD 的中点，∴//FG DM . 依题意可知//DE BM ，则四边形DMBE 为平行四边形，
∴//BE DM ，从而//BE FG .
又FG ⊂平面1A FG ，BE ⊄平面1A FG ，
∴//BE 平面1A FG .
（2）1,DE AD DE DC ⊥⊥，且1A D DC D =，
DE ∴⊥平面ADC ，1A F ⊂平面ADC ，
1DE A F ∴⊥，
1A F DC ⊥，且DE DC D ⋂=，
1A F ∴⊥平面BCDE ，
∴以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，不妨设2CD =，
则()0,0,0F
，(1A ，()1,4,0B ，()1,2,0E -，()1,1,0G ，
(1FA =，()1,1,0FG =
，(11,2,A E =-，()2,2,0EB =.
设平面1A FG 的法向量为()1111,,n x y z =， 则100n FA n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即11100
x y =+=⎪⎩， 令11x =，得()1,1,0n =-.
设平面1A BE 的法向量为()222,,m x y z =，
则100m A E m EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22222230220x y z x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩， 令21x =，得()1,1,3m =--.
从而1110cos ,525
m n +<>==⨯， 故平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值为
105.
【题目点拨】
本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.
19、（1）证明见解析（2）证明见解析
【解题分析】
（1）通过证明//OE PB ，即可证明线面平行；
（2）通过证明CD ⊥平面PAD ，即可证明线线垂直.
【题目详解】
（1）连BD ，因为ABCD 为平行四边形，O 为其中心，所以，O 为BD 中点，
又因为E 为PD 中点，所以//OE PB ，
又PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB 所以，//OE 平面PAB ；
（2）作PH AD ⊥于H 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，
平面PAD 平面ABCD AD =PH AD ⊥，PH ⊂平面PAD ，
所以，PH ⊥平面ABCD 又CD ⊂平面ABCD ，
所以CD PH ⊥又CD PD ⊥，PD PH P ⋂=，
PD ⊂平面PAD ，PH ⊂平面PAD 所以，CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，
所以，CD PA ⊥.
【题目点拨】
此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.
20、（1）见解析；（2）（i ）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
（ii ）证明见解析 【解题分析】
（1）求出导函数11(),(0,)ax f x a x x x
-'=-=∈+∞，分类讨论即可求解； （2）（i ）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii ）设211x t x =
>，通过转化()1212(1)ln ln ln ln 1
t t x x x x t +=+=
-，讨论函数的单调性得证. 【题目详解】 （1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)ax f x a x x x
-'=-=∈+∞ 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，
当0a >时，()0f x '>的解集为10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
， 所以()f x 的单调增区间为10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
； （2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有
两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <，所以存在111,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()10f x =，又因为221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则222112()0a g a a a a --'=+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，即210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为211a a >，
所以存在2211,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，综上，10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以1212
ln ln x x x x =，因为21x x >，所以211x x >，设211x t x =>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1ln ln 1
t x t =-，所以21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=-，所以()1212(1)ln ln ln ln 1t t x x x x t +=+=-，设(1)ln ()(1)1
t t h t t t +=>-，则22
11ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则2
2212(1)()10t H t t t t
-'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t 单调递增，即()12ln x x 随着21
x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证. 【题目点拨】
此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题.
21、（1）见解析（2
）
7 【解题分析】
(1)根据中位线证明平面MNQ 平面PAB ，即可证明MH ∥平面ABP ；（2）以QM ，QC ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.
【题目详解】
（1）证明：连接QM ，
∵M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点，
∴QM AB ，
又∵QM ⊄平面PAB ，AB
平面PAB ， ∴QM 平面PAB ，
同理，QN ∥平面PAB ，
∵QM ⊂平面MNQ ，QN ⊂平面MNQ ，QM QN Q =，
∴平面MNQ 平面PAB ，
∵MH ⊂平面MNQ ，
∴MH ∥平面ABP ．
（2）连接PQ ，在ABC 和ACD 中，由余弦定理可得，
2222222cos 2cos AC AB BC AB BC ABC AC AD CD AD CD ADC ⎧=+-⋅⋅∠⎨=+-⋅⋅∠⎩
， 由ABC ∠与ADC ∠互补，2AD AB CD ===，4BC =，可解得23AC =， 于是222BC AB AC =+，
∴AB AC ⊥，QM AC ⊥，
∵QM AB ，直线AB 与直线MN 所成角为4
π， ∴4
QMN π
∠=，又1QM QN ==，
∴2
MQN π∠=，即QM QN ⊥， ∴QM ⊥平面APC ，
∴平面ABC ⊥平面APC ，
∵Q 为AC 中点，PQ AC ⊥，
∴PQ ⊥平面ABC ， 如图所示，分别以QM ，QC ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,3,0)B -，(0,3,0)C ，(0,0,1)P ，(2,3,1)PB =--，(0,3,1)PC =-．
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，
∴00n PB n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即23030
x z z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩．
令1y =
，则x =
z =PBC
的一个法向量为(3,1,n =．
又平面APC 的一个法向量为(1,0,0)m =， ∴21cos ,||||7
m n m n m n
⋅<>==⋅， ∴二面角A PC B --的余弦值为
7． 【题目点拨】
此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.
22、（1
）2213x y +=；40x y ++=（2，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
【解题分析】
（1）消去曲线1C 参数方程的参数，求得曲线1C 的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线2C 的直角坐标方程.
（2）设出P 的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.
【题目详解】
（1）消去α得，曲线1C 的普通方程是：2213
x y +=； 把cos x ρα=
，sin y ρα=代入得，曲线2C 的直角坐标方程是40x y ++=
（2）设,sin )
P αα，||PQ 的最小值就是点
P 到直线2C 的最小距离.
设d == 在5
6πα=-时，sin 13πα
⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，d =
32
α=-，1sin 2α=- ，此时31,22P ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭ 【题目点拨】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题.。