广东省佛山一中高二数学下学期第一次月考试卷理(含解析)

2014-2015学年广东省佛山一中高二（下）第一次月考数学试卷（理
科）
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数y=x2+1的图象上一点（1，2）及邻近一点（1+△x，2+△y），则等于（）A． 2 B． 2x C． 2+（△x）2D．2+△x
2．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）
A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）3．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是（）A． 10m/s B． 9m/s C． 4m/s D． 3m/s
4．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
5．已知函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（）
A．B．C．D．
6．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）
A．在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数B．在（1，3）内f（x）是减函数
C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x=2时f（x）取到极小值
7．曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是（）
A． 4 B． 5 C． 3 D． 2
8．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（）A． 0.12 J B． 0.18 J C． 0.26 J D． 0.28 J
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9．曲线y=x2+x﹣2在x=1处的切线方程为．
10．函数y=x4﹣8x2+2在[﹣1，3]上的最大值为．
11．已知f（x）是偶函数，且=8，则
12．= ．
13．如图，阴影部分面积分别为A1、A2、A3，则定积分=
14．有下列四个结论，
①函数f（x）=|x|在x=0处连续但不可导；
②函数f（x）=x3的在x=0处没有切线．
③某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，那么该婴儿从出生到第3个月的平均变化率大于从第6个月到第12个月的平均变化率；
④
其中结论正确的为（填上所有结论正确的题目代号）
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
16．物体A以速度v=3t2+1在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v=10t的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）
17．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y ﹣3=0垂直．
（1）求实数a、b的值
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．
18．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm2/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，求水面升高的瞬时变化率．
19．已知函数f（x）=x3+2x2+x﹣4，g（x）=ax2+x﹣8．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．
20．如图，已知曲线C1：y=x2与曲线C2：y=﹣x2+2ax（a＞1）交于点O，A，直线x=t（0＜t≤1）与曲线C1，C2分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB．
（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（2）求函数S=f（t）在区间（0，1]上的最大值．
2014-2015学年广东省佛山一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数y=x2+1的图象上一点（1，2）及邻近一点（1+△x，2+△y），则等于（）A． 2 B． 2x C． 2+（△x）2D．2+△x
考点：变化的快慢与变化率．
分析：本题可根据导数的基本概念，结合题中条件进行分析即可．
解答：解：．
故选D．
点评：本题考查导数的基本概念和运算，结合题中条件分析即可．
2．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）
A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：求出f′（x）令其小于0即可得到函数是减函数的区间．
解答：解：由f′（x）=3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2
∴函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（0，2）．
故答案为D．
点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．
3．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是（）A． 10m/s B． 9m/s C． 4m/s D． 3m/s
考点：导数的运算．
专题：计算题．
分析：求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度．
解答：解：根据题意，S=t+t3，
则s′=1+t2
将t=3代入得s′（3）=4；
故选C
点评：本题考查导数在物理中的应用：位移的导数值为瞬时速度．
4．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：计算题．
分析：因为f（x）在x=﹣3是取极值，则求出f′（x）得到f′（﹣3）=0解出求出a即可．解答：解：∵f′（x）=3x2+2ax+3，又f（x）在x=﹣3时取得极值
∴f′（﹣3）=30﹣6a=0
则a=5．
故选D
点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力．
5．已知函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（）
A．B．C．D．
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：先计算f′（x），再根据f′（﹣1）=4，列出关于a的方程，即可解出a的值．
解答：解：∵f（x）=ax3+3x2+2，
∴f′（x）=3ax2+6x，
∴f′（﹣1）=3a﹣6，
已知f′（﹣1）=4，
∴3a﹣6=4，解得a=．
故选D．
点评：本题考查导数的运算，正确计算出f′（x）是计算的关键．
6．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）
A．在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数B．在（1，3）内f（x）是减函数
C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x=2时f（x）取到极小值
考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
专题：导数的综合应用．
分析：根据函数单调性，极值和导数之间的关系进行判断．
解答：解：由图象知当﹣＜x＜2或x＞4时，f′（x）＞0，函数为增函数，
当﹣3＜x＜﹣或2＜x＜4时，f′（x）＜0，函数为减函数，
则当x=﹣或x=4函数取得极小值，在x=2时函数取得极大值，
故ABD错误，正确的是C，
故选：C
点评：本题主要考查函数单调性极值和导数的关系，根据图象确定函数的单调性是解决本题的关键．
7．曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是（）
A． 4 B． 5 C． 3 D． 2
考点：定积分在求面积中的应用．
专题：计算题．
分析：根据定积分的几何意义知，曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积等于cosx 在0≤x≤π上的积分值的代数和，即可求出答案．
解答：解：先作出y=cosx的图象，如图所示，从图象中
可以看出
=
=
=1﹣0﹣（﹣1﹣1）=3．
答案C．
故选C．
点评：本题主要考查余弦函数的图象和用定积分求面积的问题．属基础题．
8．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（）A． 0.12 J B． 0.18 J C． 0.26 J D． 0.28 J
考点：平面向量数量积的运算．
专题：函数的性质及应用．
分析：因为F=10N，l=10cm=0.1m，所以k==100，由此能求出在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，克服弹力所做的功．
解答：解：F=kl
∵F=10N，l=10cm=0.1m
∴k==100
∴在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm=0.06m处，
克服弹力所做的功：
w=Ep=×k×l2
=×100×（0.06）2
=0.18J．
故选：B
点评：本题考查物体的弹力做功问题，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9．曲线y=x2+x﹣2在x=1处的切线方程为3x﹣y﹣3=0 ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用；直线与圆．
分析：欲求曲线y=x2+x﹣2在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：∵y=x2+x﹣2，
∴f′（x）=2x+1，
当x=1时，f′（1）=3得切线的斜率为3，所以k=3；
所以曲线在点（1，0）处的切线方程为：
y﹣0=3（x﹣1），即3x﹣y﹣3=0．
故答案为：3x﹣y﹣3=0．
点评：本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
10．函数y=x4﹣8x2+2在[﹣1，3]上的最大值为11 ．
考点：函数的最值及其几何意义．
专题：函数的性质及应用．
分析：解法一：令t=x2，则t∈[0，9]，y=t2﹣8t+2，根据二次函数的图象和性质，可得当t=9时，函数的最大值为：11
解法二：由y=x4﹣8x2+2可得y′=4x（x2﹣16），据此分析函数的单调性，进而可得当x=3时，函数的最大值为：11
解答：解法一：令t=x2，则t∈[0，9]，y=t2﹣8t+2，
∵y=t2﹣8t+2的图象是开口朝上，且以直线x=4为对称轴的抛物线，
故当t=9时，函数的最大值为：11
解法二：∵y=x4﹣8x2+2，
∴y′=4x（x2﹣16），
令y′=0，则x=0，或x=±2，
当x∈[﹣1，0）时，y′＞0函数为增函数，
当x∈（0，2）时，y′＜0函数为减函数，
x∈（2，3]时，y′＞0函数为增函数，
由f（0）=2，f（3）=11，
可得当x=3时，函数的最大值为：11
故答案为：11．
点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，利用换元法将高次函数转化为低次函数容易理解和接受，但导数法更具有普便性．
11．已知f（x）是偶函数，且=8，则16
考点：定积分．
专题：计算题．
分析：解题的关键是利用被积函数是偶函数，得到∫﹣66f（x）dx=2∫06f（x）dx，从而解决问题．
解答：解：∵f（x）是偶函数
∴∫﹣66f（x）dx=2∫06f（x）dx
又∵∫06f（x）dx=8，
∴∫﹣66f（x）dx=16．
故答案为：16．
点评：本题主要考查了偶函数的性质、定积分及定积分的应用．属于基础题．
12．= ．
考点：定积分．
专题：计算题．
分析：先利用降幂公式进行化简，再求出该函数的原函数，利用定积分的运算公式求解即可．解答：解：cos2x=
∵
∴==，
故答案为
点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，属于基础题．
13．如图，阴影部分面积分别为A1、A2、A3，则定积分= A1+A3﹣A2
考点：定积分在求面积中的应用．
专题：导数的综合应用．
分析：根据定积分的几何意义解答．
解答：解：因为在区间[a，b]上函数f（x）连续且恒有f（x）≥0时，定积分f（x）dx表示由直线x=a，x=b（a≠b），y=0和曲线y=f（x）所围成的曲边梯形的面积；
所以由已知图形得到定积分=A1+A3﹣A2；
故答案为：A1+A3﹣A2．
点评：本题考查了定积分的几何意义；在区间[a，b]上函数f（x）连续且恒有f（x）≥0，那么定积分f（x）dx表示由直线x=a，x=b（a≠b），y=0和曲线y=f（x）所围成的曲边梯形的面积．
14．有下列四个结论，
①函数f（x）=|x|在x=0处连续但不可导；
②函数f（x）=x3的在x=0处没有切线．
③某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，那么该婴儿从出生到第3个月的平均变化率大于从第6个月到第12个月的平均变化率；
④
其中结论正确的为①③（填上所有结论正确的题目代号）
考点：命题的真假判断与应用．
专题：综合题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．
分析：①根据函数的连续性与导数的定义，即可判断f（x）在x=0处连续且不可导；
②可以求出f（x）在x=0处的切线方程；
③根据图象求出该婴儿从出生到第3个月的平均变化率和从第6个月到第12个月的平均变化率；
④计算（x﹣4）dx即可．
解答：解：对于①，∵函数f（x）=|x|=，结合函数的图象与导数的定义知，
f（x）在x=0处是连续的，但在x=0的两侧，导数不相等，
∴f（x）在x=0处不可导，①正确；
对于②，∵函数f（x）=x3，∴f′（x）=3x2，
∴当x=0时，k=f′（0）=0，
∴f（x）在x=0处的切线方程为y=0，②错误；
对于③，根据图象知，该婴儿从出生到第3个月的平均变化率为=1，
从第6个月到第12个月的平均变化率为=0.4，
∴该婴儿从出生到第3个月的平均变化率大于从第6个月到第12个月的平均变化率，③正确；
对于④，（x﹣4）dx=（x2﹣4x）=×52﹣4×5=﹣7.5，∴④错误．
综上，正确的命题序号是①③．
故答案为：①③．
点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数与积分的简单应用问题，是综合性题目．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；压轴题．
分析：（I）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；
（II）先求出端点的函数值f（﹣2）与f（2），比较f（2）与f（﹣2）的大小，然后根据函数f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．
解答：解：（I）f′（x）=﹣3x2+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，
所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．
（II）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，
所以f（2）＞f（﹣2）．
因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，
又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，
因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．
故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，
即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．
16．物体A以速度v=3t2+1在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v=10t的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）
考点：定积分．
专题：应用题．
分析：此题是一个追击问题，A与B相隔5m即有S A=S B+5，设A追上B所用的时间为t0，利用定积分的方法求出t0，算出S A即可．
解答：解：设A追上B时，所用的时间为t0，依题意有S A=S B+5即
（3t2+1）dt=（10t）dt+5
∴（t3+t）=5t20+5
∴t0=5（s）
∴S A=5t2+5=5×52+5=130（m）
答；两物体5s相遇．相遇时物体A的走过的路程是130m．
点评：此题考查学生利用定积分解决数学问题的能力．
17．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y ﹣3=0垂直．
（1）求实数a、b的值
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题；导数的概念及应用．
分析：（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．
（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），列出端点的大小，求出m的范围．
解答：解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b①
又f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b，由条件知f'（1）=9，
即3a+2b②
由①、②解得
（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，
令f′（x）=3x2+6x≥0，得x≥0，或x≤﹣2，
若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，则[m，m+1]⊆（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），
∴m≥0，或m+1≤﹣2，即m≥0，或m≤﹣3，
∴m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞）
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的几何意义，考查方程思想与集合的包含关系，考查分析运算能力，属于中档题．
18．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm2/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，求水面升高的瞬时变化率．
考点：实际问题中导数的意义．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面升高时的瞬时变化率即得到正确答案．
解答：解：由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，
由图知=可得r=h，此时水的体积为×π×r2×h=
又由题设条件知，此时的水量为20t
故有20t=，故有h=
h'=×
又当h=4时，有t=，故h=4时，h'=
当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是cm/s．
点评：本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度为4时刻的导数值，即得出此时的变化率，本题是一个应用题求解此
类题，正确理解题意很关键．由于所得的解析式复杂，解题时运算量较大，要认真解题避免因为运算出错导致解题失败．
19．已知函数f（x）=x3+2x2+x﹣4，g（x）=ax2+x﹣8．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
专题：导数的综合应用．
分析：（I）利用导数的运算法则即可得出f′（x），分别解出f′（x）=0和f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出其单调区间、极值；
（II）设F（x）=f（x）﹣g（x）=x3+（2﹣a）x2+4，因此F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）min≥0，x∈[0，+∞）．
利用导数得出F′（x），通过对a分类讨论，利用其单调性即可．
解答：解：（I）f′（x）=3x2+4x+1，令f′（x）=0，
解得．
列表如下：
x （﹣∞，﹣1）﹣1
f′（x）+ 0 ﹣0 +
f（x）增函数极大值减函数极小值增函数
∴当x=﹣1时，f（x）取得极大值为﹣4；
当时，f（x）取得极小值为．
（II）设F（x）=f（x）﹣g（x）=x3+（2﹣a）x2+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）min≥0，x∈[0，+∞），
若2﹣a≥0，显然F（x）min=4＞0，
若2﹣a＜0，F′（x）=3x2+（4﹣2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或，
当时，F′（x）＜0；．
∴当x∈（0，+∞）时，，即
，
∴，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（﹣∞，5]．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论得出思想方法等是解题的关键．
20．如图，已知曲线C1：y=x2与曲线C2：y=﹣x2+2ax（a＞1）交于点O，A，直线x=t（0＜t≤1）与曲线C1，C2分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB．
（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（2）求函数S=f（t）在区间（0，1]上的最大值．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数最值的应用；定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的综合应用．
分析：（1）先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积，即可求得函数关系式S=f（t）；
（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，解不等式f'（x）＞0与f'（x）＜0，可求出函数的单调区间，对字母a进行分类讨论，根据函数的单调性求出函数f（x）在区间（0，1]上的最大值．
解答：解析（1）由解得或．
∴O（0，0），A（a，a2）．又由已知得B（t，﹣t2+2at），D（t，t2），
∴S=（﹣x2+2ax）dx﹣t×t2+（﹣t2+2at﹣t2）×（a﹣t）
=（﹣x3+ax2）|﹣t3+（﹣t2+at）×（a﹣t）=﹣t3+at2﹣t3+t3﹣2at2+a2t=t3﹣at2+a2t．∴S=f（t）=t3﹣at2+a2t（0＜t≤1）．
（2）f′（t）=t2﹣2at+a2，令f′（t）=0，即t2﹣2at+a2=0．解得t=（2﹣）a或t=
（2+）a．
∵0＜t≤1，a＞1，∴t=（2+）a应舍去．
若（2﹣）a≥1，即a≥=时，
∵0＜t≤1，∴f′（t）≥0．
∴f（t）在区间（0，1]上单调递增，S的最大值是f（1）=a2﹣a+．
若（2﹣）a＜1，即1＜a＜时，当0＜t＜（2﹣）a时f′（t）＞0．当（2﹣）
a＜t≤1时，f′（t）＜0．
∴f（t）在区间（0，（2﹣）a]上单调递增，在区间（（2﹣）a，1]上单调递减．
∴f（t）的最大值是f（（2﹣）a）=[（2﹣）a]3﹣a[（2﹣）a]2+a2（2﹣）a=a3．
点评：本题考查利用定积分求面积，考查导数在最大值、最小值问题中的应用，以及学生灵活转化题目条件的能力，属于中档题．。