离散数学(第2学期)自测题二及参考答案

一、 单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出
的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1. 下列命题公式为重言式的是（ ） A.()→∧∧P Q Q R B. ()→⌝→⌝P P Q
C. ()⌝→∧Q R R
D. ()()()()→∧→→→P Q Q R P R
2. 偏序关系一定不是．．（ ） A.自反的
B.传递的
C.反自反的
D.反对称的
3. 设():A x x 是实数，():B x x 是有理数，命题“有的实数是有理数”符号化为（ ） A. ()()()()∃→x A x B x B. ()()()()∃∨x A x B x C. ()()()()∃∧x A x B x
D. ()()()()⌝∀∧⌝x A x B x
4. 设给定赋值N 如下：个体域为自然数集；特定元素0=a ；特定函数()(),,,=+=f x y x y g x y xy ；特定谓词(),F x y 为=x y 。

在赋值N 下，下列公式为真的是（ ）
A. ()()(),,∀x F g x a x
B. ()()()()()()()
,,,,∀∀→x y F f x a y F f y a x C. ()()()()(),,∀∀∀x y z F f x y z D. ()()()()(),,,∀∀x y F f x y g x y
5. 命题公式()P Q R ⌝∧→的成真指派是（ ） A. 000,001,110 B. 001,011,101,110,111 C.全体指派
D.无
6. 设A B A -=，则有（ ） A.⋂=∅A B
B.=B A
C.⊆B A
D.⊆A B
7. 一棵树有2个3度结点，其余结点都是叶子，则叶子数是（ ） A.7
B.6
C.5
D.4
8. 在整数集Z 上，下列定义的运算能构成一个群的是（ ） A. {}max ,*=a b a b B. *=-a b a b C. 1*=++a b a b
D. *=a b ab
9. 设1R 和2R 是集合A 上的相容关系，下列关于12R R ⊕的说法正确的是（ ） A.一定是相容关系
B.一定不是相容关系
C.可能是也可能不是相容关系
D.一定是等价关系
10. 设{}{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8A =，下列选项正确的是（ ） A. 1∈A
B. {}1,2,3⊆A
C. {}{}4,5⊂A
D. ∅∈A
11. 下列的度数列，可以简单图化的是（ ） A. 5,5,4,4,2,1 B. 5,4,3,2,2 C. 3,3,3,1
D. 4,4,3,3,2,2
12. 在整数集Z 上，下列运算满足结合律的是（ ） A. *=-a b a b B. 1*=+a b ab C. 2*=+a b a b
D. 1*=++a b a b
13. 以下必为欧拉图的是（ ） A.结点度数都是偶数的连通图 B.奇数度结点最多2个的连通图 C.存在欧拉图的图
D.无回路的连通图
14. 下列可一笔画成的图形是（ ）
A. B. C.
D.
15. 具有4个结点的非同构的无向树的数目是（ ） A.2
B.3
C.4
D.5
二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小格的空格
中填上正确答案。

错填、不填均无分。

16. 设{}1,4,3,5,2,5=<><><>R 和{}4,2,5,1,2,3=<><><>S 是集合{}1,2,3,4,5=A 上的
两个关系，则=R S ，S R 。

17. 设{}{}1,2,3,4,1,2,4,5,==A B A 到B 的关系{}2,4,1,1,4,2,=<><><>R B 到A 的关系
{}4,1,1,4,2,3=<><><>S ，则=S R 。

18. 设{}{}2,,1,2,3==A a B ，则⊕=A B ，⊕∅=A 。

19. 请用联结词,⌝∨表示联结词∧和联结词:→ ， 。

20. 设复合函数g f 是从A 到C 的函数，如果g f 是满射，那么 必是满射，
如果g f 是入射，那么 必是入射。

21. 实数集R 中的运算*定义如下: 5*=+-a b a b ab ,则*运算的单位元为 ，
*运算的零元为 。

22. 设{}2,4,6,12=A ，()gcd ,*=a b a b ，即,a b 的最大公约数。

代数系统,<*>A 的幺元
是 ，零元是 。

23. 整数集Z 中的运算*定义如下：3*=+-a b a b ab ，则*运算的单位元为 ，
设a 有逆元，则其逆元1-a 为 。

24. 若图中存在 ，它经过图中所有的 ，则该图为汉密尔顿图。

25. 设图{}1234,,,,,=<>=D V E V v v v v ，若D 的邻接矩阵01011
01111001
001⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A ， 则()1deg -=v ，从2v 到4v 长度为2的路有 条。

三、 计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
26. 求1000以内既不能被5或6整除，也不能被8整除的正整数有多少个。

27. 利用等值演算法求命题公式()()∧→→P Q R Q 的主合取范式。

28. 构造命题公式()()P Q P R ∨⌝→∧的真值表。

29. 求右图所示格的所有5元和6元子格。

30. 设{}1,2,3,4,6,8,12,24=A ,R 为A 上的整除关系，试画,<>A R 的哈斯图，并求A 中的最大元，最小元，极大元，极小元。

四、 证明题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
31. 设10101010,,,01010101G ⎧--⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪
=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 证明：G 关于矩阵乘法构成一个群。

32. 设,<•>S 是独异点，e 是单位元，且S 中任意x ，有x x e •=。

证明,<•>S 是交换群。

33. 设{},,为正整数=<>A a b a b ，在A 上定义二元关系如下：,,<><>a b c d ，当且仅
当=ab cd 。

证明：是一个等价关系。

五、
综合应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
34. 将下面命题符号化，并构造推理证明。

所有有理数是实数，有些有理数是整数，所有有些实数是整数。

35. 今有n 个人，已知他们中任何2人的朋友合起来一定包含其余2-n 人。

试证明： （1）当3≥n 时，这n 个人能排成一列，使得中间任何人是其两旁的人的朋友，而两头的人是其左边（或右边）的人的朋友。

（2）当4≥n 时，这n 个人能排成一圆圈，使得每个人是其两旁的人的朋友。

自测题二参考答案
一、
单项选择题
1-5DCCBB
6-10ADCBC 11-15DDAAA
二、 填空题
16、{}1,2,3,1,2,1<><><>
{}4,5,5,4,2,5<><><>
17、{}4,1,1,2<><> 18、{}1,3,a
{}2,a （或A ）
19、()∧⇔⌝⌝∨⌝P Q P Q →⇔⌝∨P Q P Q
20、∅ {}1
21、0 15
22、12 2 23、12 4 24、回路 结点恰好一次
25、3
2
三、
计算题
26、
设{}11000=∈∧≤≤S x x Z x {}{}{}
568可被整除可被整除可被整除=∈∧=∈∧=∈∧A x x S x B x x S x C x x S x 易得200,166,125===A B C 33,41,25,8且⋂=⋂=⋂=⋂⋂=A B C B A C A B C 由文氏图可得，不能被5,6,8整除的数有 ()10002001003367600-+++=
27、
()()()()()()()()()()
∧→→⇔⌝∧→∨⇔⌝∨⌝→∨⇔⌝∨⌝⌝∨∨⇔⌝∨⇔⌝∨∨∧⌝∨∨⌝P Q R Q P Q R Q P Q R Q P Q R Q P Q
P Q R P Q R
28、
PQR
⌝Q
∨⌝P Q
∧P R
()()∨⌝→∧P Q P R
000 1 1 0 0 001 1 1 0 0 010 0 0 0 1 011 0 0 0 1 100 1 1 0 0 101 1 1 1 1 110 0 1 0 0 111 0
1
1
1
29、
（1）所有5元子格如下：
所有6元子格如下：
30、
解：,<>A R 的哈斯图如下：
A 中最大元为24，最小元为1，极大元为24，极小元为1
四、
证明题
31、 证明：
（1）对矩阵乘法，1001⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是单位元。

（2）分别记101010,,010101--⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
b c d 对矩阵乘法，易得,,======bc cb d bd dc c cd dc b ， 因此G 是封闭的。

（3）由于===bb cc dd e ，因此,,b c d 本身即为各自的逆元。

综合（1）（2）（3），G 关于矩阵的乘法构成一个群。

32、 证明：
由于,<•>S 是独异点，e 是单位元，且S 中任意x ，有•=x x e 。

所以 ,<•>S 是群，且每个元素的逆元素等于它本身。

于是，对任意,∈x y S ，有()1
11---===xy x y yx yx ，所以,<•>S 是交换群。

33、 证明： （1）自反性：
对,∀<>∈a b A ，有=ab ab ，所以,,<><>a b a b 。

故具有自反性 （2）对称性：
设,,<><>a b c d ，则有=ab cd ，亦即=cd ab ，所以,,<><>c d a b 。

故具有对称性 （3）传递性：
设,,<><>a b c d 且,,<><>c d e f ，则有,==ab cd cd ef ，从而有=ab ef 。

所以,,<><>a b e f 。

故具有传递性。

综合（1）（2）（3），是一个等价关系。

五、
综合应用题
34、
符号化 令():R x x 是实数，():Q x x 是有理数，():I x x 是整数 前提：()()()()()()()(),∀→∃∧x Q x R x x Q x I x ， 结论：()()()()∃∧x R x I x 证明：
（1）()()()()∃∧x Q x I x P
（2）()()∧Q a I a ()1ES （3）()Q a
()2T I
（4）()()()()∀→x Q x R x P
（5）()()→Q a R a ()4US （6）()R a ()()35T I （7）()I a ()2T I （8）()()∧R a I a ()()67T I （9）()()()()∃∧x R x I x ()8EG
35、 证明：
做n 阶无向简单图,=<>G V E ,{}为此人群中的成员，
=V v v (){}
=,,且与是朋友，且∈≠E u v u v V u v u v ，由已知条件可知，,∀∈u v V ，无论与u v 是否是
朋友，均有
()()()2,标记为+≥-*d u d v n
下面在对与u v 是否是朋友进行讨论。

（1） 若与u v 是朋友，则由()*可知
()()22+≥-+=d u d v n n ①
（2） 若与u v 不是朋友，则,,∀∈≠≠w V w u w v ，则与u v 都是w 的朋友，否则，比如与u w
不是朋友，则,v w 都不是u 的朋友，于是与v w 的朋友合起来不包含其余的2-n 个人，这与已知矛盾，因而
()()()22+≥-d u d v n ②
由②式，对n进行讨论，当3
n时，有
≥
()
n n③
221
-≥-
当4
n时，有
≥
()
22
n n④
-≥
当3
n时，由①式与③式可知，G中存在汉密尔顿通道，通道上的人按在通道中的顺序排≥
成一列，满足要求，当4
n时，由由①式与④式可知，G中存在汉密尔顿回路，回路上的
≥
人按在回路中的顺序排成圆圈满足要求。

自测题二参考答案
六、
单项选择题
1-5DCCBB
6-10ADCBC 11-15DDAAA
七、 填空题
16、{}1,2,3,1,2,1<><><>
{}4,5,5,4,2,5<><><>
17、{}4,1,1,2<><> 18、{}1,3,a
{}2,a （或A ）
19、()∧⇔⌝⌝∨⌝P Q P Q →⇔⌝∨P Q P Q
20、∅ {}1
21、0 15
22、12 2 23、12 4 24、回路 结点恰好一次
25、3
2
八、
计算题
26、
设{}11000=∈∧≤≤S x x Z x {}{}{}
568可被整除可被整除可被整除=∈∧=∈∧=∈∧A x x S x B x x S x C x x S x 易得200,166,125===A B C 33,41,25,8且⋂=⋂=⋂=⋂⋂=A B C B A C A B C 由文氏图可得，不能被5,6,8整除的数有 ()10002001003367600-+++=
27、
()()()()()()()()()()
∧→→⇔⌝∧→∨⇔⌝∨⌝→∨⇔⌝∨⌝⌝∨∨⇔⌝∨⇔⌝∨∨∧⌝∨∨⌝P Q R Q P Q R Q P Q R Q P Q R Q P Q
P Q R P Q R
28、
PQR
⌝Q
∨⌝P Q
∧P R
()()∨⌝→∧P Q P R
000 1 1 0 0 001 1 1 0 0 010 0 0 0 1 011 0 0 0 1 100 1 1 0 0 101 1 1 1 1 110 0 1 0 0 111 0
1
1
1
29、
（1）所有5元子格如下：
所有6元子格如下：
30、
解：,<>A R 的哈斯图如下：
A 中最大元为24，最小元为1，极大元为24，极小元为1
九、
证明题
31、 证明：
（1）对矩阵乘法，1001⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是单位元。

（2）分别记101010,,010101--⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
b c d 对矩阵乘法，易得,,======bc cb d bd dc c cd dc b ， 因此G 是封闭的。

（3）由于===bb cc dd e ，因此,,b c d 本身即为各自的逆元。

综合（1）（2）（3），G 关于矩阵的乘法构成一个群。

32、 证明：
由于,<•>S 是独异点，e 是单位元，且S 中任意x ，有•=x x e 。

所以 ,<•>S 是群，且每个元素的逆元素等于它本身。

于是，对任意,∈x y S ，有()1
11---===xy x y yx yx ，所以,<•>S 是交换群。

33、 证明： （1）自反性：
对,∀<>∈a b A ，有=ab ab ，所以,,<><>a b a b 。

故具有自反性 （2）对称性：
设,,<><>a b c d ，则有=ab cd ，亦即=cd ab ，所以,,<><>c d a b 。

故具有对称性 （3）传递性：
设,,<><>a b c d 且,,<><>c d e f ，则有,==ab cd cd ef ，从而有=ab ef 。

所以,,<><>a b e f 。

故具有传递性。

综合（1）（2）（3），是一个等价关系。

十、
综合应用题
34、
符号化 令():R x x 是实数，():Q x x 是有理数，():I x x 是整数 前提：()()()()()()()(),∀→∃∧x Q x R x x Q x I x ， 结论：()()()()∃∧x R x I x 证明：
（1）()()()()∃∧x Q x I x P
（2）()()∧Q a I a ()1ES （3）()Q a
()2T I
（4）()()()()∀→x Q x R x P
（5）()()→Q a R a ()4US （6）()R a ()()35T I （7）()I a ()2T I （8）()()∧R a I a ()()67T I （9）()()()()∃∧x R x I x ()8EG
35、 证明：
做n 阶无向简单图,=<>G V E ,{}为此人群中的成员，
=V v v (){}
=,,且与是朋友，且∈≠E u v u v V u v u v ，由已知条件可知，,∀∈u v V ，无论与u v 是否是
朋友，均有
()()()2,标记为+≥-*d u d v n
下面在对与u v 是否是朋友进行讨论。

（3） 若与u v 是朋友，则由()*可知
()()22+≥-+=d u d v n n ①
（4） 若与u v 不是朋友，则,,∀∈≠≠w V w u w v ，则与u v 都是w 的朋友，否则，比如与u w
不是朋友，则,v w 都不是u 的朋友，于是与v w 的朋友合起来不包含其余的2-n 个人，这与已知矛盾，因而
()()()22+≥-d u d v n ②
由②式，对n进行讨论，当3
n时，有
≥
()
n n③
221
-≥-
当4
n时，有
≥
()
22
n n④
-≥
当3
n时，由①式与③式可知，G中存在汉密尔顿通道，通道上的人按在通道中的顺序排≥
成一列，满足要求，当4
n时，由由①式与④式可知，G中存在汉密尔顿回路，回路上的
≥
人按在回路中的顺序排成圆圈满足要求。