北师大版数学高一- 必修1学案 3.2指数扩充及其运算性质(第1课时)

3.2．1 指数概念的扩充
1．了解整数指数幂的概念．
2．理解分数指数幂的概念，掌握分数指数形式与根式形式的互化． 3．了解无理数指数幂和实数指数幂的概念．
1．整数指数幂 a n ＝
(n ∈N ＋)，
a 0＝____(a ≠0)，
a －
n ＝____(a ≠0，n ∈N ＋)． 【做一做1－1】 π0等于( )．
A ．0
B ．π
C ．1
D ．2π 【做一做1－2】 ⎝⎛⎭⎫12－4
＝__________. 2．分数指数幂
(1)定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在____的正实数b ，使得b n ＝____，那么b 叫作a 的m
n
次幂，记作b ＝____.
它就是分数指数幂．
分数指数幂m n
a 不是m
n
个a 相乘，实质上是关于b 的方程b n ＝a m 的解．
(2)写成根式形式：
m n
a ＝____，1m n
m n
a
a
-
=
＝____(其中a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．
(3)结论：0的正分数指数幂等于_________，0的负分数指数幂________． 【做一做2－1】32
3等于( )．
A. 2
B.33
C.3
27 D.27
【做一做2－2】 5
a －
2等于( )．
A ．25
a
- B ．52
a C ．25
a D ．52
a -
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的____．
指数的扩充过程：
(1)规定了分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充．
(2)规定了无理数指数幂后，指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂． 【做一做3】 计算：
(1)1
3
27-；(2)12
6449-⎛⎫
⎪⎝⎭
；(3)12⎛⎫ ⎪
⎝⎭.
答案：1．1
1n
a 【做一做1－1】 C 【做一做1－2】 16
2．(1)唯一 a m
m n
a (2)n
a m
1
n
a m
(3)0 没有意义
【做一做2－1】 D 【做一做2－2】 A 3．实数
【做一做3】 (1)13 (2)7
8
(3)
1．为什么分数指数幂的定义中规定b 为正实数？
剖析：由整数指数幂的规定知，当a ＞0时，对任意整数m ，总有a m ＞0.若b ＝0，当n
为正整数时，b n＝0，此时b n≠a m；当n为负整数或零时，b n无意义，b n＝a m无意义．若b ＜0，当n为奇数时，b n＜0，此时b n≠a m；当n为偶数时，虽然b n＝a m成立，但此时，0＞
b≠
m
n
a＞0.因此规定b＞0.
2．为什么分数指数幂的定义中规定整数m，n互素？
剖析：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：
1
3
a中，底数a∈R, 当
a＜0时，
1
3
a＜0，而如果把
1
3
a写成
2
6
a，有两种运算：一是
2
6
a＝
1
2
6
()
a就必须a≥0；二是
2
6
a
＝
1
26
()
a，在a＜0时，
2
6
a的结果大于0，与
1
3
a＜0相矛盾．所以规定整数m，n互素．
题型一用分数指数幂表示正实数
【例1】把下列各式中的b写成分数指数幂的形式(b＞0)：
(1)b3＝4；(2)b－2＝5；(3)b m＝32n(m，n∈N＋)．
反思：将b k＝d中正实数b写成分数指数幂的形式时，主要依据分数指数幂的意义：
b n＝a m b＝a
m
n(m，n∈N＋，b＞0)．
题型二用分数指数幂表示根式
【例2】用分数指数幂表示下列各式：
(1)
3
x2；(2)
1
3
a
；(3)
4
(a－b)3；(4)
3
m2＋n2.
反思：用分数指数幂表示根式时，要紧扣分数指数幂的根式形式：a
m
n＝
n
a m(a＞0，m，
n∈N＋，且n＞1)．
题型三求指数幂a m
n的值
【例3】计算：(1)64
1
2
-
；(2)
2
3
8；(3)
1
3
125-.
分析：将分数指数幂化为根式，再求值．
反思：分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法．将分数指数幂写成根式的形式时，用熟悉的知识去理解新概念是关键．
题型四易错辨析
易错点 忽略n 的范围导致化简n
a n 时出错
【例4】 化简：3
(1＋2)3
＋4
(1－2)4. 错解：原式＝(1＋2)＋(1－2)＝2.
错因分析：错解中忽略了1－2＜0的事实，应当是4
(1－2)4＝2－1.
答案：【例1】 解：(1)b ＝13
4.(2)b ＝125-
.(3)b ＝33n m
. 【例2】 解：(1)3
x 2＝23
x .(2)
1
3
a
＝
13
1a
＝13
a -
.
(3)
4
(a －b )3＝34
()a
b -. (4)
3
m 2＋n 2＝12
23
()m n +.
【例3】 解：
(1)12
164
8
-=
.
(2)23
84. (3)13
125-＝
1
3
125
＝15
. 【例4】 正解：原式＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2
－1＝2 2.
1 12
2写成根式形式是( )
．
C.
2若b 4＝3(b ＞0)，则b 等于( )． A ．34
B ．14
3 C ．43 D ．35
3 23
0-等于( )．
A ．0
B ．1
C ．2
3- D ．没有意义
4 把下列各式中的正实数x 写成根式的形式： (1)x 2＝3；(2) x 7＝53；(3)x －
2＝d 9.
5 求值：(1)10012；(2)32
9-
；(3)34
181-
⎛⎫
⎪⎝⎭
.
答案：1．A 2.B 3.D
4．解：(1)x
＝123=x
＝37
5. (3)x
＝92
92
1d
d
-=
=
.
5．解：(1)∵102＝100，∴
12
100＝10.
(2)∵2
3
1927-⎛⎫= ⎪⎝⎭
，∴321927-=.
(3)∵274＝3181-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3
4
181-
⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝27.。