数列的递推关系重要知识点讲解Microsoft Word 文档 (2)

递推数列重要知识点讲解
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列{}n a 满足211=
a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。

变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….
（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

例2:已知31=a ，n n a n n a 2
3131
+-=+ )1(≥n ，求n a 。

变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通
项1
___n a ⎧=⎨
⎩ 12
n n =≥
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
变式:在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________ 变式:已知数列{}n a 满足*
111,21().n n a a a n N +==+∈
（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{b n }滿足12111
*4
4
4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈ 证明：数列{b n }是等差数列；
（Ⅲ）证明：
*122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +-<+++<∈ 类型4
n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数）。

（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r
均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1
+n q
，得：
q q a q p q
a n n n n 1
1
1+∙=++引入辅助数列{}n b （其中n
n n q
a b =），得：q
b q p b n n 1
1+=+再待定系数法解决。

例:已知数列{}n a 中，651=
a ,1
1)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。

变式:设数列{}n a 的前n 项的和1412
2333
n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =
（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n = ，证明：1
3
2n
i i T =<∑
类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()
1(1
1n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消
去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例：已知数列{}n a 前n 项和2
214--
-=n n n a S .
（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .
（2）应用类型4（n
n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边同乘以1
2+n 得：222
11
+=++n n n n a a
由12
1412
1111=⇒-
-==-a a S a .于是数列{}n n
a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n
2)1(222=-+=12
-=⇒n n n a
变式: 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n
变式:已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,2
3
,1),3()2
1(211
-==≥--S S n n 且求数
列{a n }的通项公式.
类型6 l
ka ma a n n
n +=
+1解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例：已知数列｛a n ｝满足：1,1
3111
=+⋅=
--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

1、若数列的递推公式为1111
3,
2()n n
a n a a +==-∈ ，则求这个数列的通项公式。

2、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式。

3、已知数列｛a n ｝满足：1,1
3111
=+⋅=
--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

4、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =
2
2+n n
a a n ∈N +，求通项a n ． 类型7 归纳猜想法。

解法：数学归纳法
变式:设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，… （Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式
类型8周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例：若数列{}n a 满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<≤-≤≤=+)
121(,12)210(,21
n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________。

变式:已知数列}{n a 满足)(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=
=+，则20a =
（ ）
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．
2
3。